পাঠ "বহুভুজ। বহুভুজের প্রকার" প্রযুক্তির মধ্যে "পড়া এবং লেখার মাধ্যমে সমালোচনামূলক চিন্তার বিকাশ"
বহুভুজ বৈশিষ্ট্য
একটি বহুভুজ হল একটি জ্যামিতিক চিত্র, সাধারণত স্ব-ছেদ ছাড়াই একটি বন্ধ পলিলাইন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় (একটি সাধারণ বহুভুজ (চিত্র 1a)), তবে কখনও কখনও স্ব-ছেদ অনুমোদিত হয় (তখন বহুভুজটি সরল নয়)।
পলিলাইনের শীর্ষবিন্দুগুলিকে বহুভুজের শীর্ষবিন্দু বলা হয় এবং অংশগুলিকে বহুভুজের বাহু বলা হয়। বহুভুজের শীর্ষবিন্দুগুলিকে প্রতিবেশী বলা হয় যদি তারা তার বাহুর একটি প্রান্ত হয়। বহুভুজের অ-প্রতিবেশী শীর্ষবিন্দুকে সংযোগকারী রেখার অংশগুলিকে কর্ণ বলা হয়।
একটি প্রদত্ত শীর্ষবিন্দুতে একটি উত্তল বহুভুজের একটি কোণ (বা অভ্যন্তরীণ কোণ) হল তার বাহুগুলি এই শীর্ষে একত্রিত হয়ে গঠিত কোণ, এবং কোণটিকে বহুভুজের পাশ থেকে বিবেচনা করা হয়। বিশেষ করে, বহুভুজ উত্তল না হলে কোণটি 180° অতিক্রম করতে পারে।
একটি প্রদত্ত শীর্ষবিন্দুতে একটি উত্তল বহুভুজের বাহ্যিক কোণ হল সেই শীর্ষে থাকা বহুভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের সংলগ্ন কোণ। সাধারণভাবে, বাইরের কোণ হল 180° এবং ভিতরের কোণের মধ্যে পার্থক্য। > 3-এর জন্য -gon-এর প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে - 3টি কর্ণ আছে, তাই -gon-এর মোট কর্ণ সংখ্যা সমান।
তিনটি শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট বহুভুজকে ত্রিভুজ বলা হয়, যার চারটি - একটি চতুর্ভুজ, পাঁচটি - একটি পঞ্চভুজ ইত্যাদি।
সঙ্গে বহুভুজ nচূড়া বলা হয় n-বর্গক্ষেত্র
একটি সমতল বহুভুজ হল একটি চিত্র যা একটি বহুভুজ এবং এটি দ্বারা আবদ্ধ এলাকার সসীম অংশ নিয়ে গঠিত।
একটি বহুভুজকে উত্তল বলা হয় যদি নিম্নলিখিত (সমতুল্য) শর্তগুলির মধ্যে একটি পূরণ করা হয়:
- 1. এটি তার প্রতিবেশী শীর্ষবিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে এমন কোনও সরল রেখার একপাশে অবস্থিত। (অর্থাৎ, একটি বহুভুজের বাহুর সম্প্রসারণ তার অন্য বাহুকে ছেদ করে না);
- 2. এটি বেশ কয়েকটি অর্ধ-বিমানের ছেদ (অর্থাৎ সাধারণ অংশ);
- 3. বহুভুজের অন্তর্গত বিন্দুতে শেষ সহ যেকোন সেগমেন্ট সম্পূর্ণরূপে এর অন্তর্গত।
একটি উত্তল বহুভুজকে নিয়মিত বলা হয় যদি সমস্ত বাহু সমান হয় এবং সমস্ত কোণ সমান হয়, উদাহরণস্বরূপ, একটি সমবাহু ত্রিভুজ, একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি পঞ্চভুজ।
একটি উত্তল বহুভুজকে একটি বৃত্ত সম্পর্কে খোদাই করা বলা হয় যদি এর সমস্ত বাহু কিছু বৃত্তের স্পর্শক হয়
একটি নিয়মিত বহুভুজ হল একটি বহুভুজ যার সমস্ত কোণ এবং সমস্ত বাহু সমান।
বহুভুজ বৈশিষ্ট্য:
1 একটি উত্তল -গনের প্রতিটি কর্ণ, যেখানে >3, এটিকে দুটি উত্তল বহুভুজে পরিণত করে।
2 একটি উত্তল -গনের সমস্ত কোণের সমষ্টি সমান।
D-in: আসুন গাণিতিক আবেশ পদ্ধতি দ্বারা উপপাদ্যটি প্রমাণ করি। = 3 এর জন্য এটা স্পষ্ট। অনুমান করুন যে উপপাদ্যটি a -gon এর জন্য সত্য, যেখানে <, এবং -gon এর জন্য এটি প্রমাণ করুন।
একটি প্রদত্ত বহুভুজ হতে দিন। এই বহুভুজের একটি কর্ণ আঁকুন। উপপাদ্য 3 দ্বারা, বহুভুজ একটি ত্রিভুজ এবং একটি উত্তল -গন (চিত্র 5) এ পচে যায়। আবেশন অনুমান দ্বারা. অন্য দিকে, . এই সমতা যোগ করা এবং যে অ্যাকাউন্ট গ্রহণ (- ভিতরের মরীচি কোণ ) এবং (- ভিতরের মরীচি কোণ ), আমরা পাই যখন আমরা পাই: .
3 যেকোন নিয়মিত বহুভুজ সম্পর্কে একটি বৃত্ত বর্ণনা করা সম্ভব, এবং উপরন্তু, শুধুমাত্র একটি।
D-in: একটি নিয়মিত বহুভুজ ধরা যাক, এবং এবং কোণের দ্বিখণ্ডক, এবং (চিত্র 150)। যেহেতু, তাই, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке ও.আসুন প্রমাণ করি ও = OA 2 = ও =… = OA পৃ . ত্রিভুজ ওসমদ্বিবাহু, অতএব ও= ও. ত্রিভুজের সমতার দ্বিতীয় মানদণ্ড অনুসারে, তাই, ও = ও. একইভাবে, এটি প্রমাণিত হয় ও = ওইত্যাদি তাই বিন্দু ওবহুভুজের সমস্ত শীর্ষবিন্দু থেকে সমান দূরত্বে, তাই কেন্দ্রের সাথে বৃত্ত ওব্যাসার্ধ ওএকটি বহুভুজ সম্পর্কে সীমাবদ্ধ করা হয়।
আসুন এখন প্রমাণ করি যে শুধুমাত্র একটি পরিধিকৃত বৃত্ত রয়েছে। একটি বহুভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু বিবেচনা করুন, উদাহরণস্বরূপ, কিন্তু 2 , . যেহেতু শুধুমাত্র একটি বৃত্ত এই বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যায়, তারপর বহুভুজ সম্পর্কে … আপনি একাধিক চেনাশোনা বর্ণনা করতে পারবেন না.
- 4 যেকোন নিয়মিত বহুভুজে, আপনি একটি বৃত্ত লিখতে পারেন এবং উপরন্তু, শুধুমাত্র একটি।
- 5 একটি নিয়মিত বহুভুজে খোদাই করা একটি বৃত্ত বহুভুজের পার্শ্বগুলিকে তাদের মধ্যবিন্দুতে স্পর্শ করে।
- 6 একটি নিয়মিত বহুভুজ পরিক্রমা করে একটি বৃত্তের কেন্দ্র একই বহুভুজে খোদাই করা একটি বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে মিলে যায়।
- 7 প্রতিসাম্য:
একটি চিত্রকে প্রতিসম (প্রতিসম) বলা হয় যদি এমন একটি আন্দোলন (অভিন্ন নয়) থাকে যা এই চিত্রটিকে নিজের মধ্যে রূপান্তরিত করে।
- 7.1। একটি সাধারণ ত্রিভুজের কোন অক্ষ বা প্রতিসাম্য কেন্দ্র নেই, এটি প্রতিসম নয়। একটি সমদ্বিবাহু (কিন্তু সমবাহু নয়) ত্রিভুজের প্রতিসাম্যের একটি অক্ষ রয়েছে: ভিত্তিটির লম্ব দ্বিখণ্ডক।
- 7.2। একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিসাম্যের তিনটি অক্ষ রয়েছে (পার্শ্বে লম্ব দ্বিখণ্ডক) এবং কেন্দ্রের ঘূর্ণন প্রতিসাম্য 120° একটি ঘূর্ণন কোণ।
7.3 যেকোন নিয়মিত n-gon-এর n অক্ষ প্রতিসাম্য থাকে, যার সবকটিই এর কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়। এটি একটি ঘূর্ণন কোণ সহ কেন্দ্র সম্পর্কে ঘূর্ণনশীল প্রতিসাম্যও রয়েছে।
এমন কি nপ্রতিসাম্যের কিছু অক্ষ বিপরীত শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, অন্যগুলো বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে যায়।
বিজোড় জন্য nপ্রতিটি অক্ষ বিপরীত দিকের শীর্ষবিন্দু এবং মধ্যবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়।
একটি জোড় সংখ্যক বাহু বিশিষ্ট একটি নিয়মিত বহুভুজের কেন্দ্র হল এর প্রতিসাম্য কেন্দ্র। বিজোড় সংখ্যক বাহুর একটি নিয়মিত বহুভুজের প্রতিসাম্যের কেন্দ্র নেই।
8 সাদৃশ্য:
সাদৃশ্য সহ, এবং -গন একটি -গন, অর্ধ-বিমান - একটি অর্ধ-বিমানে যায়, তাই উত্তল n-গন উত্তল হয়ে যায় n-গন
উপপাদ্য: যদি উত্তল বহুভুজের বাহু এবং কোণ এবং সমতা পূরণ করে:
পডিয়াম সহগ কোথায়
তাহলে এই বহুভুজ একই রকম।
- 8.1 দুটি অনুরূপ বহুভুজের পরিধির অনুপাত সাদৃশ্য সহগের সমান।
- 8.2। দুটি উত্তল সদৃশ বহুভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত সাদৃশ্য সহগের বর্গক্ষেত্রের সমান।
বহুভুজ ত্রিভুজ পরিধি উপপাদ্য
বিভাগ: গণিত
বিষয়, ছাত্রদের বয়স: জ্যামিতি, গ্রেড 9
পাঠের উদ্দেশ্য: বহুভুজের প্রকার অধ্যয়ন।
শেখার কাজ: বহুভুজ সম্পর্কে শিক্ষার্থীদের জ্ঞান আপডেট করা, প্রসারিত করা এবং সাধারণীকরণ করা; একটি বহুভুজের "উপাদান" সম্পর্কে ধারণা তৈরি করুন; নিয়মিত বহুভুজ (একটি ত্রিভুজ থেকে এন-গন) এর উপাদান উপাদানের সংখ্যার একটি অধ্যয়ন পরিচালনা করুন;
উন্নয়নমূলক কাজ: বিশ্লেষণ, তুলনা, উপসংহার আঁকতে, গণনার দক্ষতা বিকাশ, মৌখিক এবং লিখিত গাণিতিক বক্তৃতা, স্মৃতিশক্তি, সেইসাথে চিন্তাভাবনা এবং শেখার ক্রিয়াকলাপে স্বাধীনতা, জোড়া এবং দলে কাজ করার ক্ষমতা বিকাশ করা; গবেষণা এবং শিক্ষা কার্যক্রম বিকাশ;
শিক্ষামূলক কাজ: স্বাধীনতা, কার্যকলাপ, অর্পিত কাজের জন্য দায়িত্ব, লক্ষ্য অর্জনে অধ্যবসায় শিক্ষিত করা।
ক্লাস চলাকালীন:ব্ল্যাকবোর্ডে একটি উদ্ধৃতি লেখা আছে
"প্রকৃতি গণিতের ভাষায় কথা বলে, এই ভাষার অক্ষর ... গাণিতিক পরিসংখ্যান।" G. গ্যালিলি
পাঠের শুরুতে, শ্রেণীটি কার্যকারী গোষ্ঠীতে বিভক্ত (আমাদের ক্ষেত্রে, 4 জনের প্রতিটি গ্রুপে বিভক্ত - গ্রুপের সদস্য সংখ্যা প্রশ্ন গোষ্ঠীর সংখ্যার সমান)।
1. কল স্টেজ-
লক্ষ্য:
ক) বিষয়ে শিক্ষার্থীদের জ্ঞান আপডেট করা;
খ) অধ্যয়নের অধীন বিষয়ের প্রতি আগ্রহের জাগরণ, প্রতিটি শিক্ষার্থীর শেখার কার্যকলাপের জন্য অনুপ্রেরণা।
অভ্যর্থনা: খেলা "আপনি কি বিশ্বাস করেন যে ...", পাঠ্যের সাথে কাজের সংগঠন।
কাজের ফর্ম: সম্মুখ, গোষ্ঠী।
"তুমি কি এটা বিশ্বাস কর…."
1. ... "বহুভুজ" শব্দটি নির্দেশ করে যে এই পরিবারের সমস্ত পরিসংখ্যানের "অনেক কোণ" আছে?
2. … একটি ত্রিভুজ বহুভুজের একটি বৃহৎ পরিবারের অন্তর্গত, সমতলে বিভিন্ন জ্যামিতিক আকারের মধ্যে আলাদা?
3. …একটি বর্গ কি একটি নিয়মিত অষ্টভুজ (চার বাহু + চার কোণ)?
আজ পাঠে আমরা বহুভুজ সম্পর্কে কথা বলব। আমরা শিখি যে এই চিত্রটি একটি বন্ধ ভাঙা লাইন দ্বারা আবদ্ধ, যা ঘুরে সহজ, বন্ধ হতে পারে। আসুন এই সত্যটি সম্পর্কে কথা বলি যে বহুভুজগুলি সমতল, নিয়মিত, উত্তল। সমতল বহুভুজগুলির মধ্যে একটি হল একটি ত্রিভুজ যার সাথে আপনি দীর্ঘদিন ধরে পরিচিত (আপনি ছাত্রদেরকে বহুভুজ, একটি ভাঙা রেখা, তাদের বিভিন্ন প্রকার দেখাতে পোস্টার দেখাতে পারেন, আপনি TCO ব্যবহার করতে পারেন)।
2. বোঝার পর্যায়
উদ্দেশ্য: নতুন তথ্য প্রাপ্তি, তার উপলব্ধি, নির্বাচন।
অভ্যর্থনা: zigzag.
কাজের ধরন: স্বতন্ত্র->জোড়া->গোষ্ঠী।
প্রতিটি গোষ্ঠীকে পাঠের বিষয়ের উপর একটি পাঠ্য দেওয়া হয় এবং পাঠ্যটি এমনভাবে ডিজাইন করা হয়েছে যাতে এটি শিক্ষার্থীদের কাছে ইতিমধ্যে পরিচিত এবং সম্পূর্ণ নতুন তথ্য উভয়ই অন্তর্ভুক্ত করে। পাঠ্যের সাথে একসাথে, শিক্ষার্থীরা প্রশ্নগুলি গ্রহণ করে, যার উত্তর অবশ্যই এই পাঠ্যটিতে পাওয়া উচিত।
বহুভুজ। বহুভুজের প্রকারভেদ।
রহস্যময় বারমুডা ট্রায়াঙ্গেলের কথা কে শোনেনি, যেখানে জাহাজ ও প্লেন কোনো চিহ্ন ছাড়াই অদৃশ্য হয়ে যায়? তবে শৈশব থেকে আমাদের কাছে পরিচিত ত্রিভুজটি অনেক আকর্ষণীয় এবং রহস্যময় জিনিসে পরিপূর্ণ।
আমাদের কাছে ইতিমধ্যে পরিচিত ত্রিভুজের প্রকারগুলি ছাড়াও, বাহু (স্কেলিন, সমদ্বিবাহু, সমবাহু) এবং কোণ (তীব্র-কোণ, স্থূল-কোণ, সমকোণ) দ্বারা বিভক্ত, ত্রিভুজটি বহুভুজগুলির একটি বৃহৎ পরিবারের অন্তর্গত অনেকগুলি থেকে আলাদা। সমতলে বিভিন্ন জ্যামিতিক আকার।
"বহুভুজ" শব্দটি নির্দেশ করে যে এই পরিবারের সমস্ত পরিসংখ্যান "অনেক কোণ" রয়েছে। কিন্তু এই চিত্রটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত করার জন্য যথেষ্ট নয়।
একটি ভাঙা রেখা A 1 A 2 ... A n হল একটি চিত্র যা বিন্দু A 1, A 2, ... A n এবং সেগমেন্ট A 1 A 2, A 2 A 3, ... তাদের সংযোগ করে। বিন্দুগুলিকে পলিলাইনের শীর্ষবিন্দু বলা হয় এবং অংশগুলিকে পলিলাইনের লিঙ্ক বলা হয়। (আকার 1)
একটি ভাঙা রেখাকে সহজ বলা হয় যদি এতে স্ব-ছেদ না থাকে (চিত্র 2,3)।
একটি ভাঙা লাইন বন্ধ বলা হয় যদি এর শেষগুলি মিলে যায়। একটি ভাঙা লাইনের দৈর্ঘ্য হল তার লিঙ্কগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি (চিত্র 4)।
একটি সাধারণ বদ্ধ ভাঙা রেখাকে বহুভুজ বলা হয় যদি এর সংলগ্ন লিঙ্কগুলি একই সরল রেখায় না থাকে (চিত্র 5)।
"অনেক" অংশের পরিবর্তে "বহুভুজ" শব্দের পরিবর্তে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা, উদাহরণস্বরূপ 3। আপনি একটি ত্রিভুজ পাবেন। অথবা 5. তারপর - একটি পঞ্চভুজ। মনে রাখবেন যে যতগুলি কোণ আছে ততগুলি বাহু আছে, তাই এই পরিসংখ্যানগুলিকে বহুপাক্ষিক বলা যেতে পারে।
পলিলাইনের শীর্ষবিন্দুগুলিকে বহুভুজের শীর্ষবিন্দু বলা হয় এবং পলিলাইনের লিঙ্কগুলিকে বহুভুজের বাহু বলা হয়।
বহুভুজ সমতলকে দুটি অঞ্চলে বিভক্ত করে: অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক (চিত্র 6)।
একটি সমতল বহুভুজ বা বহুভুজ অঞ্চল হল একটি সমতলের একটি সীমিত অংশ যা একটি বহুভুজ দ্বারা আবদ্ধ।
একটি বহুভুজের দুটি শীর্ষবিন্দু যা একই বাহুর প্রান্তগুলিকে প্রতিবেশী বলে। যে সকল শীর্ষবিন্দুর এক বাহুর শেষ নেই সেগুলো অ-সংলগ্ন।
n শীর্ষবিন্দু সহ একটি বহুভুজ এবং তাই n বাহুগুলিকে এন-গন বলা হয়।
যদিও একটি বহুভুজের বাহুর ক্ষুদ্রতম সংখ্যা 3। কিন্তু ত্রিভুজ, একে অপরের সাথে সংযোগ স্থাপন করে, অন্যান্য আকার তৈরি করতে পারে, যা ফলস্বরূপ বহুভুজও হয়।
বহুভুজের অ-প্রতিবেশী শীর্ষবিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করা অংশগুলিকে কর্ণ বলা হয়।
একটি বহুভুজকে উত্তল বলা হয় যদি এটি একটি অর্ধ-সমতলের মধ্যে থাকে যার দিকটি থাকা যেকোনো রেখার সাপেক্ষে। এই ক্ষেত্রে, সরলরেখাটি নিজেই অর্ধ-বিমানের অন্তর্গত বলে মনে করা হয়।
একটি প্রদত্ত শীর্ষবিন্দুতে একটি উত্তল বহুভুজের কোণ হল সেই কোণ যা তার বাহুগুলি সেই শীর্ষে একত্রিত হয়ে গঠিত কোণ।
আসুন উপপাদ্যটি প্রমাণ করি (একটি উত্তল n-গনের কোণের যোগফলের উপর): একটি উত্তল n-গনের কোণের সমষ্টি 180 0 *(n - 2) এর সমান।
প্রমাণ। n=3 ক্ষেত্রে উপপাদ্যটি সত্য। А 1 А 2 …А n একটি প্রদত্ত উত্তল বহুভুজ এবং n>3 হোক। এর মধ্যে তির্যক আঁকুন (একটি শীর্ষবিন্দু থেকে)। যেহেতু বহুভুজটি উত্তল, তাই এই কর্ণগুলি এটিকে n - 2 ত্রিভুজে বিভক্ত করে। বহুভুজের কোণের সমষ্টি এই সমস্ত ত্রিভুজের কোণের সমষ্টির সমান। প্রতিটি ত্রিভুজের কোণের যোগফল হল 180 0, এবং এই ত্রিভুজের সংখ্যা হল n - 2। অতএব, একটি উত্তল n - কোণের কোণের সমষ্টি A 1 A 2 ... A n হল 180 0 * ( n - 2)। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।
একটি প্রদত্ত শীর্ষবিন্দুতে একটি উত্তল বহুভুজের বাহ্যিক কোণ হল সেই শীর্ষে থাকা বহুভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের সংলগ্ন কোণ।
একটি উত্তল বহুভুজকে নিয়মিত বলা হয় যদি সমস্ত বাহু সমান হয় এবং সমস্ত কোণ সমান হয়।
তাই বর্গক্ষেত্রটিকে ভিন্নভাবে বলা যেতে পারে - একটি নিয়মিত চতুর্ভুজ। সমবাহু ত্রিভুজগুলিও নিয়মিত। এই ধরনের পরিসংখ্যানগুলি দীর্ঘকাল ধরে বিল্ডিংগুলি সজ্জিত করা মাস্টারদের কাছে আগ্রহের বিষয় ছিল। তারা সুন্দর নিদর্শন তৈরি করেছে, উদাহরণস্বরূপ, কাঠের উপর। কিন্তু সব নিয়মিত বহুভুজ কাঠের তৈরি করতে ব্যবহার করা যেত না। নিয়মিত অষ্টভুজ থেকে Parquet গঠন করা যাবে না। আসল বিষয়টি হল যে তাদের প্রতিটি কোণ 135 0 এর সমান। এবং যদি কোন বিন্দু এই ধরনের দুটি অষ্টভুজের শীর্ষবিন্দু হয় তবে তাদের 270 0 হবে এবং তৃতীয় অষ্টভুজটি ফিট করার জন্য কোথাও নেই: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. কিন্তু একটি বর্গক্ষেত্রের জন্য যথেষ্ট। অতএব, নিয়মিত অষ্টভুজ এবং বর্গাকার থেকে পারকেটটি ভাঁজ করা সম্ভব।
তারা সঠিক. আমাদের পাঁচ-বিন্দু বিশিষ্ট তারা একটি নিয়মিত পঞ্চভুজ তারকা। এবং যদি আপনি কেন্দ্রের চারপাশে 45 0 দ্বারা বর্গক্ষেত্র ঘোরান, আপনি একটি নিয়মিত অষ্টভুজাকার তারা পাবেন।
1 দল
একটি ভাঙ্গা লাইন কি? পলিলাইনের শীর্ষবিন্দু এবং লিঙ্কগুলি কী তা ব্যাখ্যা কর।
কোন ভাঙ্গা রেখাকে সরল বলা হয়?
কোন ভাঙ্গা লাইনকে বন্ধ বলা হয়?
বহুভুজ কি? বহুভুজের শীর্ষবিন্দুকে কী বলা হয়? বহুভুজের বাহুগুলো কী কী?
2 দল
সমতল বহুভুজ কি? বহুভুজের উদাহরণ দাও।
এন-গন কি?
বহুভুজের কোন শীর্ষবিন্দু সংলগ্ন এবং কোনটি নয় তা ব্যাখ্যা কর।
বহুভুজের কর্ণ কত?
3 দল
উত্তল বহুভুজ কি?
বহুভুজের কোন কোণগুলি বাহ্যিক এবং কোনটি অভ্যন্তরীণ তা ব্যাখ্যা কর?
একটি নিয়মিত বহুভুজ কি? নিয়মিত বহুভুজের উদাহরণ দাও।
4 দল
একটি উত্তল n-gon এর কোণের সমষ্টি কত? প্রমান কর.
শিক্ষার্থীরা পাঠ্যের সাথে কাজ করে, উত্থাপিত প্রশ্নের উত্তরগুলি সন্ধান করে, তারপরে বিশেষজ্ঞ গোষ্ঠী তৈরি করা হয়, যেখানে একই বিষয়গুলিতে কাজ করা হয়: শিক্ষার্থীরা মূল জিনিসটি হাইলাইট করে, একটি সমর্থনকারী বিমূর্ত আঁকুন, একটিতে তথ্য উপস্থাপন করুন। গ্রাফিক ফর্ম। কাজ শেষে, ছাত্ররা তাদের কর্ম দলে ফিরে আসে।
3. প্রতিফলনের পর্যায় -
ক) তাদের জ্ঞানের মূল্যায়ন, জ্ঞানের পরবর্তী ধাপে চ্যালেঞ্জ;
খ) প্রাপ্ত তথ্যের উপলব্ধি এবং উপযোগ।
অভ্যর্থনা: গবেষণা কাজ।
কাজের ধরন: স্বতন্ত্র->জোড়া->গোষ্ঠী।
কার্যকারী দলগুলি প্রস্তাবিত প্রশ্নের প্রতিটি অংশের উত্তরে বিশেষজ্ঞ।
ওয়ার্কিং গ্রুপে ফিরে, বিশেষজ্ঞ তাদের প্রশ্নের উত্তর দিয়ে গ্রুপের অন্যান্য সদস্যদের পরিচয় করিয়ে দেন। গ্রুপে ওয়ার্কিং গ্রুপের সকল সদস্যের তথ্য বিনিময় হয়। সুতরাং, প্রতিটি ওয়ার্কিং গ্রুপে, বিশেষজ্ঞদের কাজের জন্য ধন্যবাদ, অধ্যয়নের অধীন বিষয়ের উপর একটি সাধারণ ধারণা তৈরি হয়।
শিক্ষার্থীদের গবেষণার কাজ - ছক পূরণ।
নিয়মিত বহুভুজ | অঙ্কন | পক্ষের সংখ্যা | শিখরের সংখ্যা | সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি | ডিগ্রী পরিমাপ int. কোণ | বাহ্যিক কোণের ডিগ্রি পরিমাপ | কর্ণের সংখ্যা |
ক) একটি ত্রিভুজ | |||||||
খ) চতুর্ভুজ | |||||||
খ) পাঁচ দেয়াল | |||||||
ঘ) ষড়ভুজ | |||||||
ঙ) এন-গন |
পাঠের বিষয়ে আকর্ষণীয় সমস্যা সমাধান করা।
- চতুর্ভুজে, একটি রেখা আঁকুন যাতে এটি তিনটি ত্রিভুজে বিভক্ত হয়।
- একটি নিয়মিত বহুভুজের কয়টি বাহু থাকে, যার প্রতিটি অভ্যন্তরীণ কোণ 135 0 এর সমান?
- একটি নির্দিষ্ট বহুভুজে, সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণ একে অপরের সমান। এই বহুভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি কি হতে পারে: 360 0 , 380 0?
পাঠের সারসংক্ষেপ। হোমওয়ার্ক রেকর্ডিং।
ত্রিভুজ, বর্গক্ষেত্র, ষড়ভুজ - এই পরিসংখ্যানগুলি প্রায় সকলের কাছে পরিচিত। তবে নিয়মিত বহুভুজ কী তা সবাই জানে না। কিন্তু এই সব একই রেগুলার বহুভুজকে বলা হয় যার সমান কোণ এবং বাহু রয়েছে। এই ধরনের পরিসংখ্যান অনেক আছে, কিন্তু তাদের সব একই বৈশিষ্ট্য আছে, এবং একই সূত্র তাদের জন্য প্রযোজ্য.
নিয়মিত বহুভুজের বৈশিষ্ট্য
যেকোনো নিয়মিত বহুভুজ, তা বর্গক্ষেত্র বা অষ্টভুজই হোক, একটি বৃত্তে খোদাই করা যেতে পারে। একটি চিত্র নির্মাণ করার সময় এই মৌলিক সম্পত্তি প্রায়ই ব্যবহৃত হয়। এছাড়াও, একটি বহুভুজে একটি বৃত্তও খোদাই করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, যোগাযোগের পয়েন্টের সংখ্যা তার পক্ষের সংখ্যার সমান হবে। এটি গুরুত্বপূর্ণ যে একটি নিয়মিত বহুভুজে খোদাই করা একটি বৃত্তের সাথে একটি সাধারণ কেন্দ্র থাকবে। এই জ্যামিতিক পরিসংখ্যান একই উপপাদ্য বিষয়. একটি নিয়মিত এন-গনের যে কোন দিক এটির চারপাশে পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধ R এর সাথে যুক্ত। অতএব, নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করে এটি গণনা করা যেতে পারে: a = 2R ∙ sin180°। এর মাধ্যমে আপনি কেবল পার্শ্বগুলিই নয়, বহুভুজের পরিধিও খুঁজে পেতে পারেন।
একটি নিয়মিত বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কীভাবে বের করবেন
যেকোনো একটি একে অপরের সমান নির্দিষ্ট সংখ্যক সেগমেন্ট নিয়ে গঠিত, যা সংযুক্ত হলে একটি বন্ধ রেখা তৈরি করে। এই ক্ষেত্রে, গঠিত চিত্রের সমস্ত কোণে একই মান রয়েছে। বহুভুজ সরল এবং জটিল ভাগে বিভক্ত। প্রথম গ্রুপে একটি ত্রিভুজ এবং একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে। জটিল বহুভুজের আরও বাহু আছে। তারা তারকা আকৃতির পরিসংখ্যান অন্তর্ভুক্ত. জটিল নিয়মিত বহুভুজের জন্য, বাহুগুলিকে একটি বৃত্তে খোদাই করে পাওয়া যায়। একটা প্রমাণ দেওয়া যাক। একটি নির্বিচারে বাহু n সহ একটি নিয়মিত বহুভুজ আঁকুন। এর চারপাশে একটি বৃত্ত বর্ণনা করুন। R ব্যাসার্ধ নির্দিষ্ট করুন। এখন কল্পনা করুন যে কিছু n-gon দেওয়া হয়েছে। যদি এর কোণের বিন্দুগুলি একটি বৃত্তের উপর থাকে এবং একে অপরের সমান হয়, তাহলে বাহুগুলি সূত্র দ্বারা পাওয়া যাবে: a = 2R ∙ sinα: 2।
একটি উৎকীর্ণ সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর সংখ্যা বের করা
একটি সমবাহু ত্রিভুজ একটি নিয়মিত বহুভুজ। বর্গক্ষেত্র এবং এন-গনের ক্ষেত্রে একই সূত্রগুলি প্রযোজ্য। একটি ত্রিভুজ সঠিক বলে বিবেচিত হবে যদি এর একই দৈর্ঘ্যের বাহু থাকে। এই ক্ষেত্রে, কোণগুলি 60⁰। প্রদত্ত বাহুর দৈর্ঘ্য a সহ একটি ত্রিভুজ তৈরি করুন। এর মাঝামাঝি এবং উচ্চতা জেনে আপনি এর বাহুর মান খুঁজে পেতে পারেন। এটি করার জন্য, আমরা a \u003d x: cosα সূত্রের মাধ্যমে খুঁজে বের করার পদ্ধতি ব্যবহার করব, যেখানে x হল মধ্যক বা উচ্চতা। যেহেতু ত্রিভুজের সব বাহু সমান তাই আমরা a = b = c পাই। তাহলে নিম্নলিখিত বিবৃতিটি সত্য: a = b = c = x: cosα। একইভাবে, আপনি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহুর মান খুঁজে পেতে পারেন, কিন্তু x হবে প্রদত্ত উচ্চতা। একই সময়ে, এটি চিত্রের ভিত্তিতে কঠোরভাবে প্রক্ষিপ্ত করা উচিত। সুতরাং, x উচ্চতা জেনে, আমরা a \u003d b \u003d x: cosα সূত্রটি ব্যবহার করে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহু খুঁজে পাই। a এর মান বের করার পর, আপনি বেস c এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে পারেন। আসুন পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করি। আমরা অর্ধেক বেসের মান দেখব c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α): cos^2α = x ∙ tgα। তারপর c = 2xtanα. এত সহজ উপায়ে, আপনি যেকোন খোদাই করা বহুভুজের বাহুর সংখ্যা খুঁজে পেতে পারেন।
একটি বৃত্তে খোদাই করা একটি বর্গক্ষেত্রের দিকগুলি গণনা করা
অন্যান্য খোদাইকৃত নিয়মিত বহুভুজের মতো, একটি বর্গক্ষেত্রের সমান বাহু এবং কোণ রয়েছে। ত্রিভুজের ক্ষেত্রেও একই সূত্র প্রযোজ্য। আপনি তির্যকের মান ব্যবহার করে একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুগুলি গণনা করতে পারেন। আসুন আরো বিস্তারিতভাবে এই পদ্ধতি বিবেচনা করা যাক। এটি জানা যায় যে তির্যকটি কোণকে দ্বিখণ্ডিত করে। প্রাথমিকভাবে, এর মান ছিল 90 ডিগ্রি। এইভাবে, ভাগের পরে, দুটি গঠিত হয়। তাদের গোড়ার কোণগুলি 45 ডিগ্রির সমান হবে। তদনুসারে, বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি দিক সমান হবে, অর্থাৎ: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, যেখানে e হল বর্গক্ষেত্রের কর্ণ বা ভিত্তি বিভাজনের পরে গঠিত সমকোণী ত্রিভুজ। এটি একটি বর্গক্ষেত্রের দিকগুলি খুঁজে বের করার একমাত্র উপায় নয়। আসুন একটি বৃত্তে এই চিত্রটি লিখি। এই বৃত্ত R-এর ব্যাসার্ধ জেনে আমরা বর্গক্ষেত্রের দিকটি খুঁজে পাই। আমরা এটিকে নিম্নরূপ a4 = R√2 হিসাবে গণনা করব। নিয়মিত বহুভুজের ব্যাসার্ধ R \u003d a: 2tg (360 o: 2n) সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়, যেখানে a হল বাহুর দৈর্ঘ্য।
একটি এন-গনের পরিধি কীভাবে গণনা করা যায়
একটি এন-গনের পরিধি হল এর সমস্ত বাহুর সমষ্টি। এটা হিসাব করা সহজ। এটি করার জন্য, আপনাকে সমস্ত পক্ষের মানগুলি জানতে হবে। কিছু ধরণের বহুভুজের জন্য, বিশেষ সূত্র রয়েছে। তারা আপনাকে অনেক দ্রুত ঘের খুঁজে পেতে অনুমতি দেয়। এটা জানা যায় যে কোন নিয়মিত বহুভুজের সমান বাহু আছে। অতএব, এর পরিধি গণনা করার জন্য, তাদের মধ্যে অন্তত একটি জানা যথেষ্ট। সূত্রটি নির্ভর করবে চিত্রের বাহুর সংখ্যার উপর। সাধারণভাবে, এটি এইরকম দেখায়: P \u003d an, যেখানে a হল পাশের মান এবং n হল কোণের সংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ, 3 সেমি বাহুর একটি নিয়মিত অষ্টভুজের পরিধি খুঁজে পেতে, আপনাকে এটিকে 8 দ্বারা গুণ করতে হবে, অর্থাৎ, P = 3 ∙ 8 = 24 সেমি। 5 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি ষড়ভুজের জন্য, আমরা গণনা করি নিম্নরূপ: P = 5 ∙ 6 = 30 সেমি। এবং তাই প্রতিটি বহুভুজের জন্য।
একটি সমান্তরালগ্রাম, বর্গক্ষেত্র এবং রম্বসের পরিধি খুঁজে বের করা
একটি নিয়মিত বহুভুজের কয়টি বাহু আছে তার উপর নির্ভর করে এর পরিধি গণনা করা হয়। এটি কাজটিকে অনেক সহজ করে তোলে। প্রকৃতপক্ষে, অন্যান্য পরিসংখ্যানগুলির বিপরীতে, এই ক্ষেত্রে এটির সমস্ত দিকগুলি সন্ধান করার প্রয়োজন নেই, কেবল একটিই যথেষ্ট। একই নীতি দ্বারা, আমরা চতুর্ভুজগুলির পরিধি খুঁজে পাই, অর্থাৎ একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি রম্বস। এইগুলি ভিন্ন পরিসংখ্যান হওয়া সত্ত্বেও, তাদের জন্য সূত্রটি একই P = 4a, যেখানে a হল পাশ। একটা উদাহরণ নেওয়া যাক। যদি একটি রম্বস বা বর্গক্ষেত্রের বাহু 6 সেমি হয়, তাহলে আমরা নিম্নরূপ পরিধি খুঁজে পাই: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 সেমি। একটি সমান্তরালগ্রামের শুধুমাত্র বিপরীত বাহু আছে। অতএব, এর পরিধি একটি ভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে পাওয়া যায়। সুতরাং, আমাদের চিত্রটির দৈর্ঘ্য a এবং প্রস্থ b জানতে হবে। তারপরে আমরা P \u003d (a + c) ∙ 2 সূত্রটি প্রয়োগ করি। একটি সমান্তরালগ্রাম, যার মধ্যে সমস্ত বাহু এবং কোণগুলি সমান, তাকে রম্বস বলে।
একটি সমবাহু এবং সমকোণী ত্রিভুজের পরিধি খুঁজে বের করা
P \u003d 3a সূত্র দ্বারা সঠিকটির পরিধি পাওয়া যেতে পারে, যেখানে a হল পাশের দৈর্ঘ্য। যদি এটি অজানা হয়, এটি মধ্যম মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারে। একটি সমকোণী ত্রিভুজে, মাত্র দুটি বাহু সমান। পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের মাধ্যমে ভিত্তি পাওয়া যায়। তিনটি বাহুর মান জানা হয়ে যাওয়ার পরে, আমরা পরিধি গণনা করি। এটি P \u003d a + b + c সূত্র প্রয়োগ করে পাওয়া যাবে, যেখানে a এবং b সমান বাহু এবং c হল ভিত্তি। মনে রাখবেন যে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে a \u003d b \u003d a, অতএব, a + b \u003d 2a, তারপর P \u003d 2a + c। উদাহরণস্বরূপ, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহু 4 সেমি, এর ভিত্তি এবং পরিধি খুঁজুন। আমরা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য c \u003d √a 2 + 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5.65 সেমি অনুসারে কর্ণের মান গণনা করি। এখন আমরা ঘের P \u003d \u003d \u003d √16 + 16. u003d 13.65 সেমি।
কিভাবে একটি নিয়মিত বহুভুজের কোণ খুঁজে বের করতে হয়
একটি নিয়মিত বহুভুজ আমাদের জীবনে প্রতিদিন ঘটে, উদাহরণস্বরূপ, একটি সাধারণ বর্গক্ষেত্র, ত্রিভুজ, অষ্টভুজ। দেখে মনে হবে যে এই চিত্রটি নিজেই তৈরি করার চেয়ে সহজ আর কিছুই নেই। কিন্তু এই শুধু প্রথম নজরে. যেকোন এন-গন গঠন করার জন্য আপনাকে এর কোণের মান জানতে হবে। কিন্তু আপনি কিভাবে তাদের খুঁজে পাবেন? এমনকি প্রাচীনকালের বিজ্ঞানীরাও নিয়মিত বহুভুজ তৈরি করার চেষ্টা করেছিলেন। তারা তাদের চেনাশোনা মধ্যে মাপসই অনুমান. এবং তারপরে প্রয়োজনীয় পয়েন্টগুলি এটিতে চিহ্নিত করা হয়েছিল, সরল রেখা দ্বারা সংযুক্ত। সাধারণ পরিসংখ্যানের জন্য, নির্মাণ সমস্যা সমাধান করা হয়েছে। সূত্র ও উপপাদ্য পাওয়া গেছে। উদাহরণস্বরূপ, ইউক্লিড তার বিখ্যাত রচনা "দ্য বিগিনিং"-এ 3-, 4-, 5-, 6- এবং 15-গনের সমস্যা সমাধানে নিযুক্ত ছিলেন। তিনি তাদের নির্মাণ এবং কোণ খুঁজে বের করার উপায় খুঁজে পেয়েছেন। আসুন 15-গনের জন্য এটি কীভাবে করবেন তা দেখি। প্রথমে আপনাকে এর অভ্যন্তরীণ কোণের যোগফল গণনা করতে হবে। সূত্র S = 180⁰(n-2) ব্যবহার করা প্রয়োজন। সুতরাং, আমাদের একটি 15-গন দেওয়া হয়েছে, যার অর্থ হল n সংখ্যাটি 15। আমরা আমাদের জানা তথ্যটিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করি এবং S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰ পাই। আমরা একটি 15-গনের সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি খুঁজে পেয়েছি। এখন আমাদের তাদের প্রতিটির মূল্য পেতে হবে। মোট 15টি কোণ আছে। আমরা 2340⁰ এর গণনা করি: 15 = 156⁰। এর মানে হল প্রতিটি অভ্যন্তরীণ কোণ হল 156⁰, এখন একটি শাসক এবং একটি কম্পাস ব্যবহার করে আপনি একটি নিয়মিত 15-gon তৈরি করতে পারেন। কিন্তু আরো জটিল এন-গন সম্পর্কে কি? কয়েক শতাব্দী ধরে, বিজ্ঞানীরা এই সমস্যা সমাধানের জন্য সংগ্রাম করেছেন। এটি শুধুমাত্র 18 শতকে কার্ল ফ্রেডরিখ গাউস দ্বারা পাওয়া যায়। তিনি একটি 65537-গন তৈরি করতে সক্ষম হন। তারপর থেকে, সমস্যাটি আনুষ্ঠানিকভাবে সম্পূর্ণ সমাধান হিসাবে বিবেচিত হয়েছে।
রেডিয়ানে n-গনের কোণের গণনা
অবশ্যই, বহুভুজগুলির কোণগুলি খুঁজে বের করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। প্রায়শই এগুলি ডিগ্রীতে গণনা করা হয়। কিন্তু আপনি তাদের রেডিয়ানেও প্রকাশ করতে পারেন। এটা কিভাবে করতে হবে? এটি নিম্নলিখিত হিসাবে এগিয়ে যাওয়া প্রয়োজন. প্রথমে, আমরা একটি নিয়মিত বহুভুজের বাহুর সংখ্যা খুঁজে বের করি, তারপর এটি থেকে 2 বিয়োগ করি। সুতরাং, আমরা মানটি পাই: n - 2। পাওয়া পার্থক্যটিকে n ("pi" \u003d 3.14) সংখ্যা দিয়ে গুণ করুন। এখন এটি শুধুমাত্র n-gon-এ কোণের সংখ্যা দ্বারা ফলিত গুণফলকে ভাগ করতে রয়ে গেছে। একই পনের-পার্শ্বের উদাহরণ ব্যবহার করে এই গণনাগুলি বিবেচনা করুন। সুতরাং, n সংখ্যাটি 15। আসুন S = p(n - 2): n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72 সূত্রটি প্রয়োগ করি। এটি অবশ্যই রেডিয়ানে একটি কোণ গণনা করার একমাত্র উপায় নয়। আপনি সহজভাবে কোণের আকারকে ডিগ্রীতে 57.3 সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে পারেন। সর্বোপরি, সেই অনেক ডিগ্রী এক রেডিয়ানের সমান।
ডিগ্রীতে কোণের মান গণনা
ডিগ্রী এবং রেডিয়ান ছাড়াও, আপনি গ্র্যাডে নিয়মিত বহুভুজের কোণের মান খুঁজে বের করার চেষ্টা করতে পারেন। এটি নিম্নলিখিত উপায়ে করা হয়। কোণের মোট সংখ্যা থেকে 2 বিয়োগ করুন, একটি নিয়মিত বহুভুজের বাহুর সংখ্যা দ্বারা ফলাফলের পার্থক্যকে ভাগ করুন। আমরা প্রাপ্ত ফলাফল 200 দ্বারা গুণ করি। যাইহোক, ডিগ্রী হিসাবে কোণ পরিমাপের এই জাতীয় একক ব্যবহারিকভাবে ব্যবহৃত হয় না।
এন-গনের বাহ্যিক কোণগুলির গণনা
যেকোনো নিয়মিত বহুভুজের জন্য, অভ্যন্তরীণ এক ছাড়াও, আপনি বাহ্যিক কোণটিও গণনা করতে পারেন। এর মান অন্যান্য পরিসংখ্যানের মতোই পাওয়া যায়। সুতরাং, একটি নিয়মিত বহুভুজের বাইরের কোণটি খুঁজে পেতে, আপনাকে ভিতরেরটির মান জানতে হবে। আরও, আমরা জানি যে এই দুটি কোণের যোগফল সর্বদা 180 ডিগ্রি। অতএব, আমরা নিম্নরূপ গণনা করি: 180⁰ বিয়োগ অভ্যন্তরীণ কোণের মান। আমরা পার্থক্য খুঁজে. এটি সংলগ্ন কোণের মানের সমান হবে। উদাহরণস্বরূপ, একটি বর্গক্ষেত্রের ভিতরের কোণটি 90 ডিগ্রি, তাই বাইরের কোণটি হবে 180⁰ - 90⁰ = 90⁰। আমরা দেখতে পাচ্ছি, এটি খুঁজে পাওয়া কঠিন নয়। বাহ্যিক কোণটি +180⁰ থেকে যথাক্রমে -180⁰ পর্যন্ত একটি মান নিতে পারে।
একটি বহুভুজ হল একটি জ্যামিতিক চিত্র যা একটি বন্ধ ভাঙা রেখা দ্বারা চারদিকে আবদ্ধ। এই ক্ষেত্রে, পলিলাইনের লিঙ্কের সংখ্যা তিনটির কম হওয়া উচিত নয়। পলিলাইন অংশগুলির প্রতিটি জোড়ার একটি সাধারণ বিন্দু রয়েছে এবং কোণ গঠন করে। পলিলাইন সেগমেন্টের সংখ্যার সাথে কোণার সংখ্যা, একটি বহুভুজের প্রধান বৈশিষ্ট্য। প্রতিটি বহুভুজে, বাউন্ডিং ক্লোজড পলিলাইনের লিঙ্কের সংখ্যা কোণার সংখ্যার সমান।
জ্যামিতির দিকগুলিকে সাধারণত পলিলাইনের লিঙ্ক বলা হয় যা একটি জ্যামিতিক বস্তুকে সীমাবদ্ধ করে। শীর্ষবিন্দু হল দুটি সন্নিহিত বাহুর মধ্যে যোগাযোগের বিন্দু।, যে সংখ্যার দ্বারা বহুভুজ তাদের নাম পায়।
যদি একটি বদ্ধ ভাঙা রেখা তিনটি অংশ নিয়ে গঠিত হয়, তাহলে তাকে ত্রিভুজ বলা হয়; যথাক্রমে, চারটি বিভাগ থেকে - একটি চতুর্ভুজ, পাঁচটি থেকে - একটি পঞ্চভুজ ইত্যাদি।
একটি ত্রিভুজ বা চতুর্ভুজ নির্ধারণ করতে, এর শীর্ষবিন্দুকে বোঝানো বড় ল্যাটিন অক্ষর ব্যবহার করুন। অক্ষরগুলিকে ক্রমে বলা হয় - ঘড়ির কাঁটার দিকে বা ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে।
মৌলিক ধারণা
বহুভুজের সংজ্ঞা বর্ণনা করার সময়, কিছু সম্পর্কিত জ্যামিতিক ধারণাগুলি বিবেচনায় নেওয়া উচিত:
- শীর্ষবিন্দুগুলো যদি একই বাহুর শেষ হয়, তাহলে তাদের প্রতিবেশী বলা হয়।
- যদি একটি রেখাংশ অ-প্রতিবেশী শীর্ষবিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে, তবে তাকে একটি তির্যক বলা হয়। একটি ত্রিভুজের কর্ণ থাকতে পারে না।
- একটি অভ্যন্তরীণ কোণ হল শীর্ষবিন্দুগুলির একটিতে একটি কোণ, যা এই বিন্দুতে এর দুটি বাহু একত্রিত হওয়ার ফলে গঠিত হয়। এটি সর্বদা জ্যামিতিক চিত্রের ভিতরের অঞ্চলে অবস্থিত। বহুভুজ অ-উত্তল হলে, এর আকার 180 ডিগ্রি অতিক্রম করতে পারে।
- একটি নির্দিষ্ট শীর্ষে বাহ্যিক কোণ হল এটির অভ্যন্তরীণ কোণ সংলগ্ন কোণ। অন্য কথায়, বাইরের কোণটিকে 180° এবং ভিতরের কোণের মানের মধ্যে পার্থক্য হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।
- সমস্ত অংশের মানের সমষ্টিকে পরিধি বলা হয়।
- সব বাহু এবং সব কোণ সমান হলে তাকে সঠিক বলে। শুধুমাত্র উত্তল সঠিক হতে পারে।
উপরে উল্লিখিত হিসাবে, বহুভুজ জ্যামিতির নামগুলি শীর্ষবিন্দুর সংখ্যার উপর ভিত্তি করে। যদি একটি চিত্রে তাদের n থাকে, তাকে বলা হয় n-gon:
- একটি বহুভুজ সমতল বলা হয় যদি এটি সমতলের সসীম অংশকে সীমাবদ্ধ করে। এই জ্যামিতিক চিত্রটি একটি বৃত্তে খোদাই করা যেতে পারে বা একটি বৃত্তের চারপাশে সীমাবদ্ধ করা যেতে পারে।
- একটি এন-গনকে উত্তল বলা হয় যদি এটি নীচের শর্তগুলির মধ্যে একটি পূরণ করে।
- চিত্রটি একটি সরল রেখার একপাশে অবস্থিত যা দুটি সন্নিহিত শীর্ষবিন্দুকে সংযুক্ত করে।
- এই চিত্রটি বেশ কয়েকটি অর্ধ-বিমানের একটি সাধারণ অংশ বা ছেদ হিসাবে কাজ করে।
- কর্ণগুলি বহুভুজের ভিতরে অবস্থিত।
- যদি সেগমেন্টের শেষগুলি বহুভুজের অন্তর্গত বিন্দুতে অবস্থিত হয়, তবে সমগ্র অংশটি এটির অন্তর্গত।
- একটি চিত্রকে নিয়মিত বলা যেতে পারে যদি এর সমস্ত অংশ এবং সমস্ত কোণ সমান হয়। উদাহরণ হল একটি বর্গক্ষেত্র, একটি সমবাহু ত্রিভুজ বা একটি নিয়মিত পঞ্চভুজ।
- যদি একটি এন-গন অ-উত্তল হয়, এর সমস্ত বাহু এবং কোণগুলি সমান হয় এবং শীর্ষবিন্দুগুলি একটি নিয়মিত এন-গনের সাথে মিলে যায়, এটিকে স্টেলেটেড বলা হয়। এই ধরনের পরিসংখ্যান স্ব-ছেদ থাকতে পারে। একটি উদাহরণ একটি পেন্টাগ্রাম বা একটি হেক্সাগ্রাম হবে।
- একটি ত্রিভুজ বা চতুর্ভুজকে একটি বৃত্তে খোদাই করা বলা হয় যখন এর সমস্ত শীর্ষগুলি একই বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত। যদি এই চিত্রের পাশে বৃত্তের সাথে যোগাযোগের বিন্দু থাকে তবে এটি একটি বহুভুজ যা কিছু বৃত্তকে ঘিরে রয়েছে।
যে কোন একটি উত্তল এন-গনকে ত্রিভুজে ভাগ করা যায়. এই ক্ষেত্রে, ত্রিভুজের সংখ্যা 2 দ্বারা বাহুর সংখ্যার চেয়ে কম।
পরিসংখ্যান প্রকার
এটি একটি বহুভুজ যার তিনটি শীর্ষবিন্দু এবং তিনটি লাইন সেগমেন্ট তাদের সংযুক্ত করে। এই ক্ষেত্রে, বিভাগগুলির সংযোগ বিন্দুগুলি একটি সরল রেখায় থাকে না।
সেগমেন্টের সংযোগ বিন্দু হল ত্রিভুজ শীর্ষবিন্দু. অংশগুলিকে ত্রিভুজের বাহু বলা হয়। প্রতিটি ত্রিভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের মোট যোগফল হল 180°।
পক্ষের মধ্যে অনুপাত অনুসারে, সমস্ত ত্রিভুজকে বিভিন্ন প্রকারে ভাগ করা যায়:
- সমবাহু- যেখানে সমস্ত অংশের দৈর্ঘ্য একই।
- সমদ্বিবাহুযে ত্রিভুজগুলির তিনটি সমান রেখাংশের মধ্যে দুটি রয়েছে।
- বহুমুখী- যদি সমস্ত বিভাগের দৈর্ঘ্য ভিন্ন হয়।
তদতিরিক্ত, নিম্নলিখিত ত্রিভুজগুলিকে আলাদা করা প্রথাগত:
- তীব্র-কোণ
- আয়তক্ষেত্রাকার.
- স্থূল
চতুর্ভুজ
চতুর্ভুজ হল একটি সমতল চিত্র যাতে 4টি শীর্ষবিন্দু এবং 4টি সেগমেন্ট রয়েছে যা তাদের সিরিজে সংযুক্ত করে।
- চতুর্ভুজের সব কোণ সমকোণ হলে, চিত্রটিকে আয়তক্ষেত্র বলা হয়।
- যে আয়তক্ষেত্রের সবগুলো বাহু একই আকারের তাকে বর্গ বলে।
- যে চতুর্ভুজের সব বাহু সমান তাকে রম্বস বলে।
একটি চতুর্ভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু একই সরলরেখায় থাকতে পারে না।
ভিডিও
আপনি এই ভিডিওতে বহুভুজ সম্পর্কে আরও তথ্য পেতে পারেন।
এই পাঠে, আমরা একটি নতুন বিষয় শুরু করব এবং আমাদের জন্য একটি নতুন ধারণা চালু করব - একটি "বহুভুজ"। আমরা বহুভুজের সাথে সম্পর্কিত মৌলিক ধারণাগুলি দেখব: বাহু, শীর্ষবিন্দু, কোণ, উত্তল এবং অ-উত্তল। তারপর আমরা সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ তথ্য প্রমাণ করব, যেমন বহুভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের যোগফলের উপপাদ্য, বহুভুজের বহিরাগত কোণের যোগফলের উপপাদ্য। ফলস্বরূপ, আমরা বহুভুজের বিশেষ ক্ষেত্রে অধ্যয়নের কাছাকাছি চলে আসব, যা ভবিষ্যতের পাঠে বিবেচনা করা হবে।
থিম: চতুর্ভুজ
পাঠ: বহুভুজ
জ্যামিতির কোর্সে, আমরা জ্যামিতিক আকারের বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করি এবং ইতিমধ্যে তাদের মধ্যে সবচেয়ে সহজ বিবেচনা করেছি: ত্রিভুজ এবং বৃত্ত। একই সময়ে, আমরা এই পরিসংখ্যানগুলির নির্দিষ্ট বিশেষ ক্ষেত্রেও আলোচনা করেছি, যেমন সমকোণী, সমদ্বিবাহু এবং নিয়মিত ত্রিভুজ। এখন আরও সাধারণ এবং জটিল আকার সম্পর্কে কথা বলার সময় - বহুভুজ.
একটি বিশেষ ক্ষেত্রে সঙ্গে বহুভুজআমরা ইতিমধ্যে পরিচিত - এটি একটি ত্রিভুজ (চিত্র 1 দেখুন)।
ভাত। 1. ত্রিভুজ
নামটি ইতিমধ্যেই জোর দেয় যে এটি এমন একটি চিত্র যার তিনটি কোণ রয়েছে। অতএব, ইন বহুভুজতাদের অনেক হতে পারে, যেমন তিনের বেশি উদাহরণস্বরূপ, আসুন একটি পঞ্চভুজ আঁকুন (চিত্র 2 দেখুন), অর্থাৎ পাঁচ কোণ সহ চিত্র।
ভাত। 2. পেন্টাগন। উত্তল বহুভুজ
সংজ্ঞা।বহুভুজ- একটি চিত্র যা বেশ কয়েকটি বিন্দু (দুইটির বেশি) এবং সংশ্লিষ্ট সংখ্যার অংশ নিয়ে গঠিত যা তাদের সিরিজে সংযুক্ত করে। এই পয়েন্ট বলা হয় চূড়াবহুভুজ, এবং অংশগুলি - দলগুলি. এই ক্ষেত্রে, কোন দুটি সন্নিহিত বাহু একই সরলরেখায় থাকে না এবং দুটি অ-সংলগ্ন বাহু ছেদ করে না।
সংজ্ঞা।নিয়মিত বহুভুজএকটি উত্তল বহুভুজ যার সব বাহু এবং কোণ সমান।
যে কোন বহুভুজসমতলকে দুটি অঞ্চলে বিভক্ত করে: অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক। অভ্যন্তর এছাড়াও হিসাবে উল্লেখ করা হয় বহুভুজ.
অন্য কথায়, উদাহরণস্বরূপ, যখন তারা একটি পেন্টাগন সম্পর্কে কথা বলে, তখন তারা এর পুরো অভ্যন্তরীণ অঞ্চল এবং এর সীমানা উভয়কেই বোঝায়। এবং অভ্যন্তরীণ ক্ষেত্রটি বহুভুজের ভিতরে থাকা সমস্ত বিন্দুও অন্তর্ভুক্ত করে, যেমন বিন্দুটিও পঞ্চভুজের অন্তর্গত (চিত্র 2 দেখুন)।
বহুভুজগুলিকে কখনও কখনও এন-গনও বলা হয় জোর দেওয়ার জন্য যে কিছু অজানা সংখ্যক কোণ (n টুকরা) থাকার সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা হচ্ছে।
সংজ্ঞা। বহুভুজ পরিধিবহুভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি।
এখন আমাদের বহুভুজের প্রকারের সাথে পরিচিত হতে হবে। তারা বিভক্ত করা হয় উত্তলএবং অ-উত্তল. উদাহরণস্বরূপ, চিত্রে দেখানো বহুভুজ। 2 হল উত্তল, এবং চিত্রে। 3 অ-উত্তল।
ভাত। 3. অ-উত্তল বহুভুজ
সংজ্ঞা 1. বহুভুজডাকা উত্তল, যদি একটি সরল রেখা আঁকার সময় এর যে কোনো বাহু দিয়ে, সমগ্র বহুভুজএই লাইনের শুধুমাত্র একপাশে অবস্থিত। অ-উত্তলবাকি সব আছে বহুভুজ.
চিত্রে পেন্টাগনের যে কোন দিক প্রসারিত করার সময় এটি কল্পনা করা সহজ। 2 এটি সমস্ত এই সরল রেখার একপাশে থাকবে, অর্থাৎ তিনি উত্তল। কিন্তু যখন চিত্রে চতুর্ভুজের মধ্য দিয়ে একটি সরল রেখা আঁকছেন। 3 আমরা ইতিমধ্যে দেখতে পাচ্ছি যে এটি এটিকে দুটি ভাগে বিভক্ত করেছে, যেমন তিনি অ-উত্তল।
কিন্তু বহুভুজের উত্তলতার আরেকটি সংজ্ঞা আছে।
সংজ্ঞা 2। বহুভুজডাকা উত্তলযদি, তার অভ্যন্তরীণ বিন্দুগুলির যেকোন দুটি বেছে নেওয়ার সময় এবং সেগুলিকে একটি অংশের সাথে সংযুক্ত করা হয়, সেগমেন্টের সমস্ত বিন্দুও বহুভুজের অভ্যন্তরীণ বিন্দু।
এই সংজ্ঞাটির ব্যবহারের একটি প্রদর্শন চিত্র তে অংশগুলি নির্মাণের উদাহরণে দেখা যেতে পারে। 2 এবং 3।
সংজ্ঞা। তির্যকএকটি বহুভুজ হল যে কোনো সেগমেন্ট যা দুটি অ-সংলগ্ন শীর্ষবিন্দুকে সংযুক্ত করে।
বহুভুজের বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করার জন্য, তাদের কোণ সম্পর্কে দুটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য রয়েছে: উত্তল বহুভুজ অভ্যন্তরীণ কোণ সমষ্টি উপপাদ্যএবং উত্তল বহুভুজ বাহ্যিক কোণ সমষ্টি উপপাদ্য. তাদের বিবেচনা করা যাক.
উপপাদ্য। উত্তল বহুভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টির উপর (n-গন)।
কোথায় এর কোণের সংখ্যা (বাহুর)।
প্রমাণ 1. আসুন চিত্রে চিত্রিত করা যাক। 4 উত্তল n-gon.
ভাত। 4. উত্তল n-gon
শীর্ষবিন্দু থেকে সমস্ত সম্ভাব্য কর্ণ আঁকুন। তারা এন-গনকে ত্রিভুজে ভাগ করে, কারণ বহুভুজের প্রতিটি বাহু একটি ত্রিভুজ গঠন করে, শীর্ষবিন্দুর সংলগ্ন বাহুগুলি ছাড়া। চিত্রটি থেকে সহজেই দেখা যায় যে এই সমস্ত ত্রিভুজের কোণের যোগফল n-গনের অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টির সমান হবে। যেহেতু যেকোন ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি হল, তাহলে একটি এন-গনের অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি হল:
Q.E.D.
প্রমাণ 2. এই উপপাদ্যের আরেকটি প্রমাণও সম্ভব। চলুন চিত্রে একটি অনুরূপ n-gon আঁকি। 5 এবং এর যেকোনো অভ্যন্তরীণ বিন্দুকে সমস্ত শীর্ষবিন্দুর সাথে সংযুক্ত করুন।
ভাত। 5.
আমরা একটি n-gon-এর n ত্রিভুজ (কতটি বাহু, অনেক ত্রিভুজ) মধ্যে একটি বিভাজন পেয়েছি। তাদের সমস্ত কোণের যোগফল বহুভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি এবং অভ্যন্তরীণ বিন্দুতে কোণের সমষ্টির সমান এবং এটিই কোণ। আমাদের আছে:
Q.E.D.
প্রমাণিত।
প্রমাণিত উপপাদ্য অনুসারে, এটি দেখা যায় যে একটি এন-গনের কোণের সমষ্টি নির্ভর করে এর বাহুর সংখ্যার উপর (n এর উপর)। উদাহরণস্বরূপ, একটি ত্রিভুজে, এবং কোণের সমষ্টি হল . চতুর্ভুজে, এবং কোণের সমষ্টি - ইত্যাদি।
উপপাদ্য। একটি উত্তল বহুভুজের বাহ্যিক কোণের সমষ্টির উপর (n-গন)।
কোথায় এর কোণার সংখ্যা (পার্শ্ব), এবং , ..., বাহ্যিক কোণ।
প্রমাণ। চলুন চিত্রে একটি উত্তল n-gon আঁকি। 6 এবং এর অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক কোণগুলি বোঝায়।
ভাত। 6. চিহ্নিত বাহ্যিক কোণ সহ উত্তল এন-গন
কারণ বাইরের কোণটি ভিতরের সাথে সংলগ্ন হিসাবে সংযুক্ত থাকে এবং একইভাবে অন্যান্য বাহ্যিক কোণগুলির জন্য। তারপর:
রূপান্তরের সময়, আমরা একটি এন-গনের অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টিতে ইতিমধ্যে প্রমাণিত উপপাদ্য ব্যবহার করেছি।
প্রমাণিত।
প্রমাণিত উপপাদ্য থেকে একটি মজার তথ্য পাওয়া যায় যে একটি উত্তল এন-গনের বাহ্যিক কোণের সমষ্টি সমান এর কোণের সংখ্যার উপর (পার্শ্ব)। উপায় দ্বারা, অভ্যন্তরীণ কোণ যোগফল অসদৃশ।
গ্রন্থপঞ্জি
- আলেকসান্দ্রভ এ.ডি. ইত্যাদি জ্যামিতি, গ্রেড 8। - এম.: শিক্ষা, 2006।
- বুটুজভ ভি.এফ., কদোমসেভ এস.বি., প্রসোলভ ভি.ভি. জ্যামিতি, ৮ম শ্রেণী। - এম.: শিক্ষা, 2011।
- মেরজলিয়াক এজি, পোলোনস্কি ভিবি, ইয়াকির এসএম জ্যামিতি, ৮ম শ্রেণী। - M.: VENTANA-GRAF, 2009।
- Profmeter.com.ua ()।
- Narod.ru ()।
- Xvatit.com()।
বাড়ির কাজ