Lekcija "Poligoni. Vrste mnogokuta" u okviru tehnologije "Razvoj kritičkog mišljenja kroz čitanje i pisanje"
Svojstva poligona
Poligon je geometrijska figura, obično definirana kao zatvorena polilinija bez samosjecišta (jednostavni mnogokut (slika 1a)), ali ponekad su samosjecišta dopuštena (tada poligon nije jednostavan).
Vrhovi polilinije nazivaju se vrhovima mnogokuta, a segmenti stranicama mnogokuta. Vrhovi mnogokuta nazivaju se susjedima ako su krajevi jedne od njegovih stranica. Isječci koji povezuju nesusjedne vrhove poligona nazivaju se dijagonalama.
Kut (ili unutarnji kut) konveksnog mnogokuta na danom vrhu je kut koji tvore njegove stranice koje konvergiraju u tom vrhu, a kut se razmatra sa strane mnogokuta. Konkretno, kut može premašiti 180° ako poligon nije konveksan.
Vanjski kut konveksnog mnogokuta na danom vrhu je kut koji je susjedan unutarnjem kutu mnogokuta na tom vrhu. Općenito, vanjski kut je razlika između 180° i unutarnjeg kuta. Iz svakog vrha -kuta za > 3 izlaze - 3 dijagonale, pa je ukupan broj dijagonala -kuta jednak.
Poligon s tri vrha naziva se trokut, s četiri - četverokut, s pet - peterokut i tako dalje.
Poligon sa n vrhovi se zove n- kvadrat.
Ravni poligon je lik koji se sastoji od mnogokuta i njime ograničenog konačnog dijela površine.
Poligon se naziva konveksnim ako je ispunjen jedan od sljedećih (ekvivalentnih) uvjeta:
- 1. leži s jedne strane bilo koje ravne crte koja povezuje njezine susjedne vrhove. (tj. produžeci stranica mnogokuta ne sijeku njegove druge stranice);
- 2. to je sjecište (tj. zajednički dio) više poluravnina;
- 3. bilo koji segment s krajevima u točkama koje pripadaju poligonu u potpunosti mu pripada.
Konveksni mnogokut naziva se pravilnim ako su sve stranice jednake i svi kutovi jednaki, na primjer, jednakostranični trokut, kvadrat i peterokut.
Kaže se da je konveksni mnogokut upisan u krug ako sve njegove stranice tangiraju na neki krug
Pravilan mnogokut je mnogokut u kojem su svi kutovi i sve stranice jednaki.
Svojstva poligona:
1 Svaka dijagonala konveksnog -kuta, gdje je >3, rastavlja ga na dva konveksna poligona.
2 Zbroj svih kutova konveksnog kuta jednak je.
D-in: Dokažimo teorem metodom matematičke indukcije. Za = 3 to je očito. Pretpostavimo da je teorem točan za -kut, gdje je <, i to dokazati za -gon.
Dopustiti biti zadan poligon. Nacrtaj dijagonalu tog mnogokuta. Prema teoremu 3, mnogokut se rastavlja na trokut i konveksni -kut (sl. 5). Po indukcijskoj hipotezi. S druge strane, . Zbrajajući ove jednakosti i uzimajući u obzir da (- unutarnji kut snopa ) i (- unutarnji kut snopa ), dobijemo.Kad dobijemo: .
3 O svakom pravilnom mnogokutu moguće je opisati kružnicu, štoviše, samo jednu.
D-in: Neka je pravilan mnogokut, i i su simetrale kutova, i (slika 150). Budući da je, dakle, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O. Dokažimo to O = OA 2 = O =… = OA P . Trokut O jednakokračan, dakle O= O. Prema drugom kriteriju jednakosti trokuta, dakle, O = O. Slično tome, dokazano je da O = O itd. Dakle poanta O jednako udaljen od svih vrhova mnogokuta, dakle kružnica sa središtem O radius O opisana je oko poligona.
Dokažimo sada da postoji samo jedan opisani krug. Razmotrimo neka tri vrha poligona, na primjer, ALI 2 , . Budući da kroz te točke prolazi samo jedna kružnica, tada o poligonu … Ne možete opisati više od jednog kruga.
- 4 U bilo koji pravilan mnogokut možete upisati krug i, štoviše, samo jedan.
- 5 Kružnica upisana u pravilan mnogokut dodiruje stranice mnogokuta u njihovim središtima.
- 6 Središte kružnice koja opisuje pravilan mnogokut poklapa se sa središtem kružnice upisane u isti mnogokut.
- 7 Simetrija:
Kaže se da je figura simetrična (simetrična) ako postoji takvo kretanje (ne identično) koje ovu figuru pretvara u sebe.
- 7.1. Opći trokut nema osi ni središta simetrije, nije simetričan. Jednakokračan (ali ne i jednakostraničan) trokut ima jednu os simetrije: simetralu okomitu na osnovicu.
- 7.2. Jednakostranični trokut ima tri osi simetrije (okomite simetrale stranica) i rotacijsku simetriju oko središta s kutom rotacije od 120°.
7.3 Svaki pravilan n-kut ima n osi simetrije, od kojih sve prolaze kroz njegovo središte. Također ima rotacijsku simetriju oko središta s kutom rotacije.
Čak n neke osi simetrije prolaze kroz suprotne vrhove, druge kroz središta suprotnih strana.
Za neparan n svaka os prolazi kroz vrh i središte suprotne strane.
Središte pravilnog mnogokuta s parnim brojem stranica je njegovo središte simetrije. Pravilan mnogokut s neparnim brojem stranica nema središte simetrije.
8 Sličnost:
Uz sličnost, i -kut prelazi u -kut, poluravnina - u poluravninu, dakle konveksna n-gon postaje konveksan n-gon.
Teorem: Ako stranice i kutovi konveksnih poligona i zadovoljavaju jednakosti:
gdje je podij koeficijent
onda su ti poligoni slični.
- 8.1 Omjer opsega dva slična poligona jednak je koeficijentu sličnosti.
- 8.2. Omjer površina dvaju konveksnih sličnih poligona jednak je kvadratu koeficijenta sličnosti.
poligon trokut perimetar teorem
Odjeljci: Matematika
Predmet, uzrast učenika: geometrija, 9. razred
Svrha lekcije: proučavanje vrsta poligona.
Zadatak učenja: obnoviti, proširiti i generalizirati znanja učenika o poligonima; formirati ideju o "komponentama" poligona; provesti istraživanje broja sastavnih elemenata pravilnih mnogokuta (od trokuta do n-kuta);
Razvojna zadaća: razvijati sposobnost analize, usporedbe, zaključivanja, razvijati računalne sposobnosti, usmeni i pisani matematički govor, pamćenje, kao i samostalnost u misaonim aktivnostima i učenju, sposobnost rada u paru i grupi; razvijati istraživačku i obrazovnu djelatnost;
Odgojni zadatak: odgajati samostalnost, aktivnost, odgovornost za dodijeljeni zadatak, ustrajnost u postizanju cilja.
Tijekom nastave: na ploči je napisan citat
“Priroda govori jezikom matematike, slova ovog jezika... matematičke figure.” G. Gallilei
Na početku sata razred se dijeli na radne skupine (u našem slučaju podjela na skupine od po 4 osobe - broj članova skupine jednak je broju skupina pitanja).
1. Faza poziva-
Ciljevi:
a) obnavljanje znanja učenika o temi;
b) buđenje interesa za temu koja se proučava, motivacija svakog učenika za aktivnosti učenja.
Prijem: Igra "Vjeruješ li da ...", organizacija rada s tekstom.
Oblici rada: frontalni, grupni.
“Vjeruješ li da…”
1. ... riječ "poligon" označava da sve figure ove obitelji imaju "mnogo uglova"?
2. … trokut pripada velikoj obitelji poligona, koji se razlikuju među mnogim različitim geometrijskim oblicima na ravnini?
3. …je li kvadrat pravilan osmerokut (četiri stranice + četiri kuta)?
Danas ćemo u lekciji govoriti o poligonima. Saznajemo da je ovaj lik omeđen zatvorenom isprekidanom linijom, koja pak može biti jednostavna, zatvorena. Razgovarajmo o tome da su poligoni ravni, pravilni, konveksni. Jedan od ravnih poligona je trokut koji vam je odavno poznat (učenicima možete pokazati plakate koji prikazuju poligone, izlomljenu liniju, pokazati njihove različite vrste, možete koristiti i TCO).
2. Faza shvaćanja
Svrha: dobivanje novih informacija, njihovo razumijevanje, odabir.
Prijem: cik-cak.
Oblici rada: individualni->par->grupni.
Svaka grupa dobiva tekst na temu lekcije, a tekst je koncipiran na način da uključuje kako učenicima već poznate informacije, tako i potpuno nove informacije. Uz tekst učenici dobivaju pitanja na koje se odgovori moraju pronaći u ovom tekstu.
Poligoni. Vrste poligona.
Tko još nije čuo za misteriozni Bermudski trokut, gdje brodovi i zrakoplovi netragom nestaju? Ali trokut koji nam je poznat iz djetinjstva prepun je puno zanimljivih i tajanstvenih stvari.
Uz već poznate nam vrste trokuta, podijeljenih po stranicama (razmjerni, jednakokračni, jednakostranični) i kutovima (oštrokutni, tupokutni, pravokutni), trokut pripada velikoj obitelji mnogokuta koji se razlikuju od mnogih različite geometrijske oblike na ravnini.
Riječ "poligon" označava da sve figure ove obitelji imaju "mnogo uglova". Ali to nije dovoljno za karakterizaciju figure.
Izlomljena linija A 1 A 2 ... A n je lik koji se sastoji od točaka A 1, A 2, ... A n i odsječaka A 1 A 2, A 2 A 3, ... koji ih spajaju. Točke se nazivaju vrhovi polilinije, a segmenti se nazivaju karike polilinije. (Sl. 1)
Izlomljena linija se naziva jednostavnom ako nema samosjecišta (sl. 2,3).
Izlomljena crta se naziva zatvorenom ako joj se krajevi podudaraju. Duljina izlomljene linije je zbroj duljina njezinih karika (slika 4).
Jednostavna zatvorena izlomljena crta naziva se mnogokut ako njezine susjedne karike ne leže na istoj ravnici (slika 5).
Zamijenite riječ "mnogokut" umjesto dijela "mnogo" određenim brojem, na primjer 3. Dobit ćete trokut. Ili 5. Zatim - peterokut. Imajte na umu da ima onoliko kutova koliko ima stranica, pa bi se ove figure mogle nazvati višestranicama.
Vrhovi polilinije nazivaju se vrhovima mnogokuta, a karike polilinije nazivaju se stranicama mnogokuta.
Poligon dijeli ravninu na dva područja: unutarnje i vanjsko (slika 6).
Ravni poligon ili poligonalna regija je konačni dio ravnine omeđen poligonom.
Dva vrha mnogokuta koji su krajevi iste stranice nazivamo susjedima. Vrhovi koji nisu krajevi jedne stranice su nesusjedni.
Mnogokut s n vrhova i prema tome n stranica naziva se n-kut.
Iako je najmanji broj strana poligona 3. Ali trokuti, povezujući se jedni s drugima, mogu oblikovati druge oblike, koji su pak također poligoni.
Segmenti koji povezuju nesusjedne vrhove poligona nazivaju se dijagonalama.
Mnogokut se naziva konveksnim ako leži u jednoj poluravnini u odnosu na bilo koji pravac koji sadrži njegovu stranicu. U tom slučaju se smatra da pravac pripada poluravnini.
Kut konveksnog mnogokuta pri danom vrhu je kut koji čine njegove stranice koje konvergiraju u tom vrhu.
Dokažimo teorem (o zbroju kutova konveksnog n-kuta): Zbroj kutova konveksnog n-kuta jednak je 180 0 *(n - 2).
Dokaz. U slučaju n=3 teorem vrijedi. Neka je A 1 A 2 …A n zadani konveksni poligon i n>3. Povucimo dijagonale u njemu (iz jednog vrha). Budući da je mnogokut konveksan, te ga dijagonale dijele na n - 2 trokuta. Zbroj kutova mnogokuta jednak je zbroju kutova svih ovih trokuta. Zbroj kutova svakog trokuta je 180 0, a broj tih trokuta je n - 2. Prema tome, zbroj kutova konveksnog n - kuta A 1 A 2 ... A n je 180 0 * ( n - 2). Teorem je dokazan.
Vanjski kut konveksnog mnogokuta na danom vrhu je kut koji je susjedan unutarnjem kutu mnogokuta na tom vrhu.
Konveksni mnogokut naziva se pravilnim ako su mu sve stranice jednake i svi kutovi jednaki.
Dakle, kvadrat se može nazvati drugačije - pravilan četverokut. Jednakostranični trokuti također su pravilni. Takve su figure dugo zanimale majstore koji su ukrašavali zgrade. Napravili su lijepe šare, primjerice, na parketu. Ali ne mogu se svi pravilni poligoni koristiti za oblikovanje parketa. Parket se ne može oblikovati od pravilnih osmerokuta. Činjenica je da imaju svaki kut jednak 135 0. A ako je bilo koja točka vrh dvaju takvih osmerokuta, tada će imati 270 0, a treći osmerokut nema gdje stati: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Ali dovoljno za kvadrat. Stoga je moguće složiti parket od pravilnih osmerokuta i kvadrata.
Zvijezde su točne. Naša petokraka zvijezda je pravilna peterokutna zvijezda. A ako zarotirate kvadrat oko središta za 45 0, dobit ćete pravilnu osmerokutnu zvijezdu.
1 grupa
Što je isprekidana linija? Objasnite što su vrhovi i karike polilinije.
Koja se izlomljena crta naziva jednostavnom?
Koja se izlomljena linija naziva zatvorenom?
Što je poligon? Kako se zovu vrhovi poligona? Koje su stranice mnogokuta?
2 grupa
Što je ravni poligon? Navedite primjere poligona.
Što je n-gon?
Objasnite koji su vrhovi mnogokuta susjedni, a koji nisu.
Što je dijagonala mnogokuta?
3 grupa
Što je konveksni poligon?
Objasnite koji su kutovi mnogokuta vanjski, a koji unutarnji?
Što je pravilan poligon? Navedite primjere pravilnih mnogokuta.
4 grupa
Koliki je zbroj kutova konveksnog n-kuta? Dokaži.
Učenici rade s tekstom, traže odgovore na postavljena pitanja, nakon čega se formiraju stručne skupine u kojima se radi na istim temama: učenici izdvajaju glavno, sastavljaju popratni sažetak, iznose podatke u jednom od grafičke forme. Po završetku rada učenici se vraćaju u svoje radne skupine.
3. Faza refleksije -
a) procjena njihovog znanja, izazov na sljedeći korak znanja;
b) razumijevanje i prisvajanje primljenih informacija.
Recepcija: istraživački rad.
Oblici rada: individualni->par->grupni.
Radne skupine su stručnjaci za odgovore na svaki od odjeljaka predloženih pitanja.
Vraćajući se u radnu skupinu, stručnjak upoznaje ostale članove skupine s odgovorima na njihova pitanja. U skupini se razmjenjuju informacije svih članova radne skupine. Tako se u svakoj radnoj skupini, zahvaljujući radu stručnjaka, formira opća ideja o temi koja se proučava.
Istraživački rad učenika – popunjavanje tablice.
Pravilni poligoni | Crtanje | Broj strana | Broj vrhova | Zbroj svih unutarnjih kutova | Mjera za stupanj int. kut | Mjera stupnja vanjskog kuta | Broj dijagonala |
A) trokut | |||||||
B) četverokut | |||||||
B) peterozidni | |||||||
D) šesterokut | |||||||
E) n-kut |
Rješavanje zanimljivih problema na temu lekcije.
- U četverokutu nacrtajte crtu tako da ga dijeli na tri trokuta.
- Koliko stranica ima pravilan mnogokut čiji je svaki unutarnji kut jednak 135 0 ?
- U određenom mnogokutu svi unutarnji kutovi su međusobno jednaki. Može li zbroj unutarnjih kutova tog mnogokuta biti: 360 0 , 380 0 ?
Sažimanje lekcije. Snimanje domaće zadaće.
Trokut, kvadrat, šesterokut - ove figure su poznate gotovo svima. Ali ne znaju svi što je pravilan poligon. Ali to je svejedno. Pravilan poligon naziva se onaj koji ima jednake kutove i stranice. Ima puno takvih figura, ali sve imaju ista svojstva i za njih vrijede iste formule.
Svojstva pravilnih mnogokuta
Svaki pravilan mnogokut, bio on kvadrat ili osmerokut, može se upisati u krug. Ovo osnovno svojstvo često se koristi pri konstrukciji figure. Osim toga, krug se također može upisati u poligon. U tom će slučaju broj dodirnih točaka biti jednak broju njegovih strana. Važno je da će kružnica upisana u pravilan mnogokut s njim imati zajedničko središte. Ove geometrijske figure podliježu istim teoremima. Bilo koja stranica pravilnog n-kuta pridružena je polumjeru R opisane kružnice oko njega. Stoga se može izračunati pomoću sljedeće formule: a = 2R ∙ sin180°. Kroz možete pronaći ne samo strane, već i opseg poligona.
Kako pronaći broj stranica pravilnog mnogokuta
Svaki se sastoji od određenog broja segmenata koji su međusobno jednaki, koji, kada su povezani, tvore zatvorenu liniju. U ovom slučaju svi uglovi formirane figure imaju istu vrijednost. Poligoni se dijele na jednostavne i složene. U prvu skupinu spadaju trokut i kvadrat. Složeni poligoni imaju više stranica. Također uključuju figure u obliku zvijezda. Za složene pravilne poligone stranice se nalaze tako da se upisuju u krug. Dajmo dokaz. Nacrtaj pravilan mnogokut s proizvoljnim brojem stranica n. Opišite krug oko njega. Odredite radijus R. Sada zamislite da je zadan neki n-kut. Ako točke njegovih kutova leže na kružnici i međusobno su jednake, tada se stranice mogu pronaći po formuli: a = 2R ∙ sinα: 2.
Određivanje broja stranica upisanog pravokutnog trokuta
Jednakostranični trokut je pravilan mnogokut. Za njega vrijede iste formule kao za kvadrat i n-kut. Trokut će se smatrati točnim ako ima iste duljine stranica. U ovom slučaju, kutovi su 60⁰. Konstruirajte trokut sa zadanom duljinom stranice a. Znajući njegov medijan i visinu, možete pronaći vrijednost njegovih strana. Da bismo to učinili, koristit ćemo metodu pronalaženja kroz formulu a \u003d x: cosα, gdje je x medijan ili visina. Kako su sve stranice trokuta jednake, dobivamo a = b = c. Tada vrijedi tvrdnja: a = b = c = x: cosα. Slično, možete pronaći vrijednost stranica u jednakokračnom trokutu, ali x će biti zadana visina. Istodobno, treba ga projicirati strogo na temelju figure. Dakle, znajući visinu x, nalazimo stranu a jednakokračnog trokuta pomoću formule a \u003d b \u003d x: cosα. Nakon pronalaženja vrijednosti a, možete izračunati duljinu baze c. Primijenimo Pitagorin teorem. Tražit ćemo vrijednost polovice baze c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Tada je c = 2xtanα. Na tako jednostavan način možete pronaći broj stranica bilo kojeg upisanog mnogokuta.
Izračunavanje stranica kvadrata upisanog u krug
Kao i svaki drugi upisani pravilni mnogokut, kvadrat ima jednake stranice i kutove. Za njega vrijede iste formule kao i za trokut. Stranice kvadrata možete izračunati pomoću vrijednosti dijagonale. Razmotrimo ovu metodu detaljnije. Poznato je da dijagonala raspolavlja kut. U početku je njegova vrijednost bila 90 stupnjeva. Tako se nakon dijeljenja formiraju dva čiji će kutovi pri bazi biti jednaki 45 stupnjeva. Prema tome, svaka stranica kvadrata bit će jednaka, to jest: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, gdje je e dijagonala kvadrata ili baza pravokutni trokut nastao nakon dijeljenja. Ovo nije jedini način za pronalaženje stranica kvadrata. Upišimo ovu figuru u krug. Poznavajući radijus ove kružnice R, nalazimo stranicu kvadrata. Izračunat ćemo ga na sljedeći način a4 = R√2. Polumjeri pravilnih poligona izračunavaju se formulom R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), gdje je a duljina stranice.
Kako izračunati opseg n-kuta
Opseg n-kuta je zbroj svih njegovih stranica. Lako ga je izračunati. Da biste to učinili, morate znati vrijednosti svih strana. Za neke vrste poligona postoje posebne formule. Omogućuju vam da mnogo brže pronađete perimetar. Poznato je da svaki pravilan mnogokut ima jednake stranice. Stoga, da bi se izračunao njegov opseg, dovoljno je znati barem jedan od njih. Formula će ovisiti o broju strana figure. Općenito, to izgleda ovako: P \u003d an, gdje je a vrijednost strane, a n broj kutova. Na primjer, da biste pronašli opseg pravilnog osmerokuta sa stranom od 3 cm, morate ga pomnožiti s 8, odnosno P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Za šesterokut sa stranom od 5 cm izračunavamo kako slijedi: P = 5 ∙ 6 = 30 cm.I tako za svaki poligon.
Određivanje opsega paralelograma, kvadrata i romba
Ovisno o tome koliko stranica ima pravilan mnogokut, izračunava se njegov opseg. To uvelike olakšava zadatak. Dapače, za razliku od drugih figura, u ovom slučaju nije potrebno tražiti sve njegove strane, dovoljna je samo jedna. Po istom principu nalazimo opseg četverokuta, odnosno kvadrata i romba. Unatoč činjenici da su to različite figure, formula za njih je ista P = 4a, gdje je a strana. Uzmimo primjer. Ako je stranica romba ili kvadrata 6 cm, tada perimetar nalazimo na sljedeći način: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Paralelogram ima samo suprotne strane. Stoga se njegov opseg pronalazi drugom metodom. Dakle, moramo znati duljinu a i širinu b figure. Zatim primijenimo formulu P \u003d (a + c) ∙ 2. Paralelogram, u kojem su sve strane i kutovi između njih jednaki, naziva se romb.
Određivanje opsega jednakostraničnog i pravokutnog trokuta
Perimetar ispravnog može se pronaći formulom P \u003d 3a, gdje je a duljina stranice. Ako je nepoznat, može se pronaći kroz medijan. U pravokutnom trokutu samo su dvije stranice jednake. Osnova se može pronaći kroz Pitagorin teorem. Nakon što su poznate vrijednosti sve tri strane, izračunavamo opseg. Može se pronaći primjenom formule P \u003d a + b + c, gdje su a i b jednake strane, a c je baza. Podsjetimo se da je u jednakokračnom trokutu a \u003d b \u003d a, dakle, a + b \u003d 2a, tada P \u003d 2a + c. Na primjer, stranica jednakokračnog trokuta je 4 cm, pronađite njegovu osnovicu i opseg. Izračunavamo vrijednost hipotenuze prema Pitagorinom teoremu c = √a 2 + in 2 = √16 + 16 = √32 = 5,65 cm. Sada izračunavamo opseg P = 2 ∙ 4 + 5,65 \ u003d 13,65 cm.
Kako pronaći kutove pravilnog mnogokuta
Pravilan mnogokut pojavljuje se u našim životima svaki dan, na primjer, obični kvadrat, trokut, osmerokut. Čini se da nema ništa lakše nego sami izgraditi ovu figuru. Ali ovo je samo na prvi pogled. Da biste konstruirali bilo koji n-kut, morate znati vrijednost njegovih kutova. Ali kako ih pronaći? Čak su i znanstvenici antike pokušali izgraditi pravilne poligone. Pogodili su da ih smjeste u krugove. A zatim su na njemu označene potrebne točke, povezane ravnim linijama. Za jednostavne figure problem konstrukcije je riješen. Dobivene su formule i teoremi. Na primjer, Euklid se u svom poznatom djelu "Početak" bavio rješavanjem problema za 3-, 4-, 5-, 6- i 15-gone. Pronašao je načine kako ih konstruirati i pronaći kutove. Pogledajmo kako to učiniti za 15-gon. Prvo morate izračunati zbroj njegovih unutarnjih kutova. Potrebno je koristiti formulu S = 180⁰(n-2). Dakle, dan nam je 15-kut, što znači da je broj n 15. Podatke koje znamo zamijenimo formulom i dobijemo S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Pronašli smo zbroj svih unutarnjih kutova petnaesterokuta. Sada moramo dobiti vrijednost svakog od njih. Kutova je ukupno 15. Izračunavamo 2340⁰: 15 = 156⁰. To znači da je svaki unutarnji kut 156⁰, a sada pomoću ravnala i šestara možete sastaviti pravilan 15-kut. Ali što je sa složenijim n-kutima? Stoljećima su se znanstvenici borili da riješe ovaj problem. Pronašao ga je tek u 18. stoljeću Carl Friedrich Gauss. Uspio je sagraditi 65537-gon. Od tada se problem službeno smatra potpuno riješenim.
Izračunavanje kutova n-kuta u radijanima
Naravno, postoji nekoliko načina za pronalaženje kutova poligona. Najčešće se izračunavaju u stupnjevima. Ali možete ih također izraziti u radijanima. Kako to učiniti? Potrebno je postupiti na sljedeći način. Prvo saznamo broj strana pravilnog mnogokuta, a zatim od njega oduzmemo 2. Dakle, dobijemo vrijednost: n - 2. Pronađenu razliku pomnožimo s brojem n ("pi" \u003d 3,14). Sada ostaje samo podijeliti dobiveni proizvod s brojem kutova u n-kutu. Razmotrite ove izračune na primjeru istog petnaestostranog. Dakle, broj n je 15. Primijenimo formulu S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Ovo naravno nije jedini način za izračunavanje kuta u radijanima. Možete jednostavno podijeliti veličinu kuta u stupnjevima s brojem 57,3. Uostalom, toliko stupnjeva je ekvivalentno jednom radijanu.
Izračunavanje vrijednosti kutova u stupnjevima
Osim u stupnjevima i radijanima, možete pokušati pronaći vrijednost kutova pravilnog mnogokuta u gradusima. To se radi na sljedeći način. Od ukupnog broja kutova oduzmite 2, a dobivenu razliku podijelite s brojem stranica pravilnog mnogokuta. Pronađeni rezultat množimo s 200. Usput, takva jedinica mjerenja kutova kao stupnjevi praktički se ne koristi.
Izračunavanje vanjskih kutova n-kuta
Za svaki pravilan mnogokut, osim unutarnjeg, možete izračunati i vanjski kut. Njegova se vrijednost nalazi na isti način kao i za druge figure. Dakle, da biste pronašli vanjski kut pravilnog poligona, morate znati vrijednost unutarnjeg. Nadalje, znamo da je zbroj ova dva kuta uvijek 180 stupnjeva. Stoga izračune radimo na sljedeći način: 180⁰ minus vrijednost unutarnjeg kuta. Nalazimo razliku. Bit će jednaka vrijednosti kuta koji je uz njega. Na primjer, unutarnji kut kvadrata je 90 stupnjeva, tako da će vanjski kut biti 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Kao što vidimo, nije ga teško pronaći. Vanjski kut može imati vrijednost od +180⁰ do -180⁰.
Poligon je geometrijski lik koji je sa svih strana omeđen zatvorenom izlomljenom linijom. U ovom slučaju, broj veza polilinije ne smije biti manji od tri. Svaki par segmenata polilinije ima zajedničku točku i tvori kutove. Broj uglova, zajedno s brojem segmenata polilinije, glavne su karakteristike poligona. U svakom poligonu, broj veza granične zatvorene polilinije jednak je broju uglova.
Strane u geometriji obično se nazivaju poveznicama polilinije koja ograničava geometrijski objekt. Vrhovi su dodirne točke između dviju susjednih stranica., po čijem broju poligoni dobivaju imena.
Ako se zatvorena izlomljena crta sastoji od tri segmenta, naziva se trokut; redom, od četiri segmenta - četverokut, od pet - peterokut, itd.
Za označavanje trokuta ili četverokuta koristite velika latinična slova koja označavaju njegove vrhove. Slova se nazivaju redom - u smjeru kazaljke na satu ili u suprotnom smjeru.
Osnovni koncepti
Pri opisivanju definicije poligona treba uzeti u obzir neke srodne geometrijske pojmove:
- Ako su vrhovi krajevi iste stranice, nazivaju se susjedi.
- Ako odsječak povezuje nesusjedne vrhove, tada se naziva dijagonala. Trokut ne može imati dijagonale.
- Unutarnji kut je kut na jednom od vrhova koji se sastoji od njegovih dviju stranica koje se spajaju u toj točki. Uvijek se nalazi u unutarnjem području geometrijske figure. Ako poligon nije konveksan, njegova veličina može premašiti 180 stupnjeva.
- Vanjski kut pri određenom vrhu je kut koji graniči s unutarnjim kutom pri njemu. Drugim riječima, vanjski kut se može smatrati razlikom između 180° i vrijednosti unutarnjeg kuta.
- Zbroj vrijednosti svih segmenata naziva se perimetar.
- Ako su sve stranice i svi kutovi jednaki, naziva se pravilnim. Ispravni mogu biti samo konveksni.
Kao što je gore spomenuto, nazivi poligonalnih geometrija temelje se na broju vrhova. Ako ih figura ima n, naziva se n-gon:
- Poligon se naziva ravnim ako ograničava konačni dio ravnine. Ovaj geometrijski lik može biti upisan u krug ili opisan oko njega.
- N-kut se naziva konveksnim ako ispunjava jedan od dolje navedenih uvjeta.
- Figura se nalazi s jedne strane ravne linije koja povezuje dva susjedna vrha.
- Ova figura služi kao zajednički dio ili sjecište više poluravnina.
- Dijagonale se nalaze unutar poligona.
- Ako se krajevi segmenta nalaze u točkama koje pripadaju poligonu, cijeli segment mu pripada.
- Lik se može nazvati pravilnim ako su svi njegovi segmenti i svi kutovi jednaki. Primjeri su kvadrat, jednakostranični trokut ili pravilan peterokut.
- Ako n-kut nije konveksan, sve su mu stranice i kutovi jednaki, a vrhovi se podudaraju s vrhovima pravilnog n-kuta, naziva se zvjezdastim. Takve figure mogu imati samosjecišta. Primjer bi bio pentagram ili heksagram.
- Kaže se da je trokut ili četverokut upisan u krug kada se svi njegovi vrhovi nalaze unutar istog kruga. Ako stranice ove figure imaju dodirne točke s kružnicom, to je mnogokut opisan oko neke kružnice.
Bilo koje konveksni n-kut možemo podijeliti na trokute. U ovom slučaju broj trokuta je za 2 manji od broja stranica.
Vrste figura
To je mnogokut s tri vrha i tri odsječka koji ih povezuju. U ovom slučaju spojne točke segmenata ne leže na jednoj ravnoj liniji.
Spojne točke segmenata su vrhovi trokuta. Sami segmenti nazivaju se stranicama trokuta. Ukupni zbroj unutarnjih kutova svakog trokuta je 180°.
Prema omjerima stranica, svi se trokuti mogu podijeliti u nekoliko vrsta:
- jednakostraničan- kod kojih je duljina svih segmenata jednaka.
- jednakokračan Trokuti koji imaju dva od tri jednaka segmenta.
- Svestran- ako je duljina svih segmenata različita.
Osim toga, uobičajeno je razlikovati sljedeće trokute:
- Oštrokutni.
- Pravokutan.
- tupi.
četverokut
Četverokut je ravna figura koja ima 4 vrha i 4 segmenta koji ih serijski povezuju.
- Ako su svi kutovi četverokuta pravi kutovi, lik se naziva pravokutnik.
- Pravokutnik kojemu su sve stranice jednake veličine naziva se kvadrat.
- Četverokut kojemu su sve stranice jednake naziva se romb.
Tri vrha četverokuta ne mogu ležati na istoj ravnici.
Video
Više informacija o poligonima možete pronaći u ovom videu.
U ovoj lekciji ćemo započeti novu temu i predstaviti novi koncept za nas - "poligon". Razmotrit ćemo osnovne pojmove povezane s poligonima: stranice, vrhovi, kutovi, konveksnost i nekonveksnost. Zatim ćemo dokazati najvažnije činjenice, kao što su teorem o zbroju unutarnjih kutova mnogokuta, teorem o zbroju vanjskih kutova mnogokuta. Kao rezultat toga, približit ćemo se proučavanju posebnih slučajeva poligona, što ćemo razmotriti u budućim lekcijama.
Tema: Četverokuti
Lekcija: Poligoni
U tijeku geometrije proučavamo svojstva geometrijskih oblika i već smo razmotrili najjednostavnije od njih: trokute i krugove. Istodobno smo također raspravljali o posebnim posebnim slučajevima ovih figura, kao što su pravokutni, jednakokračni i pravilni trokuti. Sada je vrijeme da razgovaramo o općenitijim i složenijim oblicima - poligoni.
S posebnim slučajem poligoni već smo upoznati - ovo je trokut (vidi sliku 1).
Riža. 1. Trokut
Već sam naziv naglašava da se radi o liku koji ima tri ugla. Stoga, u poligon može ih biti mnogo, tj. više od tri. Na primjer, nacrtajmo peterokut (vidi sl. 2), tj. lik s pet kutova.
Riža. 2. Peterokut. Konveksni poligon
Definicija.Poligon- lik koji se sastoji od nekoliko točaka (više od dvije) i odgovarajućeg broja segmenata koji ih povezuju u nizu. Te se točke nazivaju vrhovi poligon i segmenti - stranke. U tom slučaju nijedna susjedna stranica ne leži na istoj pravoj liniji niti se dvije nesusjedne stranice sijeku.
Definicija.pravilan poligon je konveksni mnogokut u kojem su sve stranice i kutovi jednaki.
Bilo koje poligon dijeli ravninu na dvije regije: unutarnju i vanjsku. Interijer se također naziva poligon.
Drugim riječima, na primjer, kada se govori o peterokutu, misli se i na cijeli njegov unutarnji dio i na njegovu granicu. A unutarnje područje također uključuje sve točke koje leže unutar poligona, tj. točka također pripada peterokutu (vidi sliku 2).
Poligoni se ponekad nazivaju i n-kuti kako bi se naglasilo da se razmatra opći slučaj nepoznatog broja uglova (n komada).
Definicija. Opseg poligona je zbroj duljina stranica mnogokuta.
Sada se trebamo upoznati s vrstama poligona. Dijele se na konveksan i nekonveksan. Na primjer, poligon prikazan na Sl. 2 je konveksan, a na Sl. 3 nekonveksna.
Riža. 3. Nekonveksni poligon
Definicija 1. Poligon nazvao konveksan, ako pri povlačenju ravne crte kroz bilo koju njegovu stranicu, cijeli poligon leži samo s jedne strane ove linije. nekonveksan su svi ostali poligoni.
Lako je zamisliti da kada produžite bilo koju stranicu peterokuta na Sl. 2 sve će biti s jedne strane ove ravne crte, tj. on je konveksan. Ali kada crtate ravnu crtu kroz četverokut na sl. 3 već vidimo da ga dijeli na dva dijela, t j . on je nekonveksan.
Ali postoji još jedna definicija konveksnosti poligona.
Definicija 2. Poligon nazvao konveksan ako su pri izboru bilo koje dvije njegove unutarnje točke i njihovom povezivanju segmentom sve točke segmenta ujedno i unutarnje točke poligona.
Demonstracija korištenja ove definicije može se vidjeti na primjeru konstruiranja segmenata na sl. 2 i 3.
Definicija. Dijagonalno Poligon je svaki segment koji spaja dva nesusjedna vrha.
Za opisivanje svojstava poligona postoje dva najvažnija teoreme o njihovim kutovima: konveksni mnogokut teorem o zbroju unutarnjih kutova i konveksni poligon vanjski kut teorem o zbroju. Razmotrimo ih.
Teorema. O zbroju unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta (n-gon).
Gdje je broj njegovih kutova (stranica).
Dokaz 1. Prikažimo na sl. 4 konveksni n-kut.
Riža. 4. Konveksni n-kut
Povuci sve moguće dijagonale iz vrha. Dijele n-kut na trokute, jer svaka od stranica poligona tvori trokut, osim stranica koje graniče s vrhom. Sa slike je lako vidjeti da će zbroj kutova svih ovih trokuta biti jednak zbroju unutarnjih kutova n-kuta. Budući da je zbroj kutova bilo kojeg trokuta , tada je zbroj unutarnjih kutova n-kuta:
Q.E.D.
Dokaz 2. Moguć je i drugi dokaz ovog teorema. Nacrtajmo sličan n-kut na sl. 5 i spoji bilo koju njegovu unutarnju točku sa svim vrhovima.
Riža. 5.
Dobili smo particiju n-kuta na n trokuta (koliko stranica, toliko trokuta). Zbroj svih njihovih kutova jednak je zbroju unutarnjih kutova mnogokuta i zbroju kutova u unutarnjoj točki, a to je kut. Imamo:
Q.E.D.
dokazano.
Prema dokazanom teoremu vidljivo je da zbroj kutova n-kuta ovisi o broju njegovih stranica (na n). Na primjer, u trokutu, a zbroj kutova je . U četverokutu, a zbroj uglova - itd.
Teorema. O zbroju vanjskih kutova konveksnog mnogokuta (n-gon).
Gdje je broj njegovih kutova (stranica), a , ..., su vanjski kutovi.
Dokaz. Nacrtajmo konveksni n-kut na sl. 6 i označite njegove unutarnje i vanjske kutove.
Riža. 6. Konveksni n-kut s označenim vanjskim kutovima
Jer vanjski kut je spojen s unutarnjim kao susjedni, zatim a slično i za ostale vanjske kutove. Zatim:
Prilikom transformacija koristili smo već dokazani teorem o zbroju unutarnjih kutova n-kuta.
dokazano.
Iz dokazanog teorema slijedi zanimljiva činjenica da je zbroj vanjskih kutova konveksnog n-kuta jednak na broj njegovih kutova (stranica). Usput, za razliku od zbroja unutarnjih kutova.
Bibliografija
- Aleksandrov A.D. itd. Geometrija 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolov V.V. Geometrija, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija, 8. razred. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com().
Domaća zadaća