“O‘qish va yozish orqali tanqidiy fikrlashni rivojlantirish” texnologiyasi doirasida “Ko‘pburchaklar.Ko‘pburchak turlari” darsi.
Ko‘pburchak xossalari
Ko'pburchak - bu geometrik shakl bo'lib, odatda o'z-o'zidan kesishmasdan (oddiy ko'pburchak (1a-rasm)) yopiq ko'p chiziq sifatida belgilanadi, lekin ba'zida o'z-o'zini kesishga ruxsat beriladi (keyin ko'pburchak oddiy emas).
Ko'pburchakning uchlari ko'pburchakning uchlari, segmentlari esa ko'pburchakning tomonlari deb ataladi. Ko'pburchakning uchlari uning bir tomonining uchlari bo'lsa, qo'shnilar deyiladi. Ko'pburchakning qo'shni bo'lmagan uchlarini bog'laydigan chiziq segmentlari diagonallar deyiladi.
Qavariq ko‘pburchakning berilgan cho‘qqidagi burchagi (yoki ichki burchagi) deb uning tomonlari shu cho‘qqida birikishidan hosil bo‘lgan burchak tushuniladi va burchak ko‘pburchak tomondan hisobga olinadi. Xususan, agar ko'pburchak konveks bo'lmasa, burchak 180 ° dan oshishi mumkin.
Qavariq ko‘pburchakning berilgan cho‘qqidagi tashqi burchagi bu ko‘pburchakning ichki burchagiga qo‘shni burchakdir. Umuman olganda, tashqi burchak 180 ° va ichki burchak o'rtasidagi farqdir. > 3 uchun -gonning har bir tepasidan - 3 diagonal mavjud, shuning uchun -gon diagonallarining umumiy soni teng.
Uchta uchli ko'pburchak uchburchak deb ataladi, to'rtta - to'rtburchak, beshta - beshburchak va hokazo.
bilan ko'pburchak n tepaliklar deyiladi n- kvadrat.
Yassi ko'pburchak - bu ko'pburchak va u bilan chegaralangan maydonning chekli qismidan iborat figura.
Quyidagi (ekvivalent) shartlardan biri bajarilsa, ko‘pburchak qavariq deyiladi:
- 1. qo‘shni uchlarini tutashtiruvchi har qanday to‘g‘ri chiziqning bir tomonida yotadi. (ya'ni, ko'pburchak tomonlarining kengaytmalari uning boshqa tomonlarini kesib o'tmaydi);
- 2. bu bir nechta yarim tekisliklarning kesishishi (ya'ni umumiy qismi);
- 3. ko'pburchakka tegishli nuqtalarda uchlari bo'lgan har qanday segment butunlay unga tegishli.
Qavariq ko'pburchak, agar barcha tomonlar teng bo'lsa va barcha burchaklar teng bo'lsa, muntazam deyiladi, masalan, teng tomonli uchburchak, kvadrat va beshburchak.
Qavariq ko'pburchak aylana atrofida chizilgan deyiladi, agar uning barcha tomonlari qandaydir aylanaga tegsa
Muntazam ko'pburchak - barcha burchaklari va tomonlari teng bo'lgan ko'pburchak.
Poligon xususiyatlari:
1 Qavariq -burchakning har bir diagonali, bu erda >3, uni ikkita qavariq ko'pburchakka ajratadi.
2 Qavariq -gonning barcha burchaklarining yig'indisi ga teng.
D-in: Teoremani matematik induksiya usuli bilan isbotlaymiz. = 3 uchun bu aniq. Teorema -gon uchun to'g'ri deb faraz qilaylik, bu erda <, va buni -gon uchun isbotlang.
Berilgan ko‘pburchak bo‘lsin. Ushbu ko'pburchakning diagonalini chizing. 3-teorema bo'yicha ko'pburchak uchburchak va qavariq -burchakka ajraladi (5-rasm). Induksiya gipotezasiga ko'ra. Boshqa tomondan, . Bu tengliklarni qo'shish va buni hisobga olish (- ichki nurlanish burchagi ) va (- ichki nurlanish burchagi ), Qachon olamiz: .
3 Har qanday muntazam ko'pburchak haqida aylana va bundan tashqari, faqat bittasini tasvirlash mumkin.
D-in: Muntazam ko'pburchak bo'lsin, va burchaklarning bissektrisalari bo'lsin va (150-rasm). Shuning uchun * 180 °< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O. Keling, buni isbotlaylik O = O.A 2 = O =… = O.A P . Uchburchak O demak, teng yon tomonlar O= O. Shunday qilib, uchburchaklar tengligining ikkinchi mezoniga ko'ra, O = O. Xuddi shunday, bu ham isbotlangan O = O va hokazo. Demak, nuqta O ko'pburchakning barcha cho'qqilaridan teng masofada, shuning uchun markaz bilan doira O radius O ko‘pburchak atrofida chegaralangan.
Keling, faqat bitta aylana borligini isbotlaylik. Ko'pburchakning uchta uchini ko'rib chiqing, masalan, LEKIN 2 , . Ushbu nuqtalardan faqat bitta doira o'tganligi sababli, ko'pburchak haqida … Siz bir nechta doirani tasvirlay olmaysiz.
- 4 Har qanday oddiy ko'pburchakda siz aylana va bundan tashqari, faqat bittasini yozishingiz mumkin.
- 5 Muntazam ko‘pburchak ichiga chizilgan aylana ko‘pburchak tomonlariga ularning o‘rta nuqtalarida tegib turadi.
- 6 Muntazam ko‘pburchakni aylanib o‘tuvchi aylananing markazi xuddi shu ko‘pburchak ichiga chizilgan aylana markaziga to‘g‘ri keladi.
- 7 Simmetriya:
Shakl simmetrik (simmetrik) deyiladi, agar bu raqamni o'ziga aylantiradigan shunday harakat (bir xil bo'lmasa) bo'lsa.
- 7.1. Umumiy uchburchakda simmetriya o'qi yoki markazlari yo'q, u simmetrik emas. Teng yonli (lekin teng yonli emas) uchburchakda bitta simmetriya o'qi bor: asosga perpendikulyar bissektrisa.
- 7.2. Teng tomonli uchburchakda uchta simmetriya o'qi (tomonlarga perpendikulyar bissektrisalar) va markazga nisbatan 120 ° burilish burchagi bilan aylanish simmetriyasi mavjud.
7.3 Har qanday muntazam n-burchakda n ta simmetriya o'qi mavjud bo'lib, ularning barchasi uning markazidan o'tadi. Bundan tashqari, aylanish burchagi bilan markazga nisbatan aylanish simmetriyasi mavjud.
Hatto n simmetriyaning ba'zi o'qlari qarama-qarshi cho'qqilardan, boshqalari qarama-qarshi tomonlarning o'rta nuqtalaridan o'tadi.
G'alati uchun n har bir o'q qarama-qarshi tomonning tepasi va o'rta nuqtasidan o'tadi.
Tomonlari juft bo'lgan muntazam ko'pburchakning markazi uning simmetriya markazidir. Tomonlari toq bo'lgan muntazam ko'pburchak simmetriya markaziga ega emas.
8 O'xshashlik:
O'xshashlik bilan va -gon -gonga, yarim tekislik - yarim tekislikka kiradi, shuning uchun qavariq n-gon qavariq bo'ladi n-gon.
Teorema: Qavariq ko'pburchaklarning tomonlari va burchaklari va tengliklarini qanoatlantirsa:
podium koeffitsienti qayerda
u holda bu ko'pburchaklar o'xshashdir.
- 8.1 Ikki o'xshash ko'pburchak perimetrlarining nisbati o'xshashlik koeffitsientiga teng.
- 8.2. Ikki qavariq o'xshash ko'pburchaklar maydonlarining nisbati o'xshashlik koeffitsientining kvadratiga teng.
ko'pburchak uchburchak perimetri teoremasi
Bo'limlar: Matematika
Mavzu, o'quvchilarning yoshi: geometriya, 9-sinf
Darsning maqsadi: ko'pburchak turlarini o'rganish.
O'quv vazifasi: talabalarning ko'pburchaklar haqidagi bilimlarini yangilash, kengaytirish va umumlashtirish; ko'pburchakning "komponentlari" haqida tasavvur hosil qilish; muntazam ko'pburchaklarning (uchburchakdan n-burchakgacha) tashkil etuvchi elementlari sonini o'rganish;
Rivojlantiruvchi vazifa: tahlil qilish, taqqoslash, xulosalar chiqarish, hisoblash ko'nikmalarini, og'zaki va yozma matematik nutqni, xotirani, shuningdek, fikrlash va o'quv faoliyatida mustaqillikni, juftlik va guruhlarda ishlash qobiliyatini rivojlantirish; tadqiqot va ta'lim faoliyatini rivojlantirish;
Tarbiyaviy vazifa: mustaqillik, faollik, topshirilgan vazifa uchun mas'uliyat, maqsadga erishishda qat'iyatlilikni tarbiyalash.
Darslar davomida: doskada iqtibos yozilgan
"Tabiat matematika tilida gapiradi, bu tilning harflari ... matematik raqamlar." G. Galliley
Dars boshida sinf ishchi guruhlarga bo'linadi (bizning holatda har biri 4 kishidan iborat guruhlarga bo'linish - guruh a'zolarining soni savol guruhlari soniga teng).
1. Chaqiruv bosqichi-
Maqsadlar:
a) talabalarning mavzu bo'yicha bilimlarini yangilash;
b) o'rganilayotgan mavzuga qiziqishni uyg'otish, har bir o'quvchining o'quv faoliyatiga motivatsiyasi.
Qabul: "Siz bunga ishonasizmi ..." o'yini, matn bilan ishlashni tashkil etish.
Ish shakllari: frontal, guruh.
"Siz bunga ishonasizmi ..."
1. ... "ko'pburchak" so'zi bu oilaning barcha figuralarida "ko'p burchak" borligini ko'rsatadi?
2. ... uchburchak ko'pburchaklarning katta oilasiga tegishli bo'lib, tekislikdagi turli geometrik shakllar orasida ajralib turadi?
3. …kvadrat oddiy sakkizburchakmi (to‘rt tomon + to‘rt burchak)?
Bugun darsda biz ko'pburchaklar haqida gaplashamiz. Biz bu raqam yopiq siniq chiziq bilan chegaralanganligini bilib olamiz, bu esa o'z navbatida oddiy, yopiq bo'lishi mumkin. Keling, ko'pburchaklar tekis, muntazam, qavariq ekanligi haqida gapiraylik. Yassi ko'pburchaklardan biri sizga uzoq vaqtdan beri tanish bo'lgan uchburchakdir (siz talabalarga ko'pburchaklar, siniq chiziq tasvirlangan plakatlarni ko'rsatishingiz, ularning har xil turlarini ko'rsatishingiz mumkin, siz TCO dan ham foydalanishingiz mumkin).
2. Tushunish bosqichi
Maqsad: yangi ma'lumotlarni olish, uni tushunish, tanlash.
Qabul qilish: zigzag.
Ish shakllari: individual->juft->guruh.
Har bir guruhga dars mavzusi bo'yicha matn beriladi va matn shunday tuziladiki, unda o'quvchilarga ma'lum bo'lgan ma'lumotlar ham, mutlaqo yangi ma'lumotlar ham o'z ichiga oladi. Matn bilan birgalikda talabalar savollar oladilar, ularning javoblari ushbu matndan topilishi kerak.
Ko'pburchaklar. Ko'pburchaklar turlari.
Kemalar va samolyotlar izsiz g'oyib bo'ladigan sirli Bermud uchburchagi haqida kim eshitmagan? Ammo bolalikdan bizga tanish bo'lgan uchburchak juda ko'p qiziqarli va sirli narsalarga to'la.
Bizga allaqachon ma'lum bo'lgan uchburchaklar turlariga qo'shimcha ravishda, tomonlar (miqyos, teng yonli, teng yonli) va burchaklar (o'tkir burchakli, do'lma burchakli, to'g'ri burchakli) bo'linadi, uchburchak ko'pburchaklarning katta oilasiga kiradi tekislikda juda ko'p turli xil geometrik shakllar.
"Ko'pburchak" so'zi bu oilaning barcha raqamlarida "ko'p burchaklar" borligini ko'rsatadi. Ammo bu raqamni tavsiflash uchun etarli emas.
Singan chiziq A 1 A 2 ... A n - bu A 1, A 2, ... A n nuqtalardan va ularni bog'laydigan A 1 A 2, A 2 A 3, ... segmentlardan tashkil topgan figura. Nuqtalar ko'p chiziqning cho'qqilari, segmentlari esa ko'p chiziqning zvenolari deb ataladi. (1-rasm)
Singan chiziq o'z-o'zidan kesishmalarga ega bo'lmasa, oddiy deyiladi (2,3-rasm).
Singan chiziq, agar uning uchlari bir-biriga to'g'ri kelsa, yopiq deyiladi. Singan chiziqning uzunligi uning bo'g'inlari uzunliklarining yig'indisidir (4-rasm).
Oddiy yopiq siniq chiziq, agar uning qo'shni bo'g'inlari bir xil to'g'ri chiziqda yotmasa, ko'pburchak deyiladi (5-rasm).
"Ko'p" qismi o'rniga "ko'pburchak" so'zini ma'lum bir raqam bilan almashtiring, masalan 3. Siz uchburchakka ega bo'lasiz. Yoki 5. Keyin - beshburchak. E'tibor bering, tomonlar qanchalik ko'p burchaklar mavjud, shuning uchun bu raqamlarni ko'p tomonlama deb atash mumkin.
Ko'p chiziqning uchlari ko'pburchakning cho'qqilari deb ataladi va ko'p chiziqning bo'g'inlari ko'pburchakning tomonlari deb ataladi.
Ko'pburchak tekislikni ikki mintaqaga ajratadi: ichki va tashqi (6-rasm).
Tekislik koʻpburchak yoki koʻpburchak hududi koʻpburchak bilan chegaralangan tekislikning chekli qismidir.
Bir tomonning uchlari bo'lgan ko'pburchakning ikkita uchi qo'shni deyiladi. Bir tomonning uchi bo'lmagan cho'qqilar qo'shni emas.
n ta burchakli va shuning uchun n ta tomoni bo'lgan ko'pburchak n-burchak deyiladi.
Ko'pburchak tomonlarining eng kichik soni 3 bo'lsa-da. Lekin uchburchaklar bir-biri bilan bog'lanib, boshqa shakllarni hosil qilishi mumkin, ular ham o'z navbatida ko'pburchaklardir.
Ko‘pburchakning qo‘shni bo‘lmagan uchlarini bog‘lovchi segmentlar diagonallar deyiladi.
Ko'pburchak o'z tomonini o'z ichiga olgan har qanday chiziqqa nisbatan bir yarim tekislikda joylashgan bo'lsa, u qavariq deyiladi. Bunda to'g'ri chiziqning o'zi yarim tekislikka tegishli deb hisoblanadi.
Qavariq ko‘pburchakning berilgan cho‘qqidagi burchagi uning tomonlari shu cho‘qqida birlashishi natijasida hosil bo‘lgan burchakdir.
Teoremani isbotlaymiz (qavariq n-burchakning burchaklari yigindisi boyicha): Qavariq n-burchakning burchaklari yigindisi 180 0 *(n - 2) ga teng.
Isbot. n=3 holatda teorema to'g'ri bo'ladi. A 1 A 2 …A n berilgan qavariq ko‘pburchak va n>3 bo‘lsin. Unda diagonallarni chizamiz (bir tepadan). Ko'pburchak qavariq bo'lgani uchun bu diagonallar uni n - 2 ta uchburchakka ajratadi. Ko'pburchak burchaklarining yig'indisi bu barcha uchburchaklarning burchaklarining yig'indisi bilan bir xil. Har bir uchburchakning burchaklarining yig'indisi 180 0 ga teng va bu uchburchaklar soni n - 2. Shuning uchun qavariq n - burchak A 1 A 2 ... A n burchaklarining yig'indisi 180 0 * ( n - 2). Teorema isbotlangan.
Qavariq ko'pburchakning ma'lum cho'qqidagi tashqi burchagi bu ko'pburchakning ichki burchagiga qo'shni burchakdir.
Qavariq ko'pburchak, agar barcha tomonlar teng va barcha burchaklar teng bo'lsa, muntazam deyiladi.
Shunday qilib, kvadratni boshqacha deb atash mumkin - oddiy to'rtburchak. Teng tomonli uchburchaklar ham muntazamdir. Bunday raqamlar uzoq vaqtdan beri binolarni bezatgan ustalarni qiziqtirgan. Ular, masalan, parketda chiroyli naqshlar yasadilar. Ammo hamma oddiy ko'pburchaklar parketni yaratish uchun ishlatilmaydi. Oddiy sakkizburchaklardan parket hosil bo'lishi mumkin emas. Gap shundaki, ularning har bir burchagi 135 0 ga teng. Va agar biron bir nuqta shunday ikkita sakkizburchakning cho'qqisi bo'lsa, unda ular 270 0 ga ega bo'ladi va uchinchi sakkizburchak sig'adigan joy yo'q: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Ammo kvadrat uchun etarli. Shuning uchun, parketni oddiy sakkizburchak va kvadratlardan katlama mumkin.
Yulduzlar to'g'ri. Bizning besh qirrali yulduzimiz oddiy beshburchak yulduzdir. Va agar siz kvadratni markaz atrofida 45 0 ga aylantirsangiz, siz oddiy sakkiz burchakli yulduzni olasiz.
1 guruh
Buzilgan chiziq nima? Ko‘p chiziqning cho‘qqilari va zvenolari nima ekanligini tushuntiring.
Qaysi siniq chiziq oddiy deyiladi?
Qaysi siniq chiziq yopiq deb ataladi?
Ko'pburchak nima? Ko‘pburchakning uchlari nima deyiladi? Ko'pburchakning tomonlari qanday?
2 guruh
Yassi ko'pburchak nima? Ko‘pburchaklarga misollar keltiring.
n-gon nima?
Ko‘pburchakning qaysi uchlari yonma-yon va qaysilari yo‘qligini tushuntiring.
Ko'pburchakning diagonali nima?
3 guruh
Qavariq ko'pburchak nima?
Ko‘pburchakning qaysi burchaklari tashqi va qaysilari ichki ekanligini tushuntiring?
Muntazam ko'pburchak nima? Muntazam ko‘pburchaklarga misollar keltiring.
4 guruh
Qavariq n-burchak burchaklarining yig‘indisi nechaga teng? Buni isbotla.
Talabalar matn bilan ishlaydilar, berilgan savollarga javob izlaydilar, shundan so'ng ekspert guruhlari tuziladi, ularda bir xil masalalar bo'yicha ish olib boriladi: talabalar asosiy narsani ajratib ko'rsatishadi, qo'llab-quvvatlovchi referat tuzadilar, ma'lumotlarni birida taqdim etadilar. grafik shakllar. Ish oxirida talabalar o'zlarining ishchi guruhlariga qaytadilar.
3. Fikrlash bosqichi -
a) bilimlarini baholash, bilimning keyingi bosqichiga da'vat qilish;
b) olingan ma'lumotlarni tushunish va o'zlashtirish.
Qabul: tadqiqot ishi.
Ish shakllari: individual->juft->guruh.
Ishchi guruhlar taklif etilayotgan savollarning har bir bo‘limiga javob berish bo‘yicha ekspertlardir.
Ishchi guruhga qaytib, ekspert guruhning boshqa a'zolarini savollariga javoblar bilan tanishtiradi. Guruhda ishchi guruhning barcha a'zolarining ma'lumotlar almashinuvi amalga oshiriladi. Shunday qilib, har bir ishchi guruhda mutaxassislar mehnati tufayli o‘rganilayotgan mavzu bo‘yicha umumiy fikr shakllanadi.
Talabalarning ilmiy tadqiqot ishlari - jadvalni to'ldirish.
Muntazam ko'pburchaklar | Chizma | Yon tomonlar soni | Cho'qqilar soni | Barcha ichki burchaklar yig'indisi | Daraja o'lchovi int. burchak | Tashqi burchakning daraja o'lchovi | Diagonallar soni |
A) uchburchak | |||||||
B) to'rtburchak | |||||||
B) besh devorli | |||||||
D) olti burchakli | |||||||
E) n-gon |
Dars mavzusi bo'yicha qiziqarli masalalarni yechish.
- To'rtburchakda uchta uchburchakka bo'linadigan chiziq torting.
- Har bir ichki burchagi 135 0 ga teng bo'lgan muntazam ko'pburchakning nechta tomoni bor?
- Muayyan ko'pburchakda barcha ichki burchaklar bir-biriga teng. Bu ko‘pburchakning ichki burchaklarining yig‘indisi: 360 0 , 380 0 bo‘lishi mumkinmi?
Darsni yakunlash. Uy vazifasini yozib olish.
Uchburchak, kvadrat, olti burchakli - bu raqamlar deyarli hammaga ma'lum. Ammo oddiy ko'pburchak nima ekanligini hamma ham bilmaydi. Ammo bularning barchasi bir xil Oddiy ko'pburchak burchaklari va tomonlari teng bo'lgan ko'pburchak deb ataladi. Bunday raqamlar juda ko'p, ammo ularning barchasi bir xil xususiyatlarga ega va ularga bir xil formulalar qo'llaniladi.
Muntazam ko'pburchaklarning xossalari
Har qanday muntazam ko'pburchak, xoh u kvadrat yoki sakkizburchak bo'lsin, aylana ichiga yozilishi mumkin. Ushbu asosiy xususiyat ko'pincha figurani qurishda ishlatiladi. Bundan tashqari, ko'pburchakda doira ham yozilishi mumkin. Bunday holda, aloqa nuqtalarining soni uning tomonlari soniga teng bo'ladi. Muntazam ko'pburchak ichiga chizilgan doira u bilan umumiy markazga ega bo'lishi muhimdir. Bu geometrik raqamlar bir xil teoremalarga bo'ysunadi. Muntazam n-burchakning ixtiyoriy tomoni uning atrofidagi aylananing radiusi R bilan bog'langan.Shuning uchun uni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: a = 2R ∙ sin180°. Orqali ko'pburchakning nafaqat tomonlarini, balki perimetrini ham topishingiz mumkin.
Muntazam ko'pburchakning tomonlar sonini qanday topish mumkin
Har qanday biri bir-biriga teng bo'lgan ma'lum miqdordagi segmentlardan iborat bo'lib, ular ulanganda yopiq chiziq hosil qiladi. Bunday holda, shakllangan raqamning barcha burchaklari bir xil qiymatga ega. Ko'pburchaklar oddiy va murakkabga bo'linadi. Birinchi guruhga uchburchak va kvadrat kiradi. Murakkab ko'pburchaklar ko'proq tomonlarga ega. Ular shuningdek, yulduz shaklidagi raqamlarni o'z ichiga oladi. Murakkab muntazam ko'pburchaklar uchun tomonlari ularni aylana ichiga yozish orqali topiladi. Keling, dalil keltiraylik. Tomonlarning ixtiyoriy soni n bo'lgan muntazam ko'pburchak chizing. Uning atrofidagi doirani tasvirlab bering. R radiusini belgilang. Endi tasavvur qiling, qandaydir n-gon berilgan. Agar uning burchak nuqtalari aylana ustida yotsa va bir-biriga teng bo'lsa, tomonlarni quyidagi formula bo'yicha topish mumkin: a = 2R ∙ sina: 2.
Chizilgan to‘g‘ri burchakli uchburchakning tomonlar sonini topish
Teng tomonli uchburchak muntazam ko'pburchakdir. Unga kvadrat va n-gon uchun xuddi shunday formulalar qo'llaniladi. Agar uchburchak bir xil uzunlikdagi tomonlarga ega bo'lsa, to'g'ri hisoblanadi. Bunday holda, burchaklar 60⁰. Tomon uzunligi a berilgan uchburchak yasang. Uning medianasini va balandligini bilib, uning tomonlari qiymatini topishingiz mumkin. Buning uchun biz a \u003d x formulasi orqali topish usulidan foydalanamiz: kosa, bu erda x - median yoki balandlik. Uchburchakning barcha tomonlari teng bo'lgani uchun a = b = c ni olamiz. U holda quyidagi fikr to'g'ri bo'ladi: a = b = c = x: cosa. Xuddi shunday, siz teng yonli uchburchakda tomonlarning qiymatini topishingiz mumkin, ammo x berilgan balandlik bo'ladi. Shu bilan birga, uni qat'iy ravishda raqam asosida loyihalash kerak. Shunday qilib, x balandligini bilib, biz a \u003d b \u003d x: kosa formulasidan foydalanib, teng yonli uchburchakning a tomonini topamiz. a ning qiymatini topgandan so'ng, siz c asosining uzunligini hisoblashingiz mumkin. Pifagor teoremasini qo‘llaylik. Biz c asosining yarmining qiymatini qidiramiz: 2=√(x: cosa)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2a) : cos^2a = x ∙ tga. Keyin c = 2xtana. Shunday sodda tarzda siz har qanday ichkariga kiritilgan ko'pburchakning tomonlar sonini topishingiz mumkin.
Doira ichiga chizilgan kvadratning tomonlarini hisoblash
Boshqa har qanday chizilgan muntazam ko'pburchak singari, kvadrat ham teng tomonlar va burchaklarga ega. Unga uchburchak bilan bir xil formulalar qo'llaniladi. Diagonal qiymatidan foydalanib, kvadratning tomonlarini hisoblashingiz mumkin. Keling, ushbu usulni batafsil ko'rib chiqaylik. Ma'lumki, diagonal burchakni ikkiga bo'ladi. Dastlab, uning qiymati 90 daraja edi. Shunday qilib, bo'linishdan keyin ikkitasi hosil bo'ladi.Ularning poydevordagi burchaklari 45 gradusga teng bo'ladi. Shunga ko'ra, kvadratning har bir tomoni teng bo'ladi, ya'ni: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosa \u003d e √ 2: 2, bu erda e - kvadratning diagonali yoki asosi. bo'lingandan keyin hosil bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak. Bu kvadratning tomonlarini topishning yagona usuli emas. Keling, bu raqamni aylanaga yozamiz. Bu aylana R radiusini bilib, kvadratning tomonini topamiz. Biz uni quyidagicha hisoblaymiz a4 = R√2. Muntazam ko'pburchaklarning radiusi R \u003d a formulasi bo'yicha hisoblanadi: 2tg (360 o: 2n), bu erda a - tomonning uzunligi.
N-burchakning perimetrini qanday hisoblash mumkin
n-burchakning perimetri uning barcha tomonlari yig‘indisidir. Uni hisoblash oson. Buning uchun siz barcha tomonlarning qadriyatlarini bilishingiz kerak. Ko'pburchaklarning ayrim turlari uchun maxsus formulalar mavjud. Ular perimetrni tezroq topishga imkon beradi. Ma'lumki, har qanday muntazam ko'pburchak teng tomonlarga ega. Shuning uchun uning perimetrini hisoblash uchun ulardan kamida bittasini bilish kifoya. Formula rasmning tomonlar soniga bog'liq bo'ladi. Umuman olganda, u quyidagicha ko'rinadi: P \u003d an, bu erda a - tomonning qiymati va n - burchaklar soni. Masalan, tomoni 3 sm bo'lgan muntazam sakkizburchakning perimetrini topish uchun uni 8 ga ko'paytirish kerak, ya'ni P = 3 ∙ 8 = 24 sm. Tomoni 5 sm bo'lgan olti burchakli uchun biz hisoblaymiz. quyidagicha: P = 5 ∙ 6 = 30 sm Va har bir ko'pburchak uchun.
Parallelogramm, kvadrat va romb perimetrini topish
Muntazam ko'pburchakning nechta tomoni borligiga qarab, uning perimetri hisoblanadi. Bu vazifani ancha osonlashtiradi. Darhaqiqat, boshqa raqamlardan farqli o'laroq, bu holda uning barcha tomonlarini izlash shart emas, faqat bittasi etarli. Xuddi shu printsip bo'yicha biz to'rtburchaklar perimetrini, ya'ni kvadrat va rombni topamiz. Bu turli xil raqamlar bo'lishiga qaramay, ular uchun formula bir xil P = 4a, bu erda a - tomon. Keling, bir misol keltiraylik. Agar romb yoki kvadratning tomoni 6 sm bo'lsa, biz perimetrni quyidagicha topamiz: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 sm.Parallelogramma faqat qarama-qarshi tomonlarga ega. Shuning uchun uning perimetri boshqa usul yordamida topiladi. Shunday qilib, biz rasmning uzunligi a va kengligi b ni bilishimiz kerak. Keyin P \u003d (a + c) ∙ 2 formulasini qo'llaymiz. Ularning orasidagi barcha tomonlar va burchaklar teng bo'lgan parallelogramma romb deb ataladi.
Teng tomonli va to‘g‘ri burchakli uchburchakning perimetrini topish
To'g'ri perimetrni P \u003d 3a formulasi bo'yicha topish mumkin, bu erda a - tomonning uzunligi. Agar noma'lum bo'lsa, uni mediana orqali topish mumkin. To'g'ri burchakli uchburchakda faqat ikkita tomon teng. Asosni Pifagor teoremasi orqali topish mumkin. Barcha uch tomonning qiymatlari ma'lum bo'lgandan so'ng, biz perimetrni hisoblaymiz. Buni P \u003d a + b + c formulasini qo'llash orqali topish mumkin, bu erda a va b teng tomonlar, c esa asosdir. Eslatib o'tamiz, teng yonli uchburchakda a \u003d b \u003d a, shuning uchun a + b \u003d 2a, keyin P \u003d 2a + c. Masalan, teng yonli uchburchakning tomoni 4 sm, asosini va perimetrini toping. Biz gipotenuzaning qiymatini Pifagor teoremasiga ko'ra hisoblaymiz c \u003d √a 2 + in 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 sm Endi biz P \u003d 4 \∙5 perimetrini hisoblaymiz. u003d 13,65 sm.
Muntazam ko'pburchakning burchaklarini qanday topish mumkin
Muntazam ko'pburchak hayotimizda har kuni sodir bo'ladi, masalan, oddiy kvadrat, uchburchak, sakkizburchak. Bu raqamni o'zingiz qurishdan osonroq narsa yo'qdek tuyuladi. Ammo bu faqat birinchi qarashda. Har qanday n-burchakni qurish uchun siz uning burchaklarining qiymatini bilishingiz kerak. Lekin ularni qanday topasiz? Hatto antik davr olimlari ham muntazam ko'pburchaklar qurishga harakat qilishgan. Ularni aylanalarga joylashtirishni taxmin qilishdi. Va keyin to'g'ri chiziqlar bilan bog'langan kerakli nuqtalar belgilandi. Oddiy raqamlar uchun qurilish muammosi hal qilindi. Formulalar va teoremalar olingan. Masalan, Evklid o'zining mashhur "Boshlanish" asarida 3-, 4-, 5-, 6- va 15-gonlar uchun masalalar yechish bilan shug'ullangan. U ularni qurish va burchaklarni topish yo'llarini topdi. Keling, buni 15-gon uchun qanday qilishni ko'rib chiqaylik. Avval siz uning ichki burchaklarining yig'indisini hisoblashingiz kerak. S = 180⁰(n-2) formulasidan foydalanish kerak. Shunday qilib, bizga 15-gon berilgan, ya'ni n soni 15 ga teng. Biz bilgan ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz va S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰ ni olamiz. Biz 15 burchakli burchakning barcha ichki burchaklarining yig'indisini topdik. Endi biz ularning har birining qiymatini olishimiz kerak. Hammasi bo'lib 15 ta burchak bor.2340⁰ ni hisoblaymiz: 15 = 156⁰. Bu shuni anglatadiki, har bir ichki burchak 156⁰, endi o'lchagich va kompasdan foydalanib, siz oddiy 15 burchakli burchakni qurishingiz mumkin. Ammo murakkabroq n-gonlar haqida nima deyish mumkin? Asrlar davomida olimlar bu muammoni hal qilish uchun kurashdilar. U faqat 18-asrda Karl Fridrix Gauss tomonidan topilgan. U 65537-gon qurishga muvaffaq bo'ldi. O'shandan beri muammo rasman to'liq hal qilingan deb hisoblanadi.
n-gonlarning burchaklarini radianlarda hisoblash
Albatta, ko'pburchaklarning burchaklarini topishning bir necha usullari mavjud. Ko'pincha ular darajalarda hisoblanadi. Lekin siz ularni radyanlarda ham ifodalashingiz mumkin. Buni qanday qilish kerak? Buni quyidagicha davom ettirish kerak. Birinchidan, biz muntazam ko'pburchakning tomonlar sonini topamiz, so'ngra undan 2 ni ayiramiz. Shunday qilib, biz qiymatni olamiz: n - 2. Topilgan farqni n soniga ko'paytiramiz ("pi" \u003d 3.14). Endi olingan mahsulotni n-gondagi burchaklar soniga bo'lishgina qoladi. Xuddi shu o'n besh qirrali misol yordamida ushbu hisob-kitoblarni ko'rib chiqing. Demak, n soni 15. S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72 formulasini qo‘llaymiz. Bu, albatta, radianlarda burchakni hisoblashning yagona usuli emas. Siz shunchaki burchakning o'lchamini 57,3 raqamiga bo'lishingiz mumkin. Axir, shuncha daraja bir radianga teng.
Burchaklar qiymatini darajalarda hisoblash
Darajalar va radianlarga qo'shimcha ravishda siz muntazam ko'pburchak burchaklarining qiymatini gradlarda topishga harakat qilishingiz mumkin. Bu quyidagi tarzda amalga oshiriladi. Burchaklarning umumiy sonidan 2 ni olib tashlang, natijada olingan farqni muntazam ko'pburchakning tomonlar soniga bo'ling. Biz topilgan natijani 200 ga ko'paytiramiz. Aytgancha, burchaklarni daraja kabi o'lchash birligi amalda qo'llanilmaydi.
n-gonlarning tashqi burchaklarini hisoblash
Har qanday muntazam ko'pburchak uchun ichki burchakka qo'shimcha ravishda tashqi burchakni ham hisoblashingiz mumkin. Uning qiymati boshqa raqamlar bilan bir xil tarzda topiladi. Shunday qilib, muntazam ko'pburchakning tashqi burchagini topish uchun siz ichki ko'pburchakning qiymatini bilishingiz kerak. Bundan tashqari, biz bu ikki burchakning yig'indisi har doim 180 daraja ekanligini bilamiz. Shuning uchun biz hisob-kitoblarni quyidagicha qilamiz: 180⁰ minus ichki burchak qiymati. Biz farqni topamiz. Unga ulashgan burchakning qiymatiga teng bo'ladi. Masalan, kvadratning ichki burchagi 90 daraja, shuning uchun tashqi burchak 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ bo'ladi. Ko'rib turganimizdek, uni topish qiyin emas. Tashqi burchak mos ravishda +180⁰ dan -180⁰ gacha bo'lgan qiymatni olishi mumkin.
Ko'pburchak - har tomondan yopiq siniq chiziq bilan chegaralangan geometrik figura. Bunday holda, poliliniyaning bog'lanishlari soni uchtadan kam bo'lmasligi kerak. Har bir juft poliliniya segmentlari umumiy nuqtaga ega va burchaklarni hosil qiladi. Burchaklar soni, ko'p chiziqli segmentlar soni bilan birga, ko'pburchakning asosiy belgilaridir. Har bir ko'pburchakda chegaralovchi yopiq ko'p chiziqning bo'g'inlari soni burchaklar soni bilan bir xil bo'ladi.
Geometriyada tomonlar odatda geometrik ob'ektni cheklaydigan ko'p chiziqli bog'lanishlar deb ataladi. Vertices - bu ikki qo'shni tomonning aloqa nuqtalari., ularning soni bo'yicha ko'pburchaklar o'z nomlarini oladi.
Agar yopiq siniq chiziq uchta segmentdan iborat bo'lsa, u uchburchak deyiladi; mos ravishda to'rt segmentdan - to'rtburchak, beshdan - beshburchak va boshqalar.
Uchburchak yoki to'rtburchakni belgilash uchun uning uchlarini bildiruvchi bosh lotin harflaridan foydalaning. Harflar tartibda chaqiriladi - soat yo'nalishi bo'yicha yoki soat sohasi farqli o'laroq.
Asosiy tushunchalar
Ko'pburchakning ta'rifini tavsiflashda ba'zi bog'liq geometrik tushunchalarni hisobga olish kerak:
- Agar cho'qqilar bir tomonning uchlari bo'lsa, ular qo'shnilar deb ataladi.
- Agar segment qo'shni bo'lmagan cho'qqilarni bog'lasa, u diagonal deb ataladi. Uchburchakning diagonallari bo'lishi mumkin emas.
- Ichki burchak - bu cho'qqilarning birida joylashgan burchak bo'lib, uning ikki tomoni shu nuqtada yaqinlashadi. U har doim geometrik shaklning ichki mintaqasida joylashgan. Agar ko'pburchak konveks bo'lmasa, uning o'lchami 180 darajadan oshishi mumkin.
- Muayyan cho'qqidagi tashqi burchak - bu ichki burchakka ulashgan burchak. Boshqacha qilib aytganda, tashqi burchakni 180 ° va ichki burchakning qiymati o'rtasidagi farq deb hisoblash mumkin.
- Barcha segmentlar qiymatlarining yig'indisi perimetr deb ataladi.
- Agar barcha tomonlar va barcha burchaklar teng bo'lsa, u to'g'ri deyiladi. Faqat konvekslar to'g'ri bo'lishi mumkin.
Yuqorida aytib o'tilganidek, ko'pburchak geometriyalarining nomlari cho'qqilar soniga asoslanadi. Agar figurada ulardan n tasi bo'lsa, u deyiladi n-gon:
- Agar ko'pburchak tekislikning cheklangan qismini cheklasa, tekis deyiladi. Bu geometrik figura aylana ichiga yozilishi yoki aylana bo'ylab chizilgan bo'lishi mumkin.
- Agar quyidagi shartlardan biriga javob bersa, n-burchak qavariq deyiladi.
- Shakl ikkita qo'shni cho'qqini bog'laydigan to'g'ri chiziqning bir tomonida joylashgan.
- Bu raqam bir nechta yarim tekisliklarning umumiy qismi yoki kesishishi bo'lib xizmat qiladi.
- Diagonallar ko'pburchak ichida joylashgan.
- Agar segmentning uchlari ko'pburchakka tegishli nuqtalarda joylashgan bo'lsa, butun segment unga tegishlidir.
- Shaklning barcha segmentlari va barcha burchaklari teng bo'lsa, uni muntazam deb atash mumkin. Masalan, kvadrat, teng tomonli uchburchak yoki oddiy beshburchak.
- Agar n-burchak qavariq bo'lmasa, uning barcha tomonlari va burchaklari teng bo'lsa va uchlari muntazam n-burchaknikiga to'g'ri kelsa, u yulduzli deyiladi. Bunday raqamlar o'z-o'zidan kesishgan bo'lishi mumkin. Misol sifatida pentagram yoki hexagram bo'lishi mumkin.
- Uchburchak yoki to'rtburchak aylana ichiga chizilgan deyiladi, agar uning barcha uchlari bir doira ichida joylashgan bo'lsa. Agar bu raqamning tomonlari aylana bilan aloqa nuqtalariga ega bo'lsa, bu ko'pburchakdir.
Har qanday qavariq n-burchakni uchburchaklarga bo'lish mumkin. Bunday holda, uchburchaklar soni tomonlar sonidan 2 ga kam bo'ladi.
Raqamlar turlari
Bu uchta cho'qqisi va ularni bog'laydigan uchta chiziq segmenti bo'lgan ko'pburchak. Bunday holda, segmentlarning ulanish nuqtalari bitta to'g'ri chiziqda yotmaydi.
Segmentlarning ulanish nuqtalari uchburchak uchlari. Segmentlarning o'zi uchburchakning tomonlari deb ataladi. Har bir uchburchakning ichki burchaklarining umumiy yig'indisi 180° ga teng.
Tomonlar orasidagi nisbatlarga ko'ra, barcha uchburchaklarni bir necha turga bo'lish mumkin:
- teng qirrali- unda barcha segmentlarning uzunligi bir xil bo'ladi.
- Izossellar Uchta teng segmentdan ikkitasi bo'lgan uchburchaklar.
- Ko'p tomonli- agar barcha segmentlarning uzunligi boshqacha bo'lsa.
Bundan tashqari, quyidagi uchburchaklarni ajratish odatiy holdir:
- O'tkir burchakli.
- To'rtburchak.
- o'tkir.
to'rtburchak
To'rtburchak - bu 4 ta uchi va ularni ketma-ket bog'laydigan 4 ta segmentga ega bo'lgan tekis shakl.
- Agar to'rtburchakning barcha burchaklari to'g'ri burchakli bo'lsa, bu shakl to'rtburchaklar deb ataladi.
- Barcha tomonlari bir xil o'lchamdagi to'rtburchaklar kvadrat deyiladi.
- Barcha tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak romb deyiladi.
To'rtburchakning uchta cho'qqisi bir to'g'ri chiziqda yotolmaydi.
Video
Ushbu videoda ko'pburchaklar haqida ko'proq ma'lumot olishingiz mumkin.
Ushbu darsda biz yangi mavzuni boshlaymiz va biz uchun yangi tushuncha - "ko'pburchak" bilan tanishamiz. Ko'pburchaklar bilan bog'liq bo'lgan asosiy tushunchalarni ko'rib chiqamiz: tomonlar, tepaliklar, burchaklar, qavariqlik va qavariqlik. Keyin ko‘pburchakning ichki burchaklarining yig‘indisi haqidagi teorema, ko‘pburchakning tashqi burchaklarining yig‘indisi haqidagi teorema kabi eng muhim faktlarni isbotlaymiz. Natijada, biz keyingi darslarda ko'rib chiqiladigan ko'pburchaklarning maxsus holatlarini o'rganishga yaqinlashamiz.
Mavzu: To'rtburchaklar
Dars: Ko‘pburchaklar
Geometriya kursida biz geometrik shakllarning xususiyatlarini o'rganamiz va ularning eng oddiylarini ko'rib chiqdik: uchburchaklar va doiralar. Shu bilan birga, biz ushbu raqamlarning to'g'ri burchakli, teng yonli va muntazam uchburchaklar kabi maxsus holatlarini ham muhokama qildik. Endi umumiy va murakkab shakllar haqida gapirish vaqti keldi - poligonlar.
Maxsus holat bilan poligonlar biz allaqachon tanishmiz - bu uchburchak (1-rasmga qarang).
Guruch. 1. Uchburchak
Ismning o'zi allaqachon bu uchta burchakka ega bo'lgan raqam ekanligini ta'kidlaydi. Shuning uchun, in poligon ularning ko'plari bo'lishi mumkin, ya'ni. uchdan ortiq. Misol uchun, beshburchakni chizamiz (2-rasmga qarang), ya'ni. beshta burchakli rasm.
Guruch. 2. Pentagon. Qavariq ko'pburchak
Ta'rif.Poligon- bir nechta nuqtadan (ikkidan ortiq) va ularni ketma-ket bog'laydigan segmentlarning tegishli sonidan iborat raqam. Bu nuqtalar deyiladi cho'qqilari ko'pburchak va segmentlar - partiyalar. Bunday holda, bir xil to'g'ri chiziqda ikkita qo'shni tomon yotmaydi va ikkita qo'shni bo'lmagan tomonlar kesishmaydi.
Ta'rif.muntazam ko'pburchak barcha tomonlari va burchaklari teng bo'lgan qavariq ko'pburchakdir.
Har qanday poligon samolyotni ikki hududga ajratadi: ichki va tashqi. Ichki makon deb ham ataladi poligon.
Boshqacha qilib aytganda, masalan, beshburchak haqida gapirganda, ular butun ichki mintaqani ham, chegarasini ham anglatadi. Va ichki maydon ham ko'pburchak ichida yotadigan barcha nuqtalarni o'z ichiga oladi, ya'ni. nuqta ham beshburchakka tegishli (2-rasmga qarang).
Ko'pburchaklar ba'zan n-burchaklar deb ham ataladi, buning uchun noma'lum miqdordagi burchaklar (n dona) bo'lishining umumiy holati ko'rib chiqilmoqda.
Ta'rif. Poligon perimetri ko'pburchak tomonlari uzunliklarining yig'indisidir.
Endi biz ko'pburchak turlari bilan tanishishimiz kerak. Ular bo'linadi qavariq va qavariq bo'lmagan. Masalan, rasmda ko'rsatilgan ko'pburchak. 2 qavariq va shaklda. 3 qavariq bo'lmagan.
Guruch. 3. Qavariq bo'lmagan ko'pburchak
Ta'rif 1. Poligon chaqirdi qavariq, agar to'g'ri chiziqni uning birorta tomoni orqali o'tkazayotganda, butun poligon bu chiziqning faqat bir tomonida yotadi. qavariq bo'lmagan qolganlari hammasi poligonlar.
Tasavvur qilish osonki, beshburchakning istalgan tomonini kengaytirganda, rasmda. 2 hammasi bu to'g'ri chiziqning bir tomonida bo'ladi, ya'ni. u qavariq. Ammo rasmda to'rtburchak orqali to'g'ri chiziq o'tkazganda. 3 biz allaqachon uni ikki qismga bo'lganini ko'ramiz, ya'ni. u qavariq emas.
Ammo ko'pburchakning qavariqligining yana bir ta'rifi mavjud.
Ta'rif 2. Poligon chaqirdi qavariq agar uning istalgan ikkita ichki nuqtasini tanlaganda va ularni segment bilan bog'laganda, segmentning barcha nuqtalari ham ko'pburchakning ichki nuqtalari hisoblanadi.
Ushbu ta'rifdan foydalanishning namoyishini rasmdagi segmentlarni qurish misolida ko'rish mumkin. 2 va 3.
Ta'rif. Diagonal Ko'pburchak - bu ikkita qo'shni bo'lmagan cho'qqilarni bog'laydigan har qanday segment.
Ko'pburchaklarning xususiyatlarini tavsiflash uchun ularning burchaklari haqida ikkita eng muhim teorema mavjud: qavariq ko'pburchak ichki burchak yig'indisi teoremasi va qavariq ko'pburchak tashqi burchak yig'indisi teoremasi. Keling, ularni ko'rib chiqaylik.
Teorema. Qavariq ko'pburchakning ichki burchaklari yig'indisiga (n-gon).
Uning burchaklari (tomonlari) soni qayerda.
Isbot 1. Keling, rasmda tasvirlaymiz. 4 ta qavariq n-burchak.
Guruch. 4. Qavariq n-burchak
Cho'qqidan barcha mumkin bo'lgan diagonallarni chizing. Ular n-burchakni uchburchaklarga ajratadilar, chunki ko'pburchakning har bir tomoni uchburchak hosil qiladi, cho'qqiga qo'shni tomonlardan tashqari. Rasmdan shuni ko'rish mumkinki, barcha uchburchaklarning burchaklari yig'indisi n-burchakning ichki burchaklari yig'indisiga teng bo'ladi. Har qanday uchburchakning burchaklarining yig'indisi bo'lganligi sababli, n-burchakning ichki burchaklarining yig'indisi:
Q.E.D.
Isbot 2. Bu teoremaning yana bir isboti ham mumkin. Keling, rasmda shunga o'xshash n-gon chizamiz. 5 va uning har qanday ichki nuqtalarini barcha cho'qqilarga ulang.
Guruch. 5.
Biz n-burchakning n ta uchburchakka bo'linishini oldik (qancha tomon, shunchalik ko'p uchburchak). Ularning barcha burchaklarining yig'indisi ko'pburchakning ichki burchaklarining yig'indisiga va ichki nuqtadagi burchaklar yig'indisiga teng va bu burchakdir. Bizda ... bor:
Q.E.D.
Tasdiqlangan.
Isbotlangan teoremaga ko'ra, n-burchakning burchaklarining yig'indisi uning tomonlari soniga (n bo'yicha) bog'liqligini ko'rish mumkin. Masalan, uchburchakda va burchaklar yig'indisi . To'rtburchakda va burchaklar yig'indisi - va hokazo.
Teorema. Qavariq ko'pburchakning tashqi burchaklari yig'indisiga (n-gon).
Uning burchaklari (tomonlari) soni qayerda, va , ... - tashqi burchaklar.
Isbot. Shaklda qavariq n-burchak chizamiz. 6 va uning ichki va tashqi burchaklarini belgilang.
Guruch. 6. Belgilangan tashqi burchakli qavariq n-gon
Chunki tashqi burchak qo'shni sifatida ichki biriga ulanadi, keyin va shunga o'xshash boshqa tashqi burchaklar uchun. Keyin:
O'zgartirishlar paytida biz n-burchakning ichki burchaklarining yig'indisi haqidagi allaqachon isbotlangan teoremadan foydalandik.
Tasdiqlangan.
Isbotlangan teoremadan qiziqarli fakt kelib chiqadiki, qavariq n-burchakning tashqi burchaklarining yig'indisi ga teng. uning burchaklari (tomonlari) soni bo'yicha. Aytgancha, ichki burchaklar yig'indisidan farqli o'laroq.
Adabiyotlar ro'yxati
- Aleksandrov A.D. va hokazo Geometriya, 8-sinf. - M.: Ta'lim, 2006 yil.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometriya, 8-sinf. - M.: Ta'lim, 2011 yil.
- Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir S.M. Geometriya, 8-sinf. - M.: VENTANA-GRAF, 2009 yil.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com().
Uy vazifasi
- 1c korxona 8.3 oyning yopilishi. Boshlang'ich hisobchi uchun chorakni qanday yopish kerak asta-sekin ko'rsatmalar. Tashkilotning buxgalteriya siyosatini o'rnatish
- Mahsulot tannarxini hisoblash va hisoblash Xarajatlarni taqsimlash orqali tannarxni hisoblash
- 1s 8.3 buxgalteriya ari sotish. Asosiy vositalar va mnma sotishni "1s"da qanday aks ettirish. Amortizatsiya badalini undirish bilan asosiy vositani sotish
- Er yuzidagi eng baxtli odamlar: xususiyatlar va qiziqarli faktlar