പാഠം "ബഹുഭുജങ്ങൾ. ബഹുഭുജങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ" സാങ്കേതികവിദ്യയിൽ "വായനയിലൂടെയും എഴുത്തിലൂടെയും വിമർശനാത്മക ചിന്തയുടെ വികസനം"
പോളിഗോൺ പ്രോപ്പർട്ടികൾ
ഒരു ബഹുഭുജം എന്നത് ഒരു ജ്യാമിതീയ രൂപമാണ്, സാധാരണയായി സ്വയം കവലകളില്ലാത്ത ഒരു അടഞ്ഞ പോളിലൈൻ (ഒരു ലളിതമായ ബഹുഭുജം (ചിത്രം 1a)), എന്നാൽ ചിലപ്പോൾ സ്വയം കവലകൾ അനുവദനീയമാണ് (അപ്പോൾ ബഹുഭുജം ലളിതമല്ല).
പോളിലൈനിന്റെ ലംബങ്ങളെ ബഹുഭുജത്തിന്റെ ലംബങ്ങൾ എന്നും സെഗ്മെന്റുകളെ ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ ശിഖരങ്ങൾ അതിന്റെ ഒരു വശത്തിന്റെ അറ്റങ്ങളാണെങ്കിൽ അവയെ അയൽക്കാർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു പോളിഗോണിന്റെ അയൽപക്കമല്ലാത്ത ശീർഷകങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ലൈൻ സെഗ്മെന്റുകളെ ഡയഗണലുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
തന്നിരിക്കുന്ന ശീർഷത്തിലെ ഒരു കുത്തനെയുള്ള ബഹുഭുജത്തിന്റെ ഒരു കോൺ (അല്ലെങ്കിൽ ആന്തരിക കോൺ) എന്നത് അതിന്റെ വശങ്ങൾ ഈ ശീർഷത്തിൽ കൂടിച്ചേരുന്നതിലൂടെ രൂപം കൊള്ളുന്ന കോണാണ്, കൂടാതെ ആ കോണിനെ ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശത്ത് നിന്ന് കണക്കാക്കുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും, ബഹുഭുജം കുത്തനെയുള്ളതല്ലെങ്കിൽ ആംഗിൾ 180 ° കവിഞ്ഞേക്കാം.
തന്നിരിക്കുന്ന ശീർഷത്തിലെ ഒരു കോൺവെക്സ് ബഹുഭുജത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണാണ് ആ ശീർഷത്തിലെ ബഹുഭുജത്തിന്റെ ആന്തരിക കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള കോണാണ്. പൊതുവേ, 180°യും അകത്തെ കോണും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ് പുറംകോണ്. > 3 എന്നതിനായുള്ള -ഗോണിന്റെ ഓരോ ശീർഷകത്തിൽ നിന്നും - 3 ഡയഗണലുകൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ -ഗോണിന്റെ മൊത്തം ഡയഗണലുകളുടെ എണ്ണം തുല്യമാണ്.
മൂന്ന് ലംബങ്ങളുള്ള ഒരു ബഹുഭുജത്തെ ഒരു ത്രികോണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, നാല് - ഒരു ചതുർഭുജം, അഞ്ച് - ഒരു പഞ്ചഭുജം മുതലായവ.
കൂടെ ബഹുഭുജം എൻകൊടുമുടികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു n-സമചതുരം Samachathuram.
ഒരു പരന്ന ബഹുഭുജം എന്നത് ഒരു ബഹുഭുജവും അതിന്റെ പരിധിയിലുള്ള പ്രദേശത്തിന്റെ പരിമിതമായ ഭാഗവും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു രൂപമാണ്.
ഇനിപ്പറയുന്ന (തത്തുല്യമായ) വ്യവസ്ഥകളിൽ ഒന്ന് പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഒരു ബഹുഭുജത്തെ കോൺവെക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു:
- 1. അത് അതിന്റെ അയൽ ശിഖരങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും നേർരേഖയുടെ ഒരു വശത്ത് കിടക്കുന്നു. (അതായത്, ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ വിപുലീകരണങ്ങൾ അതിന്റെ മറ്റ് വശങ്ങളെ വിഭജിക്കുന്നില്ല);
- 2. ഇത് നിരവധി അർദ്ധവിമാനങ്ങളുടെ കവലയാണ് (അതായത് സാധാരണ ഭാഗം);
- 3. ബഹുഭുജത്തിൽ പെടുന്ന ബിന്ദുക്കളിൽ അറ്റങ്ങളുള്ള ഏത് സെഗ്മെന്റും പൂർണ്ണമായും അതിനുള്ളതാണ്.
എല്ലാ വശങ്ങളും തുല്യവും എല്ലാ കോണുകളും തുല്യവുമാണെങ്കിൽ ഒരു കുത്തനെയുള്ള ബഹുഭുജത്തെ റെഗുലർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം, ഒരു ചതുരം, ഒരു പെന്റഗൺ.
ഒരു കുത്തനെയുള്ള ബഹുഭുജം ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും ഏതെങ്കിലും വൃത്തത്തോട് സ്പർശിക്കുന്നതാണെങ്കിൽ അതിൽ ആലേഖനം ചെയ്തതായി പറയപ്പെടുന്നു.
എല്ലാ കോണുകളും എല്ലാ വശങ്ങളും തുല്യമായ ഒരു ബഹുഭുജമാണ് റെഗുലർ പോളിഗോൺ.
ബഹുഭുജ ഗുണങ്ങൾ:
1 കോൺവെക്സ്-ഗോണിന്റെ ഓരോ ഡയഗണലും, ഇവിടെ >3, അതിനെ രണ്ട് കോൺവെക്സ് ബഹുഭുജങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നു.
2 ഒരു കോൺവെക്സ്-ഗോണിന്റെ എല്ലാ കോണുകളുടെയും ആകെത്തുക തുല്യമാണ്.
ഡി-ഇൻ: ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാം. = 3 ന് ഇത് വ്യക്തമാണ്. ഒരു -ഗോൺ, എവിടെ എന്നതിന് സിദ്ധാന്തം ശരിയാണെന്ന് കരുതുക <, അത് -gon-ന് വേണ്ടി തെളിയിക്കുക.
നൽകിയിരിക്കുന്ന ബഹുഭുജമായിരിക്കട്ടെ. ഈ ബഹുഭുജത്തിന്റെ ഒരു ഡയഗണൽ വരയ്ക്കുക. സിദ്ധാന്തം 3 പ്രകാരം, ബഹുഭുജം ഒരു ത്രികോണമായും ഒരു കോൺവെക്സ്-ഗോണായും വിഘടിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു (ചിത്രം 5). ഇൻഡക്ഷൻ സിദ്ധാന്തം വഴി. മറുവശത്ത്, . ഈ തുല്യതകൾ ചേർത്ത് അത് കണക്കിലെടുക്കുന്നു (- അകത്തെ ബീം ആംഗിൾ ) ഒപ്പം (- അകത്തെ ബീം ആംഗിൾ ), നമുക്ക് ലഭിക്കും, നമുക്ക് ലഭിക്കുമ്പോൾ: .
3 ഏത് സാധാരണ ബഹുഭുജത്തെക്കുറിച്ചും ഒരു വൃത്തത്തെ വിവരിക്കാൻ കഴിയും, അതിലുപരിയായി ഒന്ന് മാത്രം.
ഡി-ഇൻ: ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജം അനുവദിക്കുക, ഒപ്പം കോണുകളുടെ ബൈസെക്ടറുകളായിരിക്കട്ടെ, കൂടാതെ (ചിത്രം 150). അതിനാൽ, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке ഒ.അത് തെളിയിക്കട്ടെ ഒ = OA 2 = ഒ =… = OA പി . ത്രികോണം ഒഅതിനാൽ സമഭാഗങ്ങൾ ഒ= ഒ. ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യതയ്ക്കുള്ള രണ്ടാമത്തെ മാനദണ്ഡം അനുസരിച്ച്, ഒ = ഒ. അതുപോലെ, അത് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു ഒ = ഒതുടങ്ങിയവ. അതിനാൽ പോയിന്റ് ഒബഹുഭുജത്തിന്റെ എല്ലാ ലംബങ്ങളിൽ നിന്നും തുല്യ അകലം, അതിനാൽ കേന്ദ്രത്തോടുകൂടിയ വൃത്തം ഒആരം ഒഒരു ബഹുഭുജത്തെക്കുറിച്ച് ചുറ്റപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
ഇനി നമുക്ക് ഒരു പരിഛേദം മാത്രമേയുള്ളൂ എന്ന് തെളിയിക്കാം. ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ ചില മൂന്ന് ലംബങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, പക്ഷേ 2 , . ഈ പോയിന്റുകളിലൂടെ ഒരു സർക്കിൾ മാത്രമേ കടന്നുപോകുന്നുള്ളൂ എന്നതിനാൽ, പോളിഗോണിനെക്കുറിച്ച് … നിങ്ങൾക്ക് ഒന്നിൽ കൂടുതൽ സർക്കിളുകൾ വിവരിക്കാൻ കഴിയില്ല.
- 4 ഏത് സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിലും, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വൃത്തം ആലേഖനം ചെയ്യാം, അതിലുപരിയായി ഒന്ന് മാത്രം.
- 5 ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തം, ബഹുഭുജത്തിന്റെ മധ്യഭാഗങ്ങളിൽ അതിന്റെ വശങ്ങളിൽ സ്പർശിക്കുന്നു.
- 6 ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തെ ചുറ്റുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രം അതേ ബഹുഭുജത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.
- 7 സമമിതി:
ഈ രൂപത്തെ തന്നെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ചലനം (സമാനമല്ല) ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു ചിത്രം സമമിതി (സമമിതി) എന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.
- 7.1 ഒരു പൊതു ത്രികോണത്തിന് അക്ഷങ്ങളോ സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രങ്ങളോ ഇല്ല, അത് സമമിതിയല്ല. ഒരു ഐസോസിലിസ് (എന്നാൽ സമഭുജമല്ല) ത്രികോണത്തിന് സമമിതിയുടെ ഒരു അക്ഷമുണ്ട്: അടിത്തറയിലേക്ക് ലംബമായ ദ്വിമുഖം.
- 7.2 ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിന് സമമിതിയുടെ മൂന്ന് അക്ഷങ്ങളും (വശങ്ങളിലേക്കുള്ള ലംബമായ ദ്വിമുഖങ്ങൾ) 120° ഭ്രമണകോണുള്ള കേന്ദ്രത്തെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള ഭ്രമണ സമമിതിയും ഉണ്ട്.
7.3 ഏതൊരു സാധാരണ എൻ-ഗോണിനും സമമിതിയുടെ n അക്ഷങ്ങൾ ഉണ്ട്, അവയെല്ലാം അതിന്റെ കേന്ദ്രത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. ഒരു റൊട്ടേഷൻ ആംഗിൾ ഉള്ള കേന്ദ്രത്തെ കുറിച്ച് ഇതിന് ഭ്രമണ സമമിതിയും ഉണ്ട്.
പോലും എൻസമമിതിയുടെ ചില അക്ഷങ്ങൾ വിപരീത ശിഖരങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു, മറ്റുള്ളവ എതിർവശങ്ങളുടെ മധ്യബിന്ദുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.
ഒറ്റയടിക്ക് എൻഓരോ അക്ഷവും എതിർ വശത്തിന്റെ ശീർഷകത്തിലൂടെയും മധ്യബിന്ദുകളിലൂടെയും കടന്നുപോകുന്നു.
ഇരട്ട സംഖ്യകളുള്ള ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിന്റെ കേന്ദ്രം അതിന്റെ സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രമാണ്. ഒറ്റസംഖ്യയുള്ള വശങ്ങളുള്ള ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിന് സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രമില്ല.
8 സമാനത:
സമാനതയോടെ, ഒപ്പം -ഗോൺ ഒരു -ഗോണിലേക്കും, പകുതി-തലത്തിലേക്കും - ഒരു അർദ്ധ-തലത്തിലേക്ക് പോകുന്നു, അതിനാൽ കുത്തനെയുള്ളതാണ് എൻ-ഗോൺ കുത്തനെയുള്ളതായി മാറുന്നു എൻ-ഗോൺ.
സിദ്ധാന്തം: കോൺവെക്സ് ബഹുഭുജങ്ങളുടെ വശങ്ങളും കോണുകളും തുല്യതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെങ്കിൽ:
പോഡിയം കോഫിഫിഷ്യന്റ് എവിടെയാണ്
അപ്പോൾ ഈ ബഹുഭുജങ്ങൾ സമാനമാണ്.
- 8.1 സമാനമായ രണ്ട് ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ചുറ്റളവുകളുടെ അനുപാതം സമാനതയുടെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്.
- 8.2 രണ്ട് കോൺവെക്സ് സമാനമായ ബഹുഭുജങ്ങളുടെ മേഖലകളുടെ അനുപാതം സമാന ഗുണകത്തിന്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമാണ്.
ബഹുഭുജ ത്രികോണ ചുറ്റളവ് സിദ്ധാന്തം
വിഭാഗങ്ങൾ: കണക്ക്
വിഷയം, വിദ്യാർത്ഥികളുടെ പ്രായം: ജ്യാമിതി, ഗ്രേഡ് 9
പാഠത്തിന്റെ ഉദ്ദേശ്യം: ബഹുഭുജങ്ങളുടെ തരം പഠനം.
പഠന ചുമതല: ബഹുഭുജങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ അറിവ് നവീകരിക്കാനും വികസിപ്പിക്കാനും സാമാന്യവൽക്കരിക്കാനും; ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ "ഘടകങ്ങളെക്കുറിച്ച്" ഒരു ആശയം രൂപപ്പെടുത്തുക; സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളുടെ (ഒരു ത്രികോണം മുതൽ n-gon വരെ) ഘടക ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു പഠനം നടത്തുക;
ടാസ്ക് വികസിപ്പിക്കുക: വിശകലനം ചെയ്യാനും താരതമ്യം ചെയ്യാനും നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാനും കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കാനും വാക്കാലുള്ളതും രേഖാമൂലമുള്ളതുമായ ഗണിതശാസ്ത്ര സംഭാഷണം, മെമ്മറി, അതുപോലെ ചിന്തയിലും പഠന പ്രവർത്തനങ്ങളിലും സ്വാതന്ത്ര്യം, ജോഡികളിലും ഗ്രൂപ്പുകളിലും പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള കഴിവ് എന്നിവ വികസിപ്പിക്കുക; ഗവേഷണ, വിദ്യാഭ്യാസ പ്രവർത്തനങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കുക;
വിദ്യാഭ്യാസ ചുമതല: സ്വാതന്ത്ര്യം, പ്രവർത്തനം, ചുമതലപ്പെടുത്തിയ ചുമതലയുടെ ഉത്തരവാദിത്തം, ലക്ഷ്യം നേടുന്നതിനുള്ള സ്ഥിരോത്സാഹം എന്നിവ പഠിപ്പിക്കുക.
ക്ലാസുകൾക്കിടയിൽ:ബ്ലാക്ക്ബോർഡിൽ ഒരു ഉദ്ധരണി എഴുതിയിരിക്കുന്നു
"പ്രകൃതി ഗണിതത്തിന്റെ ഭാഷ സംസാരിക്കുന്നു, ഈ ഭാഷയുടെ അക്ഷരങ്ങൾ ... ഗണിതശാസ്ത്ര രൂപങ്ങൾ."ജി. ഗലീലി
പാഠത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ, ക്ലാസ് വർക്കിംഗ് ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, 4 ആളുകളുടെ ഗ്രൂപ്പുകളായി വിഭജനം - ഗ്രൂപ്പ് അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം ചോദ്യ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്).
1. കോൾ ഘട്ടം-
ലക്ഷ്യങ്ങൾ:
a) വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ അറിവ് അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്യുക;
ബി) പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള വിഷയത്തിൽ താൽപ്പര്യം ഉണർത്തൽ, പഠന പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് ഓരോ വിദ്യാർത്ഥിയുടെയും പ്രചോദനം.
സ്വീകരണം: ഗെയിം "നിങ്ങൾ അത് വിശ്വസിക്കുന്നുണ്ടോ ...", ടെക്സ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ജോലിയുടെ ഓർഗനൈസേഷൻ.
ജോലിയുടെ രൂപങ്ങൾ: ഫ്രണ്ടൽ, ഗ്രൂപ്പ്.
"അത് നീ വിശ്വസിക്കുന്നുണ്ടോ..."
1. ... "ബഹുഭുജം" എന്ന വാക്ക് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഈ കുടുംബത്തിലെ എല്ലാ രൂപങ്ങൾക്കും "പല കോണുകൾ" ഉണ്ടെന്നാണ്?
2. … ഒരു ത്രികോണം ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ഒരു വലിയ കുടുംബത്തിന്റേതാണ്, വിമാനത്തിലെ വിവിധ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണോ?
3. …ഒരു ചതുരം ഒരു സാധാരണ അഷ്ടഭുജമാണോ (നാല് വശങ്ങൾ + നാല് കോണുകൾ)?
ഇന്ന് പാഠത്തിൽ നമ്മൾ ബഹുഭുജങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കും. ഈ കണക്ക് ഒരു അടഞ്ഞ തകർന്ന വരയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു, അത് ലളിതവും അടഞ്ഞതുമാകാം. ബഹുഭുജങ്ങൾ പരന്നതും പതിവുള്ളതും കുത്തനെയുള്ളതുമാണ് എന്ന വസ്തുതയെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് സംസാരിക്കാം. പരന്ന ബഹുഭുജങ്ങളിലൊന്ന് നിങ്ങൾക്ക് വളരെക്കാലമായി പരിചിതമായ ഒരു ത്രികോണമാണ് (നിങ്ങൾക്ക് ബഹുഭുജങ്ങളെ ചിത്രീകരിക്കുന്ന വിദ്യാർത്ഥികളുടെ പോസ്റ്ററുകൾ കാണിക്കാം, തകർന്ന വര, അവയുടെ വിവിധ തരം കാണിക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് TCO ഉപയോഗിക്കാനും കഴിയും).
2. ഗ്രാഹ്യത്തിന്റെ ഘട്ടം
ഉദ്ദേശ്യം: പുതിയ വിവരങ്ങൾ നേടൽ, അതിന്റെ ധാരണ, തിരഞ്ഞെടുക്കൽ.
സ്വീകരണം: സിഗ്സാഗ്.
ജോലിയുടെ രൂപങ്ങൾ: വ്യക്തിഗത->ജോഡി->ഗ്രൂപ്പ്.
ഓരോ ഗ്രൂപ്പിനും പാഠത്തിന്റെ വിഷയത്തിൽ ഒരു വാചകം നൽകിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാവുന്ന വിവരങ്ങളും പൂർണ്ണമായും പുതിയ വിവരങ്ങളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന തരത്തിലാണ് വാചകം രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത്. വാചകത്തിനൊപ്പം, വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ചോദ്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു, അതിനുള്ള ഉത്തരങ്ങൾ ഈ വാചകത്തിൽ കണ്ടെത്തണം.
ബഹുഭുജങ്ങൾ. ബഹുഭുജങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ.
കപ്പലുകളും വിമാനങ്ങളും ഒരു തുമ്പും കൂടാതെ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്ന നിഗൂഢമായ ബർമുഡ ട്രയാംഗിളിനെക്കുറിച്ച് ആരാണ് കേൾക്കാത്തത്? എന്നാൽ കുട്ടിക്കാലം മുതൽ നമുക്ക് പരിചിതമായ ത്രികോണം രസകരവും നിഗൂഢവുമായ നിരവധി കാര്യങ്ങൾ നിറഞ്ഞതാണ്.
നമുക്ക് ഇതിനകം അറിയാവുന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ തരങ്ങൾക്ക് പുറമേ, വശങ്ങളും (സ്കെലീൻ, ഐസോസിലിസ്, ഇക്വിലാറ്ററൽ) കോണുകളും (അക്യൂട്ട്-ആംഗിൾ, ഒബ്റ്റ്-ആംഗിൾ, വലത്കോണം) കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, ത്രികോണം പലതിൽ നിന്നും വേർതിരിക്കുന്ന ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ഒരു വലിയ കുടുംബത്തിൽ പെടുന്നു. വിമാനത്തിൽ വ്യത്യസ്ത ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ.
"ബഹുഭുജം" എന്ന വാക്ക് ഈ കുടുംബത്തിലെ എല്ലാ രൂപങ്ങൾക്കും "പല കോണുകൾ" ഉണ്ടെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. എന്നാൽ ചിത്രത്തെ ചിത്രീകരിക്കാൻ ഇത് പര്യാപ്തമല്ല.
ഒരു തകർന്ന വരി A 1 A 2 ... A n എന്നത് പോയിന്റുകൾ A 1, A 2, ... A n, സെഗ്മെന്റുകൾ A 1 A 2, A 2 A 3, ... എന്നിവ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ചിത്രമാണ്. പോയിന്റുകളെ പോളിലൈനിന്റെ ലംബങ്ങൾ എന്നും സെഗ്മെന്റുകളെ പോളിലൈനിന്റെ ലിങ്കുകൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു. (fig.1)
സ്വയം കവലകൾ ഇല്ലെങ്കിൽ ഒരു തകർന്ന ലൈൻ ലളിതമായി വിളിക്കപ്പെടുന്നു (ചിത്രം 2,3).
തകർന്ന വരയെ അതിന്റെ അറ്റങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ അടച്ചതായി വിളിക്കുന്നു. തകർന്ന വരിയുടെ നീളം അതിന്റെ ലിങ്കുകളുടെ ദൈർഘ്യത്തിന്റെ ആകെത്തുകയാണ് (ചിത്രം 4).
ഒരു ലളിതമായ അടഞ്ഞ തകർന്ന രേഖയെ അതിന്റെ തൊട്ടടുത്തുള്ള ലിങ്കുകൾ ഒരേ നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ അതിനെ പോളിഗോൺ എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ചിത്രം 5).
"പല" ഭാഗത്തിന് പകരം "ബഹുഭുജം" എന്ന വാക്കിൽ പകരം വയ്ക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന് 3. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ത്രികോണം ലഭിക്കും. അല്ലെങ്കിൽ 5. പിന്നെ - ഒരു പെന്റഗൺ. വശങ്ങളുള്ളത്രയും കോണുകൾ ഉണ്ടെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിനാൽ ഈ കണക്കുകളെ ബഹുമുഖങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കാം.
പോളിലൈനിന്റെ ലംബങ്ങളെ ബഹുഭുജത്തിന്റെ ലംബങ്ങൾ എന്നും പോളിലൈനിന്റെ ലിങ്കുകളെ ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു.
ബഹുഭുജം വിമാനത്തെ രണ്ട് മേഖലകളായി വിഭജിക്കുന്നു: ആന്തരികവും ബാഹ്യവും (ചിത്രം 6).
ഒരു പ്ലെയിൻ പോളിഗോൺ അല്ലെങ്കിൽ പോളിഗോണൽ റീജിയൻ എന്നത് ഒരു ബഹുഭുജത്താൽ ചുറ്റപ്പെട്ട ഒരു തലത്തിന്റെ പരിമിതമായ ഭാഗമാണ്.
ഒരേ വശത്തിന്റെ അറ്റത്തുള്ള ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ രണ്ട് ലംബങ്ങളെ അയൽക്കാർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു വശത്തിന്റെ അറ്റങ്ങളല്ലാത്ത ലംബങ്ങൾ തൊട്ടടുത്തല്ല.
n ലംബങ്ങളും അതിനാൽ n വശങ്ങളും ഉള്ള ഒരു ബഹുഭുജത്തെ n-gon എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ എണ്ണം 3 ആണെങ്കിലും, ത്രികോണങ്ങൾ, പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ച്, മറ്റ് ആകൃതികൾ ഉണ്ടാക്കാം, അവയും ബഹുഭുജങ്ങളാണ്.
ഒരു പോളിഗോണിന്റെ അയൽപക്കമല്ലാത്ത ശീർഷകങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഭാഗങ്ങളെ ഡയഗണലുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഒരു ബഹുഭുജത്തെ അതിന്റെ വശം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഏതെങ്കിലും രേഖയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു അർദ്ധ-തലത്തിൽ കിടക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ അതിനെ കോൺവെക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നേർരേഖ തന്നെ അർദ്ധതലത്തിൽ പെടുന്നതായി കണക്കാക്കുന്നു.
തന്നിരിക്കുന്ന ശീർഷത്തിലെ ഒരു കുത്തനെയുള്ള ബഹുഭുജത്തിന്റെ കോണാണ് അതിന്റെ വശങ്ങൾ ആ ശീർഷത്തിൽ ഒത്തുചേരുന്ന കോണാണ്.
നമുക്ക് സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാം (ഒരു കോൺവെക്സ് n-gon ന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക): ഒരു കോൺവെക്സ് n-gon ന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 0 *(n - 2) ന് തുല്യമാണ്.
തെളിവ്. കേസിൽ n=3 സിദ്ധാന്തം സാധുവാണ്. А 1 А 2 …А n നൽകിയിട്ടുള്ള കോൺവെക്സ് ബഹുഭുജവും n>3 ആകട്ടെ. അതിൽ ഡയഗണലുകൾ വരയ്ക്കാം (ഒരു ശീർഷത്തിൽ നിന്ന്). ബഹുഭുജം കുത്തനെയുള്ളതിനാൽ, ഈ ഡയഗണലുകൾ അതിനെ n - 2 ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. ബഹുഭുജത്തിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക ഈ എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളുടെയും കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഓരോ ത്രികോണത്തിന്റെയും കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 0 ആണ്, ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ എണ്ണം n - 2 ആണ്. അതിനാൽ, ഒരു കുത്തനെയുള്ള കോണിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക n - കോൺ A 1 A 2 ... A n 180 0 * ( n - 2). സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.
തന്നിരിക്കുന്ന ശീർഷത്തിലെ ഒരു കോൺവെക്സ് ബഹുഭുജത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണാണ് ആ ശീർഷത്തിലെ ബഹുഭുജത്തിന്റെ ആന്തരിക കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള കോണാണ്.
എല്ലാ വശങ്ങളും തുല്യവും എല്ലാ കോണുകളും തുല്യവുമാണെങ്കിൽ ഒരു കോൺവെക്സ് ബഹുഭുജത്തെ റെഗുലർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
അതിനാൽ ചതുരത്തെ വ്യത്യസ്തമായി വിളിക്കാം - ഒരു സാധാരണ ചതുർഭുജം. സമഭുജ ത്രികോണങ്ങളും ക്രമമാണ്. കെട്ടിടങ്ങൾ അലങ്കരിച്ച യജമാനന്മാർക്ക് അത്തരം കണക്കുകൾ വളരെക്കാലമായി താൽപ്പര്യമുള്ളവയാണ്. അവർ മനോഹരമായ പാറ്റേണുകൾ ഉണ്ടാക്കി, ഉദാഹരണത്തിന്, പാർക്ക്വെറ്റിൽ. എന്നാൽ എല്ലാ സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളും പാർക്കറ്റ് രൂപീകരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാനാവില്ല. സാധാരണ അഷ്ടഭുജങ്ങളിൽ നിന്ന് പാർക്കറ്റ് രൂപീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല. അവയ്ക്ക് ഓരോ കോണും 135 0 ന് തുല്യമാണ് എന്നതാണ് വസ്തുത. ഏതെങ്കിലും പോയിന്റ് അത്തരം രണ്ട് അഷ്ടഭുജങ്ങളുടെ ശീർഷകമാണെങ്കിൽ, അവയ്ക്ക് 270 0 ഉണ്ടായിരിക്കും, കൂടാതെ മൂന്നാമത്തെ അഷ്ടഭുജത്തിന് യോജിക്കാൻ ഒരിടവുമില്ല: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. എന്നാൽ ഒരു ചതുരത്തിന് മതി. അതിനാൽ, സാധാരണ അഷ്ടഭുജങ്ങളിൽ നിന്നും ചതുരങ്ങളിൽ നിന്നും പാർക്കറ്റ് മടക്കിക്കളയുന്നത് സാധ്യമാണ്.
നക്ഷത്രങ്ങൾ ശരിയാണ്. നമ്മുടെ അഞ്ച് പോയിന്റുള്ള നക്ഷത്രം ഒരു സാധാരണ പെന്റഗണൽ നക്ഷത്രമാണ്. നിങ്ങൾ കേന്ദ്രത്തിന് ചുറ്റുമുള്ള ചതുരത്തെ 45 0 കൊണ്ട് തിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സാധാരണ അഷ്ടഭുജാകൃതിയിലുള്ള നക്ഷത്രം ലഭിക്കും.
1 ഗ്രൂപ്പ്
എന്താണ് തകർന്ന ലൈൻ? പോളിലൈനിന്റെ ലംബങ്ങളും ലിങ്കുകളും എന്താണെന്ന് വിശദീകരിക്കുക.
ഏത് തകർന്ന വരയെ ലളിതമെന്ന് വിളിക്കുന്നു?
ഏത് തകർന്ന വരയാണ് അടച്ചതെന്ന് വിളിക്കുന്നത്?
എന്താണ് ഒരു ബഹുഭുജം? ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ ലംബങ്ങളെ എന്താണ് വിളിക്കുന്നത്? ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്?
2 ഗ്രൂപ്പ്
എന്താണ് ഫ്ലാറ്റ് പോളിഗോൺ? ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുക.
എന്താണ് n-gon?
ബഹുഭുജത്തിന്റെ ഏതൊക്കെ ലംബങ്ങളാണ് തൊട്ടടുത്തുള്ളതെന്നും അല്ലാത്തതെന്നും വിശദീകരിക്കുക.
ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ ഡയഗണൽ എന്താണ്?
3 ഗ്രൂപ്പ്
ഒരു കോൺവെക്സ് പോളിഗോൺ എന്താണ്?
ബഹുഭുജത്തിന്റെ ഏത് കോണുകൾ ബാഹ്യമാണെന്നും ഏതൊക്കെ ആന്തരികമാണെന്നും വിശദീകരിക്കുക?
എന്താണ് ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജം? സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുക.
4 ഗ്രൂപ്പ്
ഒരു കോൺവെക്സ് എൻ-ഗോണിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക എന്താണ്? തെളിയിക്കു.
വിദ്യാർത്ഥികൾ വാചകം ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു, ഉന്നയിക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങൾക്കുള്ള ഉത്തരങ്ങൾക്കായി നോക്കുക, അതിനുശേഷം വിദഗ്ദ്ധ ഗ്രൂപ്പുകൾ രൂപീകരിക്കപ്പെടുന്നു, അതിൽ ഒരേ വിഷയങ്ങളിൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടക്കുന്നു: വിദ്യാർത്ഥികൾ പ്രധാന കാര്യം എടുത്തുകാണിക്കുന്നു, പിന്തുണയ്ക്കുന്ന ഒരു സംഗ്രഹം വരയ്ക്കുക, ഒന്നിൽ വിവരങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുക ഗ്രാഫിക് രൂപങ്ങൾ. ജോലിയുടെ അവസാനം, വിദ്യാർത്ഥികൾ അവരുടെ വർക്കിംഗ് ഗ്രൂപ്പുകളിലേക്ക് മടങ്ങുന്നു.
3. പ്രതിഫലനത്തിന്റെ ഘട്ടം -
a) അവരുടെ അറിവിന്റെ വിലയിരുത്തൽ, അറിവിന്റെ അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്കുള്ള വെല്ലുവിളി;
ബി) ലഭിച്ച വിവരങ്ങളുടെ ധാരണയും വിനിയോഗവും.
സ്വീകരണം: ഗവേഷണ പ്രവർത്തനങ്ങൾ.
ജോലിയുടെ രൂപങ്ങൾ: വ്യക്തിഗത->ജോഡി->ഗ്രൂപ്പ്.
നിർദ്ദിഷ്ട ചോദ്യങ്ങളിലെ ഓരോ വിഭാഗത്തിനുമുള്ള ഉത്തരങ്ങളിൽ വിദഗ്ധരാണ് വർക്കിംഗ് ഗ്രൂപ്പുകൾ.
വർക്കിംഗ് ഗ്രൂപ്പിലേക്ക് മടങ്ങുമ്പോൾ, വിദഗ്ദ്ധൻ ഗ്രൂപ്പിലെ മറ്റ് അംഗങ്ങളെ അവരുടെ ചോദ്യങ്ങൾക്കുള്ള ഉത്തരങ്ങളുമായി പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു. ഗ്രൂപ്പിൽ വർക്കിംഗ് ഗ്രൂപ്പിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളുടെയും വിവരങ്ങൾ കൈമാറുന്നു. അങ്ങനെ, ഓരോ വർക്കിംഗ് ഗ്രൂപ്പിലും, വിദഗ്ധരുടെ പ്രവർത്തനത്തിന് നന്ദി, പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള വിഷയത്തിൽ ഒരു പൊതു ആശയം രൂപീകരിക്കപ്പെടുന്നു.
വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ഗവേഷണ പ്രവർത്തനങ്ങൾ - പട്ടികയിൽ പൂരിപ്പിക്കൽ.
സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങൾ | ഡ്രോയിംഗ് | വശങ്ങളുടെ എണ്ണം | കൊടുമുടികളുടെ എണ്ണം | എല്ലാ ആന്തരിക കോണുകളുടെയും ആകെത്തുക | ഡിഗ്രി അളവ് int. കോൺ | ബാഹ്യ കോണിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് | ഡയഗണലുകളുടെ എണ്ണം |
എ) ഒരു ത്രികോണം | |||||||
ബി) ചതുർഭുജം | |||||||
ബി) അഞ്ച് മതിൽ | |||||||
ഡി) ഷഡ്ഭുജം | |||||||
ഇ) എൻ-ഗോൺ |
പാഠത്തിന്റെ വിഷയത്തിൽ രസകരമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.
- ചതുർഭുജത്തിൽ, ഒരു രേഖ വരയ്ക്കുക, അങ്ങനെ അത് മൂന്ന് ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു.
- ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിന് എത്ര വശങ്ങളുണ്ട്, അവയുടെ ഓരോ ആന്തരിക കോണുകളും 135 0 ന് തുല്യമാണ്?
- ഒരു നിശ്ചിത ബഹുഭുജത്തിൽ, എല്ലാ ഇന്റീരിയർ കോണുകളും പരസ്പരം തുല്യമാണ്. ഈ ബഹുഭുജത്തിന്റെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ ആകെത്തുക: 360 0 , 380 0 ?
പാഠം സംഗ്രഹിക്കുന്നു. ഗൃഹപാഠം രേഖപ്പെടുത്തുന്നു.
ത്രികോണം, ചതുരം, ഷഡ്ഭുജം - ഈ കണക്കുകൾ മിക്കവാറും എല്ലാവർക്കും അറിയാം. എന്നാൽ സാധാരണ ബഹുഭുജം എന്താണെന്ന് എല്ലാവർക്കും അറിയില്ല. എന്നാൽ ഇതെല്ലാം ഒരേ റെഗുലർ പോളിഗോണിനെയാണ് തുല്യ കോണുകളും വശങ്ങളും ഉള്ളത് എന്ന് വിളിക്കുന്നത്. അത്തരം കണക്കുകൾ ധാരാളം ഉണ്ട്, എന്നാൽ അവയ്ക്കെല്ലാം ഒരേ ഗുണങ്ങളുണ്ട്, അവയ്ക്കും ഒരേ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ബാധകമാണ്.
സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ
ഏത് സാധാരണ ബഹുഭുജവും, അത് ഒരു ചതുരമോ അഷ്ടഭുജമോ ആകട്ടെ, ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്. ഒരു ചിത്രം നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ ഈ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു. കൂടാതെ, ഒരു ബഹുഭുജത്തിൽ ഒരു വൃത്തവും ആലേഖനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കോൺടാക്റ്റ് പോയിന്റുകളുടെ എണ്ണം അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തിന് അതിനോടൊപ്പം ഒരു പൊതു കേന്ദ്രം ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ഈ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ ഒരേ സിദ്ധാന്തങ്ങൾക്ക് വിധേയമാണ്. ഒരു സാധാരണ n-gon-ന്റെ ഏത് വശവും ചുറ്റുമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ R ആരവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഇത് കണക്കാക്കാം: a = 2R ∙ sin180°. അതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് വശങ്ങൾ മാത്രമല്ല, ബഹുഭുജത്തിന്റെ ചുറ്റളവും കണ്ടെത്താനാകും.
ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം
ഏതെങ്കിലുമൊന്നിൽ പരസ്പരം തുല്യമായ ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം സെഗ്മെന്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അവ ബന്ധിപ്പിക്കുമ്പോൾ ഒരു അടഞ്ഞ രേഖയായി മാറുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, രൂപപ്പെട്ട ചിത്രത്തിന്റെ എല്ലാ കോണുകൾക്കും ഒരേ മൂല്യമുണ്ട്. ബഹുഭുജങ്ങളെ ലളിതവും സങ്കീർണ്ണവുമായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിൽ ഒരു ത്രികോണവും ഒരു ചതുരവും ഉൾപ്പെടുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ ബഹുഭുജങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ വശങ്ങളുണ്ട്. അവയിൽ നക്ഷത്രാകൃതിയിലുള്ള രൂപങ്ങളും ഉൾപ്പെടുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങൾക്ക്, വശങ്ങൾ ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്താണ് കണ്ടെത്തുന്നത്. ഒരു തെളിവ് തരാം. n എന്ന അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകളുള്ള ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജം വരയ്ക്കുക. അതിനു ചുറ്റുമുള്ള ഒരു വൃത്തം വിവരിക്കുക. R ആരം വ്യക്തമാക്കുക. ഇപ്പോൾ കുറച്ച് n-gon നൽകിയതായി സങ്കൽപ്പിക്കുക. അതിന്റെ കോണുകളുടെ പോയിന്റുകൾ ഒരു വൃത്തത്തിൽ കിടക്കുന്നതും പരസ്പരം തുല്യമാണെങ്കിൽ, വശങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം: a = 2R ∙ sinα: 2.
ആലേഖനം ചെയ്ത വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നു
ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജമാണ്. ചതുരത്തിനും എൻ-ഗോണിനും അതേ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ബാധകമാണ്. ഒരു ത്രികോണത്തിന് ഒരേ നീളമുള്ള വശങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ അത് ശരിയായതായി കണക്കാക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കോണുകൾ 60⁰ ആണ്. നൽകിയിരിക്കുന്ന വശ നീളമുള്ള ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുക a. അതിന്റെ മധ്യവും ഉയരവും അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്താനാകും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, a \u003d x: cosα എന്ന ഫോർമുലയിലൂടെ കണ്ടെത്തുന്ന രീതി ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും, ഇവിടെ x എന്നത് മീഡിയൻ അല്ലെങ്കിൽ ഉയരമാണ്. ത്രികോണത്തിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും തുല്യമായതിനാൽ, നമുക്ക് a = b = c ലഭിക്കും. അപ്പോൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവന ശരിയാണ്: a = b = c = x: cosα. അതുപോലെ, ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് വശങ്ങളുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്താനാകും, എന്നാൽ x എന്നത് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉയരം ആയിരിക്കും. അതേ സമയം, അത് ചിത്രത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ കർശനമായി പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യണം. അതിനാൽ, ഉയരം x അറിയുമ്പോൾ, a \u003d b \u003d x: cosα എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന്റെ a വശം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. a യുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് അടിസ്ഥാന c യുടെ നീളം കണക്കാക്കാം. നമുക്ക് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കാം. ഞങ്ങൾ പകുതി അടിസ്ഥാന c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα യുടെ മൂല്യം നോക്കും. അപ്പോൾ c = 2xtanα. അത്തരമൊരു ലളിതമായ രീതിയിൽ, ആലേഖനം ചെയ്ത ഏതെങ്കിലും ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും.
ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്ത ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു
മറ്റ് ആലേഖനം ചെയ്ത സാധാരണ ബഹുഭുജം പോലെ, ഒരു ചതുരത്തിനും തുല്യ വശങ്ങളും കോണുകളും ഉണ്ട്. ത്രികോണത്തിന്റെ അതേ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതിന് ബാധകമാണ്. ഡയഗണലിന്റെ മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങൾ കണക്കാക്കാം. ഈ രീതി കൂടുതൽ വിശദമായി പരിഗണിക്കാം. ഡയഗണൽ കോണിനെ വിഭജിക്കുന്നുവെന്ന് അറിയാം. തുടക്കത്തിൽ, അതിന്റെ മൂല്യം 90 ഡിഗ്രി ആയിരുന്നു. അങ്ങനെ, വിഭജനത്തിന് ശേഷം, രണ്ടെണ്ണം രൂപം കൊള്ളുന്നു.അടിത്തട്ടിൽ അവയുടെ കോണുകൾ 45 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമായിരിക്കും. അതനുസരിച്ച്, ചതുരത്തിന്റെ ഓരോ വശവും തുല്യമായിരിക്കും, അതായത്: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, ഇവിടെ e എന്നത് ചതുരത്തിന്റെ ഡയഗണൽ അല്ലെങ്കിൽ അടിസ്ഥാനം വിഭജനത്തിന് ശേഷം രൂപപ്പെട്ട വലത് ത്രികോണം. ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങൾ കണ്ടെത്താനുള്ള ഒരേയൊരു മാർഗ്ഗമല്ല ഇത്. നമുക്ക് ഈ ചിത്രം ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്യാം. ഈ വൃത്തം R ന്റെ ആരം അറിയുമ്പോൾ, ചതുരത്തിന്റെ വശം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഞങ്ങൾ ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കും a4 = R√2. സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ആരങ്ങൾ R \u003d a: 2tg (360 o: 2n) എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് കണക്കാക്കുന്നത്, ഇവിടെ a എന്നത് വശത്തിന്റെ നീളമാണ്.
ഒരു n-gon-ന്റെ ചുറ്റളവ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം
ഒരു എൻ-ഗോണിന്റെ ചുറ്റളവ് അതിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയാണ്. ഇത് കണക്കാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ചില തരം ബഹുഭുജങ്ങൾക്ക്, പ്രത്യേക സൂത്രവാക്യങ്ങളുണ്ട്. ചുറ്റളവ് വളരെ വേഗത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ അവ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഏതൊരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിനും തുല്യ വശങ്ങളുണ്ടെന്ന് അറിയാം. അതിനാൽ, അതിന്റെ ചുറ്റളവ് കണക്കാക്കാൻ, അവയിലൊന്നെങ്കിലും അറിഞ്ഞാൽ മതി. സൂത്രവാക്യം ചിത്രത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും. പൊതുവേ, ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: P \u003d an, ഇവിടെ a എന്നത് വശത്തിന്റെ മൂല്യവും n എന്നത് കോണുകളുടെ എണ്ണവുമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 3 സെന്റിമീറ്റർ വശമുള്ള ഒരു സാധാരണ അഷ്ടഭുജത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ അതിനെ 8 കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, P = 3 ∙ 8 = 24 cm. 5 സെന്റിമീറ്റർ വശമുള്ള ഒരു ഷഡ്ഭുജത്തിന്, ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ: P = 5 ∙ 6 = 30 സെന്റീമീറ്റർ. അങ്ങനെ ഓരോ ബഹുഭുജത്തിനും.
ഒരു സമാന്തരചലനം, ചതുരം, റോംബസ് എന്നിവയുടെ ചുറ്റളവ് കണ്ടെത്തുന്നു
ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിന് എത്ര വശങ്ങളുണ്ട് എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച്, അതിന്റെ ചുറ്റളവ് കണക്കാക്കുന്നു. ഇത് ചുമതല വളരെ എളുപ്പമാക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, മറ്റ് കണക്കുകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അതിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും നോക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, ഒന്ന് മാത്രം മതി. അതേ തത്ത്വമനുസരിച്ച്, ചതുർഭുജങ്ങളുടെ ചുറ്റളവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അതായത് ഒരു ചതുരവും റോംബസും. ഇവ വ്യത്യസ്ത കണക്കുകളാണെങ്കിലും, അവയുടെ ഫോർമുല ഒരേ P = 4a ആണ്, ഇവിടെ a എന്നത് വശമാണ്. നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം എടുക്കാം. ഒരു റോംബസിന്റെയോ ചതുരത്തിന്റെയോ വശം 6 സെന്റീമീറ്റർ ആണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ചുറ്റളവ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണ്ടെത്തുന്നു: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 സെന്റീമീറ്റർ. ഒരു സമാന്തരരേഖയ്ക്ക് എതിർ വശങ്ങൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ. അതിനാൽ, അതിന്റെ ചുറ്റളവ് മറ്റൊരു രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു. അതിനാൽ, ചിത്രത്തിന്റെ നീളം a, വീതി b എന്നിവ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. അപ്പോൾ നമ്മൾ P \u003d (a + c) ∙ 2 എന്ന ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നു. അവയ്ക്കിടയിലുള്ള എല്ലാ വശങ്ങളും കോണുകളും തുല്യമായ ഒരു സമാന്തരരേഖയെ റോംബസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഒരു സമഭുജ, വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് കണ്ടെത്തുന്നു
ശരിയായതിന്റെ ചുറ്റളവ് P \u003d 3a ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം, ഇവിടെ a എന്നത് വശത്തിന്റെ നീളമാണ്. അത് അജ്ഞാതമാണെങ്കിൽ, അത് മീഡിയനിലൂടെ കണ്ടെത്താനാകും. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ, രണ്ട് വശങ്ങൾ മാത്രം തുല്യമാണ്. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിലൂടെ അടിസ്ഥാനം കണ്ടെത്താം. മൂന്ന് വശങ്ങളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ അറിഞ്ഞ ശേഷം, ഞങ്ങൾ ചുറ്റളവ് കണക്കാക്കുന്നു. P \u003d a + b + c എന്ന ഫോർമുല പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ട് ഇത് കണ്ടെത്താനാകും, ഇവിടെ a, b എന്നിവ തുല്യ വശങ്ങളാണ്, c ആണ് അടിസ്ഥാനം. ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിൽ a \u003d b \u003d a, അതിനാൽ, a + b \u003d 2a, തുടർന്ന് P \u003d 2a + c എന്ന് ഓർക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന്റെ വശം 4 സെന്റിമീറ്ററാണ്, അതിന്റെ അടിത്തറയും ചുറ്റളവും കണ്ടെത്തുക. 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5.65 cm ൽ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം c \u003d √a 2 + അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ഹൈപ്പോടെനസിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ P \u003d 2 ചുറ്റളവ് കണക്കാക്കുന്നു. u003d 13.65 സെ.മീ.
ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിന്റെ കോണുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം
ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജം എല്ലാ ദിവസവും നമ്മുടെ ജീവിതത്തിൽ സംഭവിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സാധാരണ ചതുരം, ത്രികോണം, അഷ്ടഭുജം. ഈ കണക്ക് സ്വയം നിർമ്മിക്കുന്നതിനേക്കാൾ എളുപ്പമൊന്നുമില്ലെന്ന് തോന്നുന്നു. എന്നാൽ ഇത് ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ മാത്രമാണ്. ഏതെങ്കിലും n-gon നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, അതിന്റെ കോണുകളുടെ മൂല്യം നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. എന്നാൽ നിങ്ങൾ അവരെ എങ്ങനെ കണ്ടെത്തും? പുരാതന കാലത്തെ ശാസ്ത്രജ്ഞർ പോലും സാധാരണ ബഹുഭുജങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാൻ ശ്രമിച്ചു. അവരെ സർക്കിളുകളിൽ ഒതുക്കുമെന്ന് അവർ ഊഹിച്ചു. തുടർന്ന് ആവശ്യമായ പോയിന്റുകൾ അതിൽ അടയാളപ്പെടുത്തി, നേർരേഖകളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ലളിതമായ കണക്കുകൾക്കായി, നിർമ്മാണ പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു. സൂത്രവാക്യങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും ലഭിച്ചു. ഉദാഹരണത്തിന്, യൂക്ലിഡ് തന്റെ പ്രശസ്തമായ "ദി ബിഗിനിംഗ്" എന്ന കൃതിയിൽ 3-, 4-, 5-, 6-, 15-ഗോണുകളുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഏർപ്പെട്ടിരുന്നു. അവ നിർമ്മിക്കുന്നതിനും കോണുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുമുള്ള വഴികൾ അദ്ദേഹം കണ്ടെത്തി. 15-ഗോണിന് ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് നോക്കാം. ആദ്യം നിങ്ങൾ അതിന്റെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. എസ് = 180⁰(n-2) എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു 15-ഗോൺ നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതായത് നമ്പർ n 15 ആണ്. നമുക്ക് അറിയാവുന്ന ഡാറ്റ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റി, S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰ ലഭിക്കും. 15-ഗോണിന്റെ എല്ലാ ഇന്റീരിയർ കോണുകളുടെയും ആകെത്തുക ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. ഇനി നമുക്ക് ഓരോന്നിന്റെയും മൂല്യം കിട്ടണം. ആകെ 15 കോണുകൾ ഉണ്ട്. ഞങ്ങൾ 2340⁰: 15 = 156⁰ കണക്കുകൂട്ടുന്നു. ഇതിനർത്ഥം ഓരോ ആന്തരിക കോണും 156⁰ ആണ്, ഇപ്പോൾ ഒരു റൂളറും കോമ്പസും ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സാധാരണ 15-ഗോൺ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. എന്നാൽ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ എൻ-ഗോണുകളുടെ കാര്യമോ? നൂറ്റാണ്ടുകളായി ശാസ്ത്രജ്ഞർ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ പാടുപെടുകയാണ്. പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗൗസ് മാത്രമാണ് ഇത് കണ്ടെത്തിയത്. 65537-ഗോൺ നിർമ്മിക്കാൻ അദ്ദേഹത്തിന് കഴിഞ്ഞു. അതിനുശേഷം, പ്രശ്നം പൂർണ്ണമായും പരിഹരിച്ചതായി ഔദ്യോഗികമായി കണക്കാക്കുന്നു.
റേഡിയനുകളിൽ എൻ-ഗോണുകളുടെ കോണുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ
തീർച്ചയായും, ബഹുഭുജങ്ങളുടെ കോണുകൾ കണ്ടെത്താൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്. മിക്കപ്പോഴും അവ ഡിഗ്രിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് അവ റേഡിയനുകളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാനും കഴിയും. ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാം? ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മുന്നോട്ട് പോകേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ആദ്യം, ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, തുടർന്ന് അതിൽ നിന്ന് 2 കുറയ്ക്കുക. അതിനാൽ, നമുക്ക് മൂല്യം ലഭിക്കുന്നു: n - 2. n (“pi” \u003d 3.14) എന്ന സംഖ്യയാൽ കണ്ടെത്തിയ വ്യത്യാസം ഗുണിക്കുക. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നത്തെ n-gon ലെ കോണുകളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന് മാത്രമേ ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ. അതേ പതിനഞ്ച് വശങ്ങളുള്ള ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഈ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പരിഗണിക്കുക. അതിനാൽ, n എന്ന സംഖ്യ 15 ആണ്. നമുക്ക് S = p(n - 2) ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാം: n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72. റേഡിയനുകളിൽ ഒരു കോണിനെ കണക്കാക്കാനുള്ള ഒരേയൊരു മാർഗ്ഗം ഇത് മാത്രമല്ല. നിങ്ങൾക്ക് കോണിന്റെ വലുപ്പം ഡിഗ്രിയിൽ 57.3 എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഇത്രയും ഡിഗ്രികൾ ഒരു റേഡിയന് തുല്യമാണ്.
ഡിഗ്രിയിലെ കോണുകളുടെ മൂല്യത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ
ഡിഗ്രികൾക്കും റേഡിയനുകൾക്കും പുറമേ, ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിന്റെ കോണുകളുടെ മൂല്യം ഗ്രേഡുകളിൽ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾക്ക് ശ്രമിക്കാം. ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിലാണ് ഇത് ചെയ്യുന്നത്. മൊത്തം കോണുകളുടെ എണ്ണത്തിൽ നിന്ന് 2 കുറയ്ക്കുക, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വ്യത്യാസത്തെ ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ ഫലം 200 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു.
എൻ-ഗോണുകളുടെ ബാഹ്യ കോണുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ
ഏതൊരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിനും, ആന്തരികമായതിന് പുറമേ, നിങ്ങൾക്ക് ബാഹ്യ കോണും കണക്കാക്കാം. അതിന്റെ മൂല്യം മറ്റ് കണക്കുകൾക്ക് സമാനമായി കാണപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിന്റെ പുറം മൂല കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ആന്തരിക ഒന്നിന്റെ മൂല്യം അറിയേണ്ടതുണ്ട്. കൂടാതെ, ഈ രണ്ട് കോണുകളുടെയും ആകെത്തുക എപ്പോഴും 180 ഡിഗ്രിയാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ചെയ്യുന്നു: ആന്തരിക കോണിന്റെ മൂല്യം 180⁰ മൈനസ്. ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുന്നു. അതിനോട് ചേർന്നുള്ള കോണിന്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ചതുരത്തിന്റെ അകത്തെ മൂല 90 ഡിഗ്രിയാണ്, അതിനാൽ ബാഹ്യ കോൺ 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ ആയിരിക്കും. നമുക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, അത് കണ്ടെത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. ബാഹ്യകോണിന് യഥാക്രമം +180⁰ മുതൽ -180⁰ വരെ മൂല്യം എടുക്കാം.
ഒരു ബഹുഭുജം ഒരു ജ്യാമിതീയ രൂപമാണ്, അത് എല്ലാ വശങ്ങളിലും അടഞ്ഞ തകർന്ന വരയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പോളിലൈനിന്റെ ലിങ്കുകളുടെ എണ്ണം മൂന്നിൽ കുറവായിരിക്കരുത്. ഓരോ ജോഡി പോളിലൈൻ സെഗ്മെന്റുകൾക്കും ഒരു പൊതു പോയിന്റും രൂപ കോണുകളും ഉണ്ട്. കോണുകളുടെ എണ്ണവും പോളിലൈൻ സെഗ്മെന്റുകളുടെ എണ്ണവും ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകളാണ്. ഓരോ പോളിഗോണിലും, ബൗണ്ടിംഗ് അടച്ച പോളിലൈനിന്റെ ലിങ്കുകളുടെ എണ്ണം കോണുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.
ജ്യാമിതിയിലെ വശങ്ങളെ സാധാരണയായി ഒരു ജ്യാമിതീയ വസ്തുവിനെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു പോളിലൈനിന്റെ ലിങ്കുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. തൊട്ടടുത്തുള്ള രണ്ട് വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള സമ്പർക്ക പോയിന്റുകളാണ് ലംബങ്ങൾ., ഏത് ബഹുഭുജങ്ങൾക്ക് അവയുടെ പേരുകൾ ലഭിക്കുന്നു.
ഒരു അടഞ്ഞ തകർന്ന രേഖയിൽ മൂന്ന് സെഗ്മെന്റുകൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ ഒരു ത്രികോണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു; യഥാക്രമം, നാല് സെഗ്മെന്റുകളിൽ നിന്ന് - ഒരു ചതുരം, അഞ്ചിൽ നിന്ന് - ഒരു പെന്റഗൺ മുതലായവ.
ഒരു ത്രികോണമോ ചതുർഭുജമോ നിർണ്ണയിക്കാൻ, അതിന്റെ ലംബങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന വലിയ ലാറ്റിൻ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുക. അക്ഷരങ്ങൾ ക്രമത്തിൽ വിളിക്കുന്നു - ഘടികാരദിശയിൽ അല്ലെങ്കിൽ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ.
അടിസ്ഥാന സങ്കൽപങ്ങൾ
ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ നിർവചനം വിവരിക്കുമ്പോൾ, ചില അനുബന്ധ ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കണം:
- ലംബങ്ങൾ ഒരേ വശത്തിന്റെ അറ്റങ്ങളാണെങ്കിൽ, അവയെ അയൽക്കാർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
- ഒരു സെഗ്മെന്റ് അയൽപക്കമില്ലാത്ത ലംബങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അതിനെ ഒരു ഡയഗണൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ത്രികോണത്തിന് ഡയഗണലുകൾ ഉണ്ടാകരുത്.
- ഒരു ലംബമായ ഒരു കോണാണ് ആന്തരിക ആംഗിൾ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ അതിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും കൂടിച്ചേർന്ന് രൂപം കൊള്ളുന്നു. ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും ജ്യാമിതീയ രൂപത്തിന്റെ ആന്തരിക മേഖലയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. ബഹുഭുജം നോൺ-കോൺവെക്സ് ആണെങ്കിൽ, അതിന്റെ വലിപ്പം 180 ഡിഗ്രി കവിയുന്നു.
- ഒരു നിശ്ചിത ശീർഷത്തിലെ ബാഹ്യകോണ് അതിന്റെ ആന്തരിക കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള കോണാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ബാഹ്യകോണിനെ 180°യും അകത്തെ കോണിന്റെ മൂല്യവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമായി കണക്കാക്കാം.
- എല്ലാ സെഗ്മെന്റുകളുടെയും മൂല്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയെ ചുറ്റളവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
- എല്ലാ വശങ്ങളും എല്ലാ കോണുകളും തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിനെ ശരി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കുത്തനെയുള്ളവ മാത്രമേ ശരിയാകൂ.
മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ബഹുഭുജ ജ്യാമിതികളുടെ പേരുകൾ ലംബങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ഒരു കണക്കിന് അവയിൽ n ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു എൻ-ഗോൺ:
- ഒരു ബഹുഭുജം വിമാനത്തിന്റെ പരിമിതമായ ഭാഗത്തെ പരിമിതപ്പെടുത്തുകയാണെങ്കിൽ അതിനെ ഫ്ലാറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ ജ്യാമിതീയ രൂപം ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്യാം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വൃത്തത്തിന് ചുറ്റും ചുറ്റാം.
- ഒരു എൻ-ഗോണിനെ കോൺവെക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് താഴെയുള്ള വ്യവസ്ഥകളിൽ ഒന്ന് പാലിക്കുന്നു.
- രണ്ട് അടുത്തുള്ള ലംബങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ ഒരു വശത്താണ് ചിത്രം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്.
- ഈ കണക്ക് നിരവധി അർദ്ധവിമാനങ്ങളുടെ ഒരു പൊതു ഭാഗമോ കവലയോ ആയി വർത്തിക്കുന്നു.
- വികർണ്ണങ്ങൾ ബഹുഭുജത്തിനുള്ളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു.
- സെഗ്മെന്റിന്റെ അറ്റങ്ങൾ പോളിഗോണിന്റെ പോയിന്റുകളിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതെങ്കിൽ, മുഴുവൻ സെഗ്മെന്റും അതിനുള്ളതാണ്.
- എല്ലാ സെഗ്മെന്റുകളും എല്ലാ കോണുകളും തുല്യമാണെങ്കിൽ ഒരു ചിത്രത്തെ റെഗുലർ എന്ന് വിളിക്കാം. ഒരു ചതുരം, ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സാധാരണ പെന്റഗൺ എന്നിവയാണ് ഉദാഹരണങ്ങൾ.
- ഒരു n-gon കോൺവെക്സ് അല്ലാത്തതാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും കോണുകളും തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഒരു സാധാരണ n-gon ന്റെ ലംബങ്ങളുമായി ലംബങ്ങൾ യോജിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അതിനെ സ്റ്റെലേറ്റഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരം കണക്കുകൾക്ക് സ്വയം കവലകൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം. ഒരു ഉദാഹരണം ഒരു പെന്റഗ്രാം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഹെക്സാഗ്രാം ആയിരിക്കും.
- ഒരു ത്രികോണം അല്ലെങ്കിൽ ചതുർഭുജം ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്യപ്പെട്ടതായി പറയപ്പെടുന്നു, അതിന്റെ എല്ലാ ലംബങ്ങളും ഒരേ വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുമ്പോൾ. ഈ ചിത്രത്തിന്റെ വശങ്ങളിൽ വൃത്തവുമായി സമ്പർക്കം പുലർത്തുന്ന ബിന്ദുക്കൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഇത് ഏതെങ്കിലും വൃത്തത്തെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള ഒരു ബഹുഭുജമാണ്.
ഏതെങ്കിലും ഒരു കോൺവെക്സ് എൻ-ഗോണിനെ ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ത്രികോണങ്ങളുടെ എണ്ണം വശങ്ങളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ 2 കുറവാണ്.
കണക്കുകളുടെ തരങ്ങൾ
മൂന്ന് ലംബങ്ങളും അവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന മൂന്ന് വരകളുമുള്ള ഒരു ബഹുഭുജമാണിത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സെഗ്മെന്റുകളുടെ കണക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ ഒരു നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്നില്ല.
സെഗ്മെന്റുകളുടെ കണക്ഷൻ പോയിന്റുകളാണ് ത്രികോണ ലംബങ്ങൾ. സെഗ്മെന്റുകളെ തന്നെ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഓരോ ത്രികോണത്തിന്റെയും ആന്തരിക കോണുകളുടെ ആകെ തുക 180° ആണ്.
വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം അനുസരിച്ച്, എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളെയും പല തരങ്ങളായി തിരിക്കാം:
- സമഭുജം- അതിൽ എല്ലാ സെഗ്മെന്റുകളുടെയും ദൈർഘ്യം തുല്യമാണ്.
- സമഭാഗങ്ങൾമൂന്നിൽ രണ്ട് തുല്യ ഖണ്ഡങ്ങളുള്ള ത്രികോണങ്ങൾ.
- ബഹുമുഖ- എല്ലാ സെഗ്മെന്റുകളുടെയും നീളം വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ.
കൂടാതെ, ഇനിപ്പറയുന്ന ത്രികോണങ്ങളെ വേർതിരിക്കുന്നത് പതിവാണ്:
- നിശിത കോണുള്ള.
- ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള.
- മങ്ങിയ.
ചതുർഭുജം
ഒരു ചതുർഭുജം എന്നത് 4 ലംബങ്ങളും 4 സെഗ്മെന്റുകളും ഉള്ള ഒരു പരന്ന രൂപമാണ്.
- ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ എല്ലാ കോണുകളും വലത് കോണുകളാണെങ്കിൽ, ആ രൂപത്തെ ദീർഘചതുരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
- എല്ലാ വശങ്ങളും ഒരേ വലിപ്പമുള്ള ദീർഘചതുരത്തെ ചതുരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
- എല്ലാ വശങ്ങളും തുല്യമായ ഒരു ചതുർഭുജത്തെ റോംബസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഒരു ചതുർഭുജത്തിന്റെ മൂന്ന് ലംബങ്ങൾ ഒരേ നേർരേഖയിൽ കിടക്കാൻ കഴിയില്ല.
വീഡിയോ
ഈ വീഡിയോയിൽ പോളിഗോണുകളെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും.
ഈ പാഠത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ വിഷയം ആരംഭിക്കുകയും ഞങ്ങൾക്കായി ഒരു പുതിയ ആശയം അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യും - ഒരു "ബഹുഭുജം". ബഹുഭുജങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കും: വശങ്ങൾ, ലംബങ്ങൾ, കോണുകൾ, കോൺവെക്സിറ്റി, നോൺ-കോൺവെക്സിറ്റി. ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം, ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണുകളുടെ ആകെത്തുകയെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട വസ്തുതകൾ ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും. തൽഫലമായി, പോളിഗോണുകളുടെ പ്രത്യേക കേസുകൾ പഠിക്കാൻ ഞങ്ങൾ അടുത്തുവരും, അത് ഭാവി പാഠങ്ങളിൽ പരിഗണിക്കും.
തീം: ചതുർഭുജങ്ങൾ
പാഠം: ബഹുഭുജങ്ങൾ
ജ്യാമിതിയുടെ ഗതിയിൽ, ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു, അവയിൽ ഏറ്റവും ലളിതമായത് ഇതിനകം പരിഗണിച്ചിട്ടുണ്ട്: ത്രികോണങ്ങളും സർക്കിളുകളും. അതേ സമയം, വലത് കോണുകൾ, ഐസോസിലുകൾ, സാധാരണ ത്രികോണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ഈ കണക്കുകളുടെ പ്രത്യേക പ്രത്യേക കേസുകളും ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്തു. ഇപ്പോൾ കൂടുതൽ പൊതുവായതും സങ്കീർണ്ണവുമായ രൂപങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാൻ സമയമായി - ബഹുഭുജങ്ങൾ.
ഒരു പ്രത്യേക കേസുമായി ബഹുഭുജങ്ങൾനമുക്ക് ഇതിനകം പരിചിതമാണ് - ഇതൊരു ത്രികോണമാണ് (ചിത്രം 1 കാണുക).
അരി. 1. ത്രികോണം
ഇത് മൂന്ന് കോണുകളുള്ള ഒരു രൂപമാണെന്ന് പേര് തന്നെ ഊന്നിപ്പറയുന്നു. അതിനാൽ, ഇൻ ബഹുഭുജംഅവയിൽ പലതും ഉണ്ടാകാം, അതായത്. മൂന്നിൽ കൂടുതൽ. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ഒരു പെന്റഗൺ വരയ്ക്കാം (ചിത്രം 2 കാണുക), അതായത്. അഞ്ച് കോണുകളുള്ള ചിത്രം.
അരി. 2. പെന്റഗൺ. കോൺവെക്സ് ബഹുഭുജം
നിർവ്വചനം.ബഹുഭുജം- നിരവധി പോയിന്റുകളും (രണ്ടിൽ കൂടുതൽ) അവയെ ശ്രേണിയിൽ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന സെഗ്മെന്റുകളുടെ അനുബന്ധ എണ്ണവും അടങ്ങുന്ന ഒരു ചിത്രം. ഈ പോയിന്റുകളെ വിളിക്കുന്നു കൊടുമുടികൾബഹുഭുജവും ഭാഗങ്ങളും - പാർട്ടികൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, തൊട്ടടുത്തുള്ള രണ്ട് വശങ്ങൾ ഒരേ നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്നില്ല, കൂടാതെ രണ്ട് നോൺ-അടുത്ത വശങ്ങൾ കൂടിച്ചേരുന്നില്ല.
നിർവ്വചനം.സാധാരണ ബഹുഭുജംഎല്ലാ വശങ്ങളും കോണുകളും തുല്യമായ ഒരു കുത്തനെയുള്ള ബഹുഭുജമാണ്.
ഏതെങ്കിലും ബഹുഭുജംവിമാനത്തെ രണ്ട് മേഖലകളായി വിഭജിക്കുന്നു: ആന്തരികവും ബാഹ്യവും. ഇന്റീരിയർ എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു ബഹുഭുജം.
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, അവർ ഒരു പെന്റഗണിനെക്കുറിച്ച് പറയുമ്പോൾ, അവർ അർത്ഥമാക്കുന്നത് അതിന്റെ മുഴുവൻ ആന്തരിക മേഖലയും അതിന്റെ അതിർത്തിയുമാണ്. ആന്തരിക മേഖലയിൽ ബഹുഭുജത്തിനുള്ളിൽ കിടക്കുന്ന എല്ലാ പോയിന്റുകളും ഉൾപ്പെടുന്നു, അതായത്. പോയിന്റും പെന്റഗണിന്റേതാണ് (ചിത്രം 2 കാണുക).
അജ്ഞാതമായ ചില കോണുകൾ (n കഷണങ്ങൾ) ഉള്ളതിന്റെ പൊതുവായ സാഹചര്യം പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഊന്നിപ്പറയുന്നതിന് പോളിഗോണുകളെ ചിലപ്പോൾ n-gons എന്നും വിളിക്കുന്നു.
നിർവ്വചനം. ബഹുഭുജ ചുറ്റളവ്ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ ആകെത്തുകയാണ്.
ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പോളിഗോണുകളുടെ തരങ്ങൾ പരിചയപ്പെടേണ്ടതുണ്ട്. അവ തിരിച്ചിരിക്കുന്നു കുത്തനെയുള്ളഒപ്പം നോൺ-കോൺവെക്സ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ബഹുഭുജം. 2 കുത്തനെയുള്ളതാണ്, ചിത്രത്തിൽ. 3 നോൺ-കോൺവെക്സ്.
അരി. 3. നോൺ-കോൺവെക്സ് ബഹുഭുജം
നിർവ്വചനം 1. ബഹുഭുജംവിളിച്ചു കുത്തനെയുള്ള, അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും വശങ്ങളിലൂടെ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുമ്പോൾ, മുഴുവൻ ബഹുഭുജംഈ വരിയുടെ ഒരു വശത്ത് മാത്രം കിടക്കുന്നു. നോൺ-കോൺവെക്സ്ബാക്കി എല്ലാം ബഹുഭുജങ്ങൾ.
ചിത്രത്തിൽ പെന്റഗണിന്റെ ഏതെങ്കിലും വശം നീട്ടുമ്പോൾ അത് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. 2 ഇതെല്ലാം ഈ നേർരേഖയുടെ ഒരു വശത്തായിരിക്കും, അതായത്. അവൻ കുത്തനെയുള്ളവനാണ്. എന്നാൽ ചിത്രത്തിൽ ചതുർഭുജത്തിലൂടെ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുമ്പോൾ. 3 അതിനെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നതായി ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കാണുന്നു, അതായത്. അവൻ കോൺവെക്സ് അല്ല.
എന്നാൽ ഒരു ബഹുഭുജത്തിന്റെ കോൺവെക്സിറ്റിക്ക് മറ്റൊരു നിർവചനമുണ്ട്.
നിർവ്വചനം 2. ബഹുഭുജംവിളിച്ചു കുത്തനെയുള്ളഅതിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ഇന്റീരിയർ പോയിന്റുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് അവയെ ഒരു സെഗ്മെന്റുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുമ്പോൾ, സെഗ്മെന്റിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകളും പോളിഗോണിന്റെ ഇന്റീരിയർ പോയിന്റുകളാണ്.
ഈ നിർവചനത്തിന്റെ ഉപയോഗത്തിന്റെ ഒരു പ്രദർശനം ചിത്രത്തിൽ സെഗ്മെന്റുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ കാണാം. 2 ഉം 3 ഉം.
നിർവ്വചനം. ഡയഗണൽഒരു പോളിഗോൺ എന്നത് രണ്ട് അയൽപക്കമില്ലാത്ത ശീർഷകങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഏത് വിഭാഗമാണ്.
ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ വിവരിക്കുന്നതിന്, അവയുടെ കോണുകളെക്കുറിച്ചുള്ള ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട രണ്ട് സിദ്ധാന്തങ്ങളുണ്ട്: കോൺവെക്സ് പോളിഗോൺ ഇന്റീരിയർ ആംഗിൾ സം സിദ്ധാന്തംഒപ്പം കോൺവെക്സ് ബഹുഭുജ ബാഹ്യകോണ സം സിദ്ധാന്തം. നമുക്ക് അവ പരിഗണിക്കാം.
സിദ്ധാന്തം. ഒരു കുത്തനെയുള്ള ബഹുഭുജത്തിന്റെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയിൽ (എൻ-ഗോൺ).
അതിന്റെ കോണുകളുടെ (വശങ്ങളുടെ) എണ്ണം എവിടെയാണ്.
തെളിവ് 1. ചിത്രത്തിൽ ചിത്രീകരിക്കാം. 4 കോൺവെക്സ് എൻ-ഗോൺ.
അരി. 4. കോൺവെക്സ് എൻ-ഗോൺ
ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് സാധ്യമായ എല്ലാ ഡയഗണലുകളും വരയ്ക്കുക. അവർ എൻ-ഗോണിനെ ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു, കാരണം ബഹുഭുജത്തിന്റെ ഓരോ വശവും ഒരു ത്രികോണം ഉണ്ടാക്കുന്നു, ശീർഷത്തോട് ചേർന്നുള്ള വശങ്ങൾ ഒഴികെ. ഈ എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളുടെയും കോണുകളുടെ ആകെത്തുക n-gon ന്റെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. ഏതൊരു ത്രികോണത്തിന്റെയും കോണുകളുടെ ആകെത്തുക , അപ്പോൾ ഒരു n-gon ന്റെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ ആകെത്തുക:
ക്യു.ഇ.ഡി.
തെളിവ് 2. ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ മറ്റൊരു തെളിവും സാധ്യമാണ്. ചിത്രത്തിൽ സമാനമായ ഒരു n-gon വരയ്ക്കാം. 5 കൂടാതെ അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഇന്റീരിയർ പോയിന്റുകളെ എല്ലാ വെർട്ടീസുകളിലേക്കും ബന്ധിപ്പിക്കുക.
അരി. 5.
നമുക്ക് ഒരു n-gon ന്റെ n ത്രികോണങ്ങളായി ഒരു വിഭജനം ലഭിച്ചു (എത്ര വശങ്ങൾ, എത്ര ത്രികോണങ്ങൾ). അവയുടെ എല്ലാ കോണുകളുടെയും ആകെത്തുക ബഹുഭുജത്തിന്റെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കും ഇന്റീരിയർ പോയിന്റിലെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കും തുല്യമാണ്, ഇതാണ് ആംഗിൾ. നമുക്ക് ഉണ്ട്:
ക്യു.ഇ.ഡി.
തെളിയിച്ചു.
തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഒരു n-gon ന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു (n-ൽ). ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ത്രികോണത്തിൽ, കോണുകളുടെ ആകെത്തുക . ഒരു ചതുർഭുജത്തിൽ, കോണുകളുടെ ആകെത്തുക - മുതലായവ.
സിദ്ധാന്തം. ഒരു കുത്തനെയുള്ള ബഹുഭുജത്തിന്റെ ബാഹ്യകോണുകളുടെ ആകെത്തുകയിൽ (എൻ-ഗോൺ).
അതിന്റെ കോണുകളുടെ (വശങ്ങളുടെ) എണ്ണം എവിടെയാണ്, കൂടാതെ , ..., ബാഹ്യ കോണുകളാണ്.
തെളിവ്. ചിത്രത്തിൽ ഒരു കോൺവെക്സ് എൻ-ഗോൺ വരയ്ക്കാം. 6 അതിന്റെ ആന്തരികവും ബാഹ്യവുമായ കോണുകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
അരി. 6. അടയാളപ്പെടുത്തിയ ബാഹ്യ കോണുകളുള്ള കോൺവെക്സ് എൻ-ഗോൺ
കാരണം പുറത്തെ മൂലയെ അകത്തെ ഒന്നുമായി തൊട്ടടുത്തായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു അതുപോലെ മറ്റ് ബാഹ്യ കോണുകൾക്കും. അപ്പോൾ:
പരിവർത്തന സമയത്ത്, ഒരു n-gon-ന്റെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയിൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചു.
തെളിയിച്ചു.
തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ഒരു കുത്തനെയുള്ള n-gon ന്റെ ബാഹ്യകോണുകളുടെ ആകെത്തുക തുല്യമാണ് എന്ന രസകരമായ ഒരു വസ്തുത പിന്തുടരുന്നു. അതിന്റെ കോണുകളുടെ (വശങ്ങളുടെ) എണ്ണത്തിൽ. വഴിയിൽ, ഇന്റീരിയർ കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി.
ഗ്രന്ഥസൂചിക
- അലക്സാൻഡ്രോവ് എ.ഡി. മുതലായവ. ജ്യാമിതി, ഗ്രേഡ് 8. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. ജ്യാമിതി, എട്ടാം ക്ലാസ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. ജ്യാമിതി, എട്ടാം ക്ലാസ്. - എം.: വെന്റാന-ഗ്രാഫ്, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com().
ഹോംവർക്ക്