"Sokszögek. A sokszögek típusai" lecke a "Kritikai gondolkodás fejlesztése olvasáson és íráson keresztül" technológián belül.
Sokszög tulajdonságai
A sokszög egy geometriai alakzat, amelyet általában zárt vonalláncként határoznak meg önmetszéspontok nélkül (egy egyszerű sokszög (1a. ábra)), de néha megengedettek az önmetszéspontok (akkor a sokszög nem egyszerű).
A vonallánc csúcsait a sokszög csúcsainak, a szakaszait pedig a sokszög oldalainak nevezzük. Egy sokszög csúcsait szomszédoknak nevezzük, ha azok valamelyik oldalának végei. A sokszög nem szomszédos csúcsait összekötő vonalszakaszokat átlóknak nevezzük.
Egy konvex sokszög adott csúcsban lévő szöge (vagy belső szöge) az a szög, amelyet az oldalai ebben a csúcsban konvergálnak, és a szöget a sokszög oldaláról tekintjük. A szög különösen meghaladhatja a 180°-ot, ha a sokszög nem konvex.
Egy konvex sokszög külső szöge egy adott csúcsban az a szög, amely szomszédos a sokszögnek az adott csúcsban lévő belső szögével. Általában a külső szög a 180° és a belső szög különbsége. A -gon minden csúcsából > 3 esetén - 3 átló van, tehát a -gon átlóinak teljes száma egyenlő.
A három csúcsú sokszöget háromszögnek, négyből négyszögnek, öttel ötszögnek és így tovább.
Sokszög -val n csúcsokat nevezik n- négyzet.
A lapos sokszög olyan alakzat, amely egy sokszögből és az általa határolt terület véges részéből áll.
Egy sokszöget konvexnek nevezünk, ha az alábbi (egyenértékű) feltételek egyike teljesül:
- 1. a szomszédos csúcsait összekötő bármely egyenes egyik oldalán fekszik. (azaz egy sokszög oldalainak kiterjesztései nem metszik a többi oldalát);
- 2. több félsík metszéspontja (azaz közös része);
- 3. minden szakasz, amelynek vége a sokszöghez tartozó pontokban van, teljes egészében ahhoz tartozik.
Egy konvex sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala egyenlő, és minden szög egyenlő, például egy egyenlő oldalú háromszög, négyzet és ötszög.
Egy konvex sokszögről azt mondjuk, hogy egy körre van írva, ha minden oldala érinti valamelyik kört
A szabályos sokszög olyan sokszög, amelyben minden szög és oldal egyenlő.
A sokszög tulajdonságai:
1 Egy konvex -szög minden átlója, ahol >3, két konvex sokszögre bontja.
2 Egy konvex -gon összes szögének összege egyenlő.
D-in: Bizonyítsuk be a tételt a matematikai indukció módszerével. = 3 esetén ez nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy a tétel igaz egy -gonra, ahol <, és bizonyítsa be -gon.
Legyen egy adott sokszög. Rajzolja meg ennek a sokszögnek az átlóját. A 3. tétel szerint a sokszöget háromszögre és konvex -szögre bontjuk (5. ábra). Az indukciós hipotézis szerint. Másrészről, . Ezeket az egyenlőségeket összeadva és figyelembe véve azt (- belső sugárszög ) és (- belső sugárszög ), kapunk. Amikor megkapjuk: .
3 Bármely szabályos sokszögről le lehet írni egy kört, ráadásul csak egyet.
D-be: Legyen egy szabályos sokszög, és a és szögek felezői (150. ábra). Mivel tehát * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O. Bizonyítsuk be O = OA 2 = O =… = OA P . Háromszög O egyenlő szárúak tehát O= O. A háromszögek egyenlőségének második kritériuma szerint tehát O = O. Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy O = O stb. Szóval a lényeg O egyenlő távolságra van a sokszög minden csúcsától, tehát a kör középpontjával O sugár O egy sokszög körül van körülírva.
Most bizonyítsuk be, hogy csak egy körülírt kör létezik. Vegyünk például egy sokszög három csúcsát, DE 2 , . Mivel ezeken a pontokon csak egy kör halad át, akkor a sokszögről … Egynél több kört nem írhatsz le.
- 4 Bármely szabályos sokszögbe beírhat egy kört, és ráadásul csak egyet.
- 5 Egy szabályos sokszögbe írt kör érinti a sokszög oldalait azok felezőpontjában.
- 6 A szabályos sokszöget körülvevő kör középpontja egybeesik az ugyanabba a sokszögbe írt kör középpontjával.
- 7 Szimmetria:
Egy figurát szimmetrikusnak (szimmetrikusnak) nevezünk, ha van olyan mozgás (nem azonos), amely ezt az alakot önmagává alakítja.
- 7.1. Az általános háromszögnek nincs tengelye vagy szimmetriaközéppontja, nem szimmetrikus. Egy egyenlő szárú (de nem egyenlő oldalú) háromszögnek egy szimmetriatengelye van: az alapra merőleges felező.
- 7.2. Egy egyenlő oldalú háromszögnek három szimmetriatengelye (az oldalakra merőleges felezők) és a középpont körüli forgásszimmetriája van, 120°-os elforgatási szöggel.
7.3 Minden szabályos n-szögnek n szimmetriatengelye van, amelyek mindegyike átmegy a középpontján. A középpont körül forgásszimmetriával is rendelkezik elforgatási szöggel.
Még n egyes szimmetriatengelyek ellentétes csúcsokon, mások ellentétes oldalak felezőpontjain haladnak át.
Különösnek n minden tengely áthalad a szemközti oldal csúcsán és felezőpontján.
A páros oldalszámú szabályos sokszög középpontja a szimmetriaközéppontja. A páratlan oldalszámú szabályos sokszögnek nincs szimmetriaközéppontja.
8 Hasonlóság:
Hasonlósággal, és a -gon -gonba megy, félsíkba - félsíkba, ezért konvex n-gon domborúvá válik n-gon.
Tétel: Ha a konvex sokszögek oldalai és szögei teljesítik az egyenlőségeket:
hol van a dobogós együttható
akkor ezek a sokszögek hasonlóak.
- 8.1 Két hasonló sokszög kerületének aránya megegyezik a hasonlósági együtthatóval.
- 8.2. Két konvex hasonló sokszög területének aránya megegyezik a hasonlósági együttható négyzetével.
sokszög háromszög kerületi tétel
Szakaszok: Matematika
Tantárgy, tanulók életkora: geometria, 9. évfolyam
Az óra célja: sokszögtípusok tanulmányozása.
Tanulási feladat: a tanulók sokszögekkel kapcsolatos ismereteinek frissítése, bővítése, általánosítása; elképzelést alkotnak egy sokszög „összetevőiről”; tanulmányozza a szabályos sokszögek alkotóelemeinek számát (háromszögtől n-szögig);
Fejlesztő feladat: az elemzési, összehasonlítási, következtetési képesség fejlesztése, a számítási készség, a szóbeli és írásbeli matematikai beszéd, a memória fejlesztése, valamint a gondolkodási és tanulási tevékenységben való önállóság, a páros és csoportos munkavégzés képessége; kutatási és oktatási tevékenységek fejlesztése;
Nevelési feladat: önállóságra, aktivitásra, a kijelölt feladat iránti felelősségre, a cél elérésében való kitartásra nevelés.
Az órák alatt: egy idézet van felírva a táblára
"A természet a matematika nyelvén beszél, ennek a nyelvnek a betűi... matematikai figurák." G. Gallilei
Az óra elején az osztály munkacsoportokra oszlik (esetünkben 4 fős csoportokra oszlik - a csoporttagok száma megegyezik a kérdéscsoportok számával).
1. Hívás szakasz-
Célok:
a) a tanulók ismereteinek frissítése a témában;
b) az érdeklődés felkeltése a vizsgált téma iránt, az egyes tanulók motivációja a tanulási tevékenységek iránt.
Recepció: A "Hiszed, hogy ..." játék, szöveges munka megszervezése.
Munkaformák: frontális, csoportos.
– Elhiszed, hogy…
1. ... a "sokszög" szó azt jelzi, hogy ennek a családnak minden alakjának "sok sarka" van?
2. … a háromszög sokszögek nagy családjába tartozik, amelyek a síkon sok különböző geometriai alakzat között különböznek egymástól?
3. …egy négyzet szabályos nyolcszög (négy oldal + négy sarok)?
Ma a leckében a sokszögekről fogunk beszélni. Megtudjuk, hogy ezt az ábrát egy zárt szaggatott vonal határolja, ami viszont lehet egyszerű, zárt. Beszéljünk arról, hogy a sokszögek laposak, szabályosak, konvexek. Az egyik lapos sokszög egy olyan háromszög, amelyet régóta ismersz (sokszögeket, szaggatott vonalat ábrázoló posztereket mutathatsz a tanulóknak, bemutathatod azok különböző típusait, használhatod a TCO-t is).
2. A megértés szakasza
Cél: új információ megszerzése, megértése, szelekciója.
Fogadás: cikk-cakk.
Munkaformák: egyéni->pár->csoportos.
Minden csoport kap egy szöveget az óra témájában, és a szöveget úgy alakítjuk ki, hogy a tanulók számára már ismert és teljesen új információkat egyaránt tartalmazzon. A szöveggel együtt kérdéseket kapnak a tanulók, amelyekre a válaszokat ebben a szövegben kell megtalálni.
Sokszögek. A sokszögek típusai.
Ki ne hallott volna a titokzatos Bermuda-háromszögről, ahol hajók és repülők tűnnek el nyomtalanul? De a gyermekkorunkból ismerős háromszög sok érdekes és titokzatos dologgal van tele.
Az általunk már ismert, oldalakkal (skálás, egyenlő szárú, egyenlő oldalú) és szögekkel (hegyesszögű, tompaszögű, derékszögű) tagolt háromszögtípusok mellett a háromszög a sokszögek nagy családjába tartozik, amelyek sokszögből különböznek. különböző geometriai formák a síkon.
A "sokszög" szó azt jelzi, hogy ennek a családnak minden figurájának "sok sarka" van. De ez nem elég az alak jellemzéséhez.
Az A 1 A 2 ... A n szaggatott vonal A 1, A 2, ... A n pontokból és az ezeket összekötő A 1 A 2, A 2 A 3, ... szakaszokból áll. A pontokat a vonallánc csúcsainak, a szakaszokat pedig a vonallánc hivatkozásainak nevezzük. (1. ábra)
A szaggatott vonalat egyszerűnek nevezzük, ha nincsenek önmetszéspontjai (2,3. ábra).
A szaggatott vonalat zártnak nevezzük, ha végei egybeesnek. A szaggatott vonal hossza a láncszemei hosszának összege (4. ábra).
Egy egyszerű zárt szaggatott vonalat sokszögnek nevezünk, ha szomszédos láncszemei nem ugyanazon az egyenesen fekszenek (5. ábra).
A „sokszög” szóban a „sok” rész helyett írjon be egy adott számot, például 3. Egy háromszöget kap. Vagy 5. Aztán - egy ötszög. Vegyük észre, hogy annyi szög van, ahány oldal, ezért ezeket az ábrákat többoldalúnak is nevezhetjük.
A vonallánc csúcsait a sokszög csúcsainak, a vonallánc linkjeit pedig a sokszög oldalainak nevezzük.
A sokszög két részre osztja a síkot: belső és külső (6. ábra).
A sík sokszög vagy sokszögterület egy sík véges része, amelyet egy sokszög határol.
Egy sokszög két csúcsát, amelyek ugyanazon oldal végei, szomszédoknak nevezzük. Azok a csúcsok, amelyek nem az egyik oldal végei, nem szomszédosak.
Az n csúcsú és ezért n oldalú sokszöget n-szögnek nevezzük.
Bár egy sokszögnek a legkisebb oldalszáma 3. De az egymással összekapcsolódó háromszögek más alakzatokat is alkothatnak, amelyek viszont szintén sokszögek.
A sokszög nem szomszédos csúcsait összekötő szakaszokat átlóknak nevezzük.
Egy sokszöget konvexnek nevezünk, ha az oldalát tartalmazó bármely egyeneshez képest egy félsíkban fekszik. Ebben az esetben magát az egyenest a félsíkhoz tartozónak tekintjük.
Egy konvex sokszög adott csúcson belüli szöge az a szög, amelyet az adott csúcsban összefutó oldalai alkotnak.
Bizonyítsuk be a tételt (konvex n-szög szögösszegére): Egy konvex n-szög szögeinek összege 180 0 *(n - 2).
Bizonyíték. n=3 esetben a tétel érvényes. Legyen А 1 А 2 …А n egy adott konvex sokszög és n>3. Rajzoljunk bele (egy csúcsból) átlókat. Mivel a sokszög konvex, ezek az átlók n - 2 háromszögre osztják. A sokszög szögeinek összege megegyezik ezen háromszögek szögeinek összegével. Minden háromszög szögeinek összege 180 0, és ezeknek a háromszögeknek a száma n - 2. Ezért egy konvex n - A 1 A 2 ... A n szögek összege 180 0 * ( n-2). A tétel bizonyítást nyert.
Egy konvex sokszög külső szöge egy adott csúcsban az a szög, amely szomszédos a sokszögnek az adott csúcsban lévő belső szögével.
Egy konvex sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala egyenlő és minden szög egyenlő.
Tehát a négyzetet másképp nevezhetjük - szabályos négyszögnek. Az egyenlő oldalú háromszögek is szabályosak. Az ilyen figurák régóta érdekelték az épületeket díszítő mestereket. Gyönyörű mintákat készítettek például a parkettára. De nem minden szabályos sokszög használható parketta kialakítására. Parketta nem alakítható szabályos nyolcszögből. A helyzet az, hogy mindegyik szögük 135 0. És ha bármelyik pont két ilyen nyolcszög csúcsa, akkor 270 0 lesz, és a harmadik nyolcszögnek nincs hova illeszkednie: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. De négyzetre elég. Ezért lehetséges a parkettát szabályos nyolcszögekből és négyzetekből hajtogatni.
A csillagoknak igazuk van. Ötágú csillagunk szabályos ötszögletű csillag. És ha a négyzetet a középpont körül 45 0-val elforgatod, egy szabályos nyolcszögletű csillagot kapsz.
1 csoport
Mi az a szaggatott vonal? Magyarázza el, melyek a vonallánc csúcsai és linkjei!
Melyik szaggatott vonalat nevezzük egyszerűnek?
Melyik szaggatott vonalat nevezzük zártnak?
Mi az a sokszög? Hogyan nevezzük egy sokszög csúcsait? Melyek a sokszög oldalai?
2 csoport
Mi az a lapos sokszög? Mondjon példákat sokszögekre!
Mi az az n-gon?
Magyarázza meg, hogy a sokszög mely csúcsai szomszédosak és melyek nem!
Mekkora egy sokszög átlója?
3 csoport
Mi az a konvex sokszög?
Magyarázza meg, hogy a sokszög mely sarkai külsőek és melyek belsőek?
Mi az a szabályos sokszög? Mondjon példákat szabályos sokszögekre!
4 csoport
Mennyi egy konvex n-szög szögeinek összege? Bizonyítsd be.
A tanulók dolgoznak a szöveggel, választ keresnek a feltett kérdésekre, majd szakértői csoportokat alakítanak ki, amelyekben ugyanazon a kérdéseken dolgoznak: a hallgatók kiemelik a lényeget, összeállítanak egy alátámasztó absztraktot, bemutatják az információkat az egyikben. grafikus formák. A munka végén a tanulók visszatérnek munkacsoportjukba.
3. Reflexiós szakasz -
a) tudásuk felmérése, kihívás a tudás következő fokára;
b) a kapott információ megértése és felhasználása.
Fogadás: kutatómunka.
Munkaformák: egyéni->pár->csoportos.
A munkacsoportok a javasolt kérdések egyes szakaszaira adott válaszok szakértői.
A munkacsoportra visszatérve a szakértő bemutatja a csoport többi tagját a kérdéseikre adott válaszokkal. A csoportban a munkacsoport minden tagja információcserét folytat. Így minden munkacsoportban a szakértők munkájának köszönhetően általános elképzelés alakul ki a vizsgált témáról.
Diákok kutatómunkája - táblázat kitöltése.
Szabályos sokszögek | Rajz | Oldalak száma | A csúcsok száma | Az összes belső szög összege | Fokozat mértéke int. szög | A külső szög fokmértéke | Az átlók száma |
A) háromszög | |||||||
B) négyszög | |||||||
B) ötfalas | |||||||
D) hatszög | |||||||
E) n-gon |
Érdekes feladatok megoldása az óra témájában.
- A négyszögbe húzz egy vonalat úgy, hogy az három háromszögre osztja.
- Hány oldala van egy szabályos sokszögnek, amelynek minden belső szöge 135 0 ?
- Egy bizonyos sokszögben minden belső szög egyenlő egymással. Lehet-e ennek a sokszögnek a belső szögeinek összege: 360 0 , 380 0 ?
Összegezve a tanulságot. Házi feladat rögzítése.
Háromszög, négyzet, hatszög - ezeket a figurákat szinte mindenki ismeri. De nem mindenki tudja, mi az a szabályos sokszög. De ez mindegy. Szabályos sokszögnek nevezzük azt, amelynek egyenlő szögei és oldalai vannak. Nagyon sok ilyen figura van, de mindegyiknek ugyanazok a tulajdonságai, és ugyanazok a képletek vonatkoznak rájuk.
Szabályos sokszögek tulajdonságai
Bármely szabályos sokszög, legyen az négyzet vagy nyolcszög, körbe írható. Ezt az alapvető tulajdonságot gyakran használják figurák készítésekor. Ezenkívül egy kört is be lehet írni egy sokszögbe. Ebben az esetben az érintkezési pontok száma megegyezik az oldalak számával. Fontos, hogy egy szabályos sokszögbe írt körnek közös középpontja legyen vele. Ezekre a geometriai alakzatokra ugyanazok a tételek vonatkoznak. A szabályos n-szög bármely oldala hozzá van rendelve a körülírt kör R sugarához, ezért a következő képlettel számítható ki: a = 2R ∙ sin180°. A sokszögnek nemcsak az oldalait, hanem a kerületét is megtalálhatja.
Hogyan találjuk meg egy szabályos sokszög oldalainak számát
Bármelyik egy bizonyos számú, egymással egyenlő szegmensből áll, amelyek összekapcsolva zárt vonalat alkotnak. Ebben az esetben a kialakított ábra összes sarka azonos értékű. A sokszögeket egyszerűre és összetettre osztják. Az első csoportba egy háromszög és egy négyzet tartozik. Az összetett sokszögeknek több oldala van. Vannak köztük csillag alakú figurák is. Összetett szabályos sokszögeknél az oldalakat körbeírva találjuk meg. Adjunk bizonyítékot. Rajzolj egy szabályos sokszöget tetszőleges számú n oldallal. Írj le egy kört körülötte. Adja meg az R sugarat. Képzelje el, hogy adott egy n-szög. Ha szögeinek pontjai egy körön fekszenek és egyenlőek egymással, akkor az oldalak a következő képlettel kereshetők: a = 2R ∙ sinα: 2.
Egy beírt derékszögű háromszög oldalainak számának meghatározása
Az egyenlő oldalú háromszög szabályos sokszög. Ugyanazok a képletek vonatkoznak rá, mint a négyzetre és az n-szögre. Egy háromszöget akkor tekintünk helyesnek, ha azonos hosszúságú oldalai vannak. Ebben az esetben a szögek 60⁰. Szerkesszünk egy adott oldalhosszúságú háromszöget a. A medián és a magasság ismeretében megtalálhatja oldalainak értékét. Ehhez az a \u003d x: cosα képlet segítségével keressük meg a módszert, ahol x a medián vagy magasság. Mivel a háromszög minden oldala egyenlő, kapjuk a = b = c. Ekkor igaz a következő állítás: a = b = c = x: cosα. Hasonlóképpen egy egyenlő szárú háromszögben is megtalálhatjuk az oldalak értékét, de x lesz a megadott magasság. Ugyanakkor szigorúan az ábra alapjára kell vetíteni. Tehát az x magasság ismeretében az a \u003d b \u003d x: cosα képlet segítségével megtaláljuk egy egyenlő szárú háromszög a oldalát. Miután megtalálta a értékét, kiszámíthatja a c alap hosszát. Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt. Meg fogjuk keresni a c alap felének értékét: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Ekkor c = 2xtanα. Ilyen egyszerű módon meg lehet találni bármely beírt sokszög oldalainak számát.
A körbe írt négyzet oldalainak kiszámítása
Mint minden más szabályos sokszögnek, a négyzetnek is egyenlő oldalai és szögei. Ugyanazok a képletek vonatkoznak rá, mint a háromszögre. A négyzet oldalait az átló értékével számíthatja ki. Tekintsük ezt a módszert részletesebben. Ismeretes, hogy az átló felezi a szöget. Kezdetben 90 fok volt az értéke. Így az osztás után kettő keletkezik, amelyek szögei az alapnál 45 fokosak lesznek. Ennek megfelelően a négyzet mindkét oldala egyenlő lesz, azaz: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, ahol e a négyzet átlója vagy alapja az osztás után kialakult derékszögű háromszög. Nem csak így lehet megtalálni a négyzet oldalait. Írjuk be ezt az ábrát egy körbe. Ennek az R körnek a sugarának ismeretében megtaláljuk a négyzet oldalát. Kiszámítjuk a következőképpen: a4 = R√2. A szabályos sokszögek sugarait az R \u003d a: 2tg (360 o: 2n) képlettel számítjuk ki, ahol a az oldal hossza.
Hogyan számítsuk ki az n-szög kerületét
Az n-szög kerülete az összes oldalának összege. Könnyű kiszámolni. Ehhez ismernie kell minden oldal értékét. Egyes sokszögtípusokhoz speciális képletek vannak. Lehetővé teszik, hogy sokkal gyorsabban megtalálja a kerületet. Ismeretes, hogy minden szabályos sokszögnek egyenlő oldalai vannak. Ezért a kerületének kiszámításához elegendő legalább egyet ismerni. A képlet az ábra oldalainak számától függ. Általában így néz ki: P \u003d an, ahol a az oldal értéke, és n a szögek száma. Például egy szabályos nyolcszög kerületének meghatározásához, amelynek oldala 3 cm, meg kell szoroznia 8-cal, azaz P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Egy 5 cm-es oldalú hatszögnél kiszámítjuk a következőképpen: P = 5 ∙ 6 = 30 cm. És így minden sokszögnél.
A paralelogramma, a négyzet és a rombusz kerületének meghatározása
Attól függően, hogy egy szabályos sokszögnek hány oldala van, a kerületét számítjuk ki. Ez nagyban megkönnyíti a feladatot. Valóban, más figurákkal ellentétben, ebben az esetben nem kell minden oldalát megkeresni, elég egy is. Ugyanezzel az elvvel találjuk meg a négyszögek kerületét, azaz egy négyzetet és egy rombuszt. Annak ellenére, hogy ezek különböző ábrák, a képletük ugyanaz, P = 4a, ahol a az oldal. Vegyünk egy példát. Ha egy rombusz vagy négyzet oldala 6 cm, akkor a kerületet a következőképpen találjuk meg: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. A paralelogrammának csak ellentétes oldalai vannak. Ezért a kerületét más módszerrel találjuk meg. Tehát tudnunk kell az ábra a hosszát és b szélességét. Ezután alkalmazzuk a P \u003d (a + c) ∙ 2 képletet. Egy paralelogrammát, amelyben minden oldal és közöttük lévő szög egyenlő, rombusznak nevezzük.
Egyenlő oldalú és derékszögű háromszög kerületének meghatározása
A megfelelő kerülete a P \u003d 3a képlettel kereshető meg, ahol a az oldal hossza. Ha ismeretlen, a mediánon keresztül megtalálható. Egy derékszögű háromszögben csak két oldal egyenlő. Az alapot a Pitagorasz-tételen keresztül találhatjuk meg. Miután mindhárom oldal értéke ismertté válik, kiszámítjuk a kerületet. Megtalálható a P \u003d a + b + c képlet alkalmazásával, ahol a és b egyenlő oldalak, és c az alap. Emlékezzünk vissza, hogy egy egyenlő szárú háromszögben a \u003d b \u003d a, tehát a + b \u003d 2a, majd P \u003d 2a + c. Például egy egyenlő szárú háromszög oldala 4 cm, keresse meg az alapját és a kerületét. A hipotenúza értékét a Pitagorasz-tétel szerint számítjuk ki c \u003d √a 2 + in 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Most kiszámítjuk a kerületet P \u003d \u00365. u003d 13,65 cm.
Hogyan találjuk meg egy szabályos sokszög szögeit
Egy szabályos sokszög minden nap előfordul az életünkben, például egy közönséges négyzet, háromszög, nyolcszög. Úgy tűnik, semmi sem egyszerűbb, mint magad megépíteni ezt a figurát. De ez csak első pillantásra. Bármely n-szög megszerkesztéséhez ismernünk kell a szögeinek értékét. De hogyan találja meg őket? Még az ókor tudósai is megpróbáltak szabályos sokszögeket építeni. Úgy találták, hogy körökbe illesztik őket. Aztán megjelölték rajta a szükséges pontokat, egyenes vonalakkal összekötve. Az egyszerű ábrák esetében az építési probléma megoldódott. Képleteket és tételeket kaptunk. Például Eukleidész a "Kezdet" című híres művében 3, 4, 5, 6 és 15 gonos problémák megoldásával foglalkozott. Megtalálta a módját, hogy megkonstruálja őket, és megtalálja a szögeket. Lássuk, hogyan kell ezt megtenni egy 15 gonos esetében. Először ki kell számítania a belső szögeinek összegét. Az S = 180⁰(n-2) képletet kell használni. Tehát kapunk egy 15 szöget, ami azt jelenti, hogy az n szám 15. Az általunk ismert adatokat behelyettesítjük a képletbe, és azt kapjuk, hogy S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Megtaláltuk a 15 gon összes belső szögének összegét. Most meg kell találnunk mindegyik értékét. Összesen 15 szög van. Ez azt jelenti, hogy minden belső szög 156⁰, most egy vonalzó és egy iránytű segítségével megépíthet egy normál 15 szöget. De mi a helyzet a bonyolultabb n-szögekkel? A tudósok évszázadok óta küzdöttek a probléma megoldásáért. Csak a 18. században találta meg Carl Friedrich Gauss. Képes volt egy 65537-gonost építeni. Azóta a probléma hivatalosan teljesen megoldottnak tekinthető.
N-szögek szögeinek kiszámítása radiánban
Természetesen többféleképpen is megkereshetjük a sokszögek sarkait. Leggyakrabban fokban számítják ki. De radiánban is kifejezheti őket. Hogyan kell csinálni? A következőképpen kell eljárni. Először megtudjuk egy szabályos sokszög oldalainak számát, majd levonunk belőle 2-t, így megkapjuk az értéket: n - 2. A kapott különbséget megszorozzuk az n számmal („pi” \u003d 3,14). Most már csak el kell osztani a kapott szorzatot az n-szög szögeinek számával. Tekintsük ezeket a számításokat ugyanazon tizenöt oldalú példán keresztül. Tehát az n szám 15. Alkalmazzuk az S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72 képletet. Természetesen nem ez az egyetlen módja a radiánban kifejezett szög kiszámításának. Egyszerűen eloszthatja a szög fokban mért méretét az 57,3 számmal. Hiszen ez a sok fok egy radiánnak felel meg.
A szögek értékének kiszámítása fokban
A fokokon és radiánokon kívül megpróbálhatja megtalálni a szabályos sokszög szögeinek értékét gradokban. Ez a következő módon történik. Vonjunk ki 2-t az összes szögből, a kapott különbséget osszuk el egy szabályos sokszög oldalainak számával. A kapott eredményt megszorozzuk 200-zal. A szögek ilyen mértékegységét, mint fokot, gyakorlatilag nem használják.
n-szögek külső sarkainak számítása
Bármely szabályos sokszög esetén a belső mellett a külső szöget is kiszámíthatja. Értéke ugyanúgy megtalálható, mint a többi figuránál. Tehát egy szabályos sokszög külső sarkának megtalálásához ismernünk kell a belső értékét. Továbbá tudjuk, hogy ennek a két szögnek az összege mindig 180 fok. Ezért a számításokat a következőképpen végezzük: 180⁰ mínusz a belső szög értéke. Megtaláljuk a különbséget. Ez egyenlő lesz a vele szomszédos szög értékével. Például egy négyzet belső sarka 90 fokos, tehát a külső szög 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ lesz. Mint látjuk, nem nehéz megtalálni. A külső szög értéke +180⁰ és -180⁰ között lehet.
A sokszög olyan geometriai alakzat, amelyet minden oldalról zárt szaggatott vonal határol. Ebben az esetben a vonallánc hivatkozásainak száma nem lehet kevesebb háromnál. Minden vonallánc szegmens párnak van egy közös pontja, és szögeket alkot. A sarkok száma a vonallánc szakaszok számával együtt a poligon fő jellemzői. Minden sokszögben a határoló zárt vonallánc hivatkozásainak száma megegyezik a sarkok számával.
A geometriában az oldalakat általában egy geometriai objektumot korlátozó vonallánc hivatkozásainak nevezik. A csúcsok két szomszédos oldal érintkezési pontjai., melyek száma alapján kapják a sokszögek a nevüket.
Ha egy zárt szaggatott vonal három szakaszból áll, háromszögnek nevezzük; rendre négy szegmensből - egy négyszög, ötből - egy ötszög stb.
Háromszög vagy négyszög jelöléséhez használjon nagy latin betűket, amelyek a csúcsait jelölik. A betűket sorrendben hívják - az óramutató járásával megegyező vagy ellentétes irányba.
Alapfogalmak
A sokszög definíciójának leírásakor figyelembe kell venni néhány kapcsolódó geometriai fogalmat:
- Ha a csúcsok ugyanazon oldal végei, akkor szomszédoknak nevezzük őket.
- Ha egy szakasz nem szomszédos csúcsokat köt össze, akkor átlónak nevezzük. Egy háromszögnek nem lehet átlója.
- A belső szög az egyik csúcsnál bezárt szög, amelyet úgy alakítanak ki, hogy a két oldala ezen a ponton összefut. Mindig a geometriai ábra belső tartományában található. Ha a sokszög nem konvex, mérete meghaladhatja a 180 fokot.
- A külső szög egy adott csúcsnál az a szög, amely a benne lévő belsővel szomszédos. Más szóval, a külső szög a 180° és a belső szög értéke közötti különbségnek tekinthető.
- Az összes szegmens értékének összegét kerületnek nevezzük.
- Ha minden oldal és minden szög egyenlő, akkor helyesnek nevezzük. Csak a domborúak lehetnek helyesek.
Mint fentebb említettük, a sokszöggeometriák nevei a csúcsok számán alapulnak. Ha egy alakban n darab van, akkor ún n-gon:
- Egy sokszöget laposnak nevezünk, ha a sík véges részét korlátozza. Ez a geometriai alakzat beírható körbe vagy körbeírható.
- Egy n-szöget konvexnek nevezünk, ha megfelel az alábbi feltételek valamelyikének.
- Az ábra két szomszédos csúcsot összekötő egyenes egyik oldalán található.
- Ez az ábra több félsík közös részeként vagy metszéspontjaként szolgál.
- Az átlók a sokszög belsejében helyezkednek el.
- Ha a szakasz végei a sokszöghez tartozó pontokon helyezkednek el, akkor az egész szakasz ahhoz tartozik.
- Egy alakzat akkor nevezhető szabályosnak, ha minden szakasza és minden szöge egyenlő. Ilyen például a négyzet, az egyenlő oldalú háromszög vagy a szabályos ötszög.
- Ha egy n-szög nem konvex, akkor minden oldala és szöge egyenlő, és csúcsai egybeesnek egy szabályos n-szög csúcsaival, akkor csillagozottnak nevezzük. Az ilyen alakoknak lehetnek önmetszéspontjai. Példa erre egy pentagram vagy egy hexagram.
- Egy háromszöget vagy négyszöget körbe írtnak nevezünk, ha minden csúcsa ugyanabban a körben található. Ha ennek az ábrának az oldalai érintkezési pontokkal rendelkeznek a körrel, akkor ez egy kör körül körülírt sokszög.
Bármi egy konvex n-szög háromszögekre osztható. Ebben az esetben a háromszögek száma 2-vel kevesebb, mint az oldalak száma.
A figurák típusai
Ez egy sokszög, amelynek három csúcsa és három szakasza köti össze őket. Ebben az esetben a szakaszok csatlakozási pontjai nem egy egyenesen fekszenek.
A szegmensek kapcsolódási pontjai az háromszög csúcsai. Magukat a szakaszokat a háromszög oldalainak nevezzük. Minden háromszög belső szögeinek összege 180°.
Az oldalak közötti arányok szerint az összes háromszög több típusra osztható:
- egyenlő oldalú- amelyben az összes szegmens hossza azonos.
- egyenlő szárú Háromszögek, amelyeknek háromból kettő egyenlő szakasza van.
- Sokoldalú- ha az összes szegmens hossza eltérő.
Ezenkívül a következő háromszögeket szokás megkülönböztetni:
- Hegyesszögű.
- Négyszögletes.
- tompa.
négyszög
A négyszög egy lapos alakzat, amelynek 4 csúcsa és 4 szakasza van, amelyek sorba kötik őket.
- Ha egy négyszög minden sarka derékszög, az ábrát téglalapnak nevezzük.
- Négyzetnek nevezzük azt a téglalapot, amelynek minden oldala azonos méretű.
- Rombusznak nevezzük azt a négyszöget, amelynek minden oldala egyenlő.
Egy négyszög három csúcsa nem lehet ugyanazon az egyenesen.
Videó
Ebben a videóban további információkat talál a sokszögekről.
Ebben a leckében egy új témát indítunk, és egy új fogalmat vezetünk be számunkra - egy "sokszöget". Megnézzük a sokszögekhez kapcsolódó alapfogalmakat: oldalak, csúcsok, sarkok, konvexitás és nem-konvexitás. Ezután bebizonyítjuk a legfontosabb tényeket, például a sokszög belső szögeinek összegére vonatkozó tételt, a sokszög külső szögeinek összegére vonatkozó tételt. Ennek eredményeként közel kerülünk a sokszögek speciális eseteinek tanulmányozásához, amelyekre a jövőbeni leckéken is szó lesz.
Téma: Négyszögek
Tanulság: Sokszögek
A geometria során a geometriai formák tulajdonságait tanulmányozzuk, és már figyelembe vettük a legegyszerűbbeket: a háromszögeket és a köröket. Ugyanakkor tárgyaltuk ezen alakzatok speciális speciális eseteit is, például derékszögű, egyenlő szárú és szabályos háromszögeket. Itt az ideje, hogy általánosabb és összetettebb formákról beszéljünk - sokszögek.
Különleges tokkal sokszögek már ismerjük – ez egy háromszög (lásd 1. ábra).
Rizs. 1. Háromszög
Már maga a név is hangsúlyozza, hogy ez egy olyan figura, amelynek három sarka van. Ezért be poligon sok lehet belőlük, pl. több mint három. Például rajzoljunk egy ötszöget (lásd 2. ábra), i.e. öt sarkú figura.
Rizs. 2. Pentagon. Konvex sokszög
Meghatározás.Poligon- több pontból (kettőnél több) és az ezeket sorba kötődő szegmensek megfelelő számából álló ábra. Ezeket a pontokat ún csúcsok sokszög és szakaszok - a felek. Ebben az esetben nincs két szomszédos oldal ugyanazon az egyenesen, és nincs két nem szomszédos oldal sem metszi egymást.
Meghatározás.szabályos sokszög egy konvex sokszög, amelyben minden oldal és szög egyenlő.
Bármi poligon két részre osztja a síkot: belső és külső. A belső teret is emlegetik poligon.
Más szavakkal, amikor például egy ötszögről beszélnek, akkor a teljes belső régióját és a határát is jelentik. És a belső területbe beletartozik minden olyan pont is, amely a sokszögön belül fekszik, pl. a pont is az ötszöghöz tartozik (lásd 2. ábra).
A sokszögeket néha n-szögeknek is nevezik, hogy hangsúlyozzák, hogy egy ismeretlen számú sarkuk (n darab) általános esetét vizsgáljuk.
Meghatározás. Sokszög kerülete a sokszög oldalai hosszának összege.
Most meg kell ismerkednünk a sokszögek típusaival. Osztva vannak konvexés nem domború. Például az ábrán látható sokszög. A 2. ábra konvex, és a 2. ábrán látható. 3 nem domború.
Rizs. 3. Nem konvex sokszög
1. definíció. Poligon hívott konvex, ha bármelyik oldalán keresztül egyenes vonal húzásakor a teljes poligon ennek a vonalnak csak az egyik oldalán fekszik. nem domború az összes többi sokszögek.
Könnyen elképzelhető, hogy az ötszög bármely oldalának meghosszabbításakor a 1. ábrán. 2 mindez ennek az egyenesnek az egyik oldalán lesz, azaz. ő domború. Ám amikor egyenes vonalat húzunk a négyszögön keresztül az ábrán. 3 már látjuk, hogy két részre osztja, i.e. ő nem domború.
De van egy másik definíció is a sokszög konvexitásáról.
2. definíció. Poligon hívott konvex ha bármely két belső pontjának kiválasztásakor és egy szakaszhoz való kapcsolásakor a szakasz minden pontja egyben a sokszög belső pontja is.
Ennek a definíciónak a használatának szemléltetése látható a szegmensek felépítésének példáján az ábrán. 2. és 3.
Meghatározás. Átlós A sokszög bármely szakasz, amely két nem szomszédos csúcsot köt össze.
A sokszögek tulajdonságainak leírására két legfontosabb tétel van a szögeikről: konvex sokszög belső szögösszeg tételés konvex sokszög külső szögösszeg tétel. Tekintsük őket.
Tétel. Egy konvex sokszög belső szögeinek összegéről (n-gon).
Hol van a szögeinek (oldalainak) száma.
1. bizonyítás. Ábrázoljuk az ábrán. 4 konvex n-szög.
Rizs. 4. Konvex n-szög
Rajzolja le az összes lehetséges átlót a csúcsból. Az n-szöget háromszögekre osztják, mert a sokszög minden oldala egy háromszöget alkot, kivéve a csúcsgal szomszédos oldalakat. Az ábrán jól látható, hogy ezen háromszögek szögeinek összege éppen egyenlő lesz az n-szög belső szögeinek összegével. Mivel bármely háromszög szögeinek összege , akkor egy n-szög belső szögeinek összege:
Q.E.D.
2. bizonyítás. Ennek a tételnek egy másik bizonyítása is lehetséges. Rajzoljunk egy hasonló n-szöget az ábrán. 5, és csatlakoztassa bármelyik belső pontját az összes csúcshoz.
Rizs. 5.
Egy n-szögű partíciót kaptunk n háromszögre (hány oldal, annyi háromszög). Az összes szögük összege egyenlő a sokszög belső szögeinek összegével és a belső pont szögeinek összegével, és ez a szög. Nekünk van:
Q.E.D.
Igazolt.
A bizonyított tétel szerint belátható, hogy egy n-szög szögeinek összege függ oldalainak számától (n-en). Például egy háromszögben, és a szögek összege . Egy négyszögben, és a szögek összege - stb.
Tétel. Egy konvex sokszög külső szögeinek összegéről (n-gon).
Hol van a sarkainak (oldalainak) száma, és a , ... a külső sarkok.
Bizonyíték. Rajzoljunk konvex n-szöget az ábrán. 6, és jelölje belső és külső szögeit.
Rizs. 6. Konvex n-szög jelölt külső sarkokkal
Mert a külső sarok szomszédosként kapcsolódik a belsőhöz, majd és hasonlóan más külső sarkokhoz. Akkor:
A transzformációk során az n-szög belső szögeinek összegére vonatkozó, már bevált tételt alkalmaztuk.
Igazolt.
A bizonyított tételből érdekes tény következik, hogy egy konvex n-szög külső szögeinek összege egyenlő szögeinek (oldalainak) számáról. Egyébként a belső szögek összegével ellentétben.
Bibliográfia
- Aleksandrov A.D. stb Geometria, 8. évfolyam. - M.: Oktatás, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, 8. osztály. - M.: Oktatás, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, 8. osztály. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com().
Házi feladat