Pamoka "Daugiakampiai. Daugiakampių tipai" pagal technologiją "Kritinio mąstymo ugdymas skaitant ir rašant"
Daugiakampio ypatybės
Daugiakampis – tai geometrinė figūra, dažniausiai apibrėžiama kaip uždara polilinija be savaiminių susikirtimų (paprastas daugiakampis (1a pav.)), tačiau kartais leidžiamos ir savaiminės sankirtos (tada daugiakampis nėra paprastas).
Polilinijos viršūnės vadinamos daugiakampio viršūnėmis, o atkarpos – daugiakampio kraštinėmis. Daugiakampio viršūnės vadinamos kaimynėmis, jei jos yra vienos iš jo kraštinių galai. Tiesijos atkarpos, jungiančios negretimas daugiakampio viršūnes, vadinamos įstrižainėmis.
Išgaubto daugiakampio kampas (arba vidinis kampas) tam tikroje viršūnėje yra kampas, kurį sudaro jo kraštinės, susiliejančios šioje viršūnėje, ir kampas laikomas iš daugiakampio šono. Visų pirma kampas gali viršyti 180°, jei daugiakampis nėra išgaubtas.
Išorinis išgaubto daugiakampio kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, esantis greta daugiakampio vidinio kampo toje viršūnėje. Apskritai išorinis kampas yra skirtumas tarp 180° ir vidinio kampo. Iš kiekvienos -gon viršūnės, kai > 3, yra - 3 įstrižainės, todėl bendras -gon įstrižainių skaičius yra lygus.
Trijų viršūnių daugiakampis vadinamas trikampiu, su keturiomis – keturkampiu, su penkiomis – penkiakampiu ir pan.
Daugiakampis su n viršūnės vadinamos n- kvadratas.
Plokščiasis daugiakampis yra figūra, kurią sudaro daugiakampis ir baigtinė jo ribojamo ploto dalis.
Daugiakampis vadinamas išgaubtu, jei tenkinama viena iš šių (lygiaverčių) sąlygų:
- 1. jis yra vienoje pusėje bet kurios tiesės, jungiančios gretimas viršūnes. (t. y. daugiakampio kraštinių plėtiniai nesikerta su kitomis jo kraštinėmis);
- 2. tai kelių pusplokštumų sankirta (t.y. bendroji dalis);
- 3. bet kuri atkarpa, kurios galai yra taškuose, priklausančiuose daugiakampiui, visiškai priklauso jam.
Išgaubtasis daugiakampis vadinamas taisyklingu, jei visos kraštinės lygios ir visi kampai lygūs, pavyzdžiui, lygiakraštis trikampis, kvadratas ir penkiakampis.
Sakoma, kad išgaubtas daugiakampis yra įbrėžtas apie apskritimą, jei visos jo kraštinės liečia kurį nors apskritimą
Taisyklingasis daugiakampis yra daugiakampis, kurio visi kampai ir visos kraštinės yra lygūs.
Daugiakampio savybės:
1 Kiekviena išgaubto kampo įstrižainė, kur >3, išskaido jį į du išgaubtus daugiakampius.
2 Visų išgaubto kampo kampų suma yra lygi.
D-in: Įrodykime teoremą matematinės indukcijos metodu. Jei = 3, tai akivaizdu. Tarkime, kad teorema yra teisinga -gon, kur <, ir įrodyti tai už -gon.
Leisti būti pateiktas daugiakampis. Nubrėžkite šio daugiakampio įstrižainę. Pagal 3 teoremą daugiakampis išskaidomas į trikampį ir išgaubtą -kampį (5 pav.). Pagal indukcijos hipotezę. Iš kitos pusės, . Pridėjus šias lygybes ir atsižvelgiant į tai (- vidinis spindulio kampas ) ir (- vidinis spindulio kampas ), gauname.Kai gauname: .
3 Apie bet kurį taisyklingą daugiakampį galima apibūdinti apskritimą, be to, tik vieną.
D-in: Tegul taisyklingas daugiakampis, ir ir yra kampų ir pusiausvyros (150 pav.). Kadangi todėl * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O.Įrodykime tai O = OA 2 = O =… = OA P . Trikampis O lygiašoniai, todėl O= O. Pagal antrąjį trikampių lygybės kriterijų, todėl O = O. Panašiai įrodyta, kad O = O ir tt Taigi esmė O vienodu atstumu nuo visų daugiakampio viršūnių, todėl apskritimas su centru O spindulys O yra apibrėžtas apie daugiakampį.
Dabar įrodykime, kad yra tik vienas apibrėžtas ratas. Pavyzdžiui, apsvarstykite tris daugiakampio viršūnes, BET 2 , . Kadangi per šiuos taškus eina tik vienas apskritimas, tada apie daugiakampį … Negalite aprašyti daugiau nei vieno rato.
- 4 Bet kuriame taisyklingame daugiakampyje galite įbrėžti apskritimą ir, be to, tik vieną.
- 5 Į taisyklingą daugiakampį įbrėžtas apskritimas paliečia daugiakampio kraštines jų vidurio taškuose.
- 6 Taisyklingąjį daugiakampį juosiančio apskritimo centras sutampa su apskritimo, įbrėžto į tą patį daugiakampį, centru.
- 7 Simetrija:
Figūra vadinama simetriška (simetriška), jei yra toks judėjimas (ne identiškas), kuris paverčia šią figūrą į save.
- 7.1. Bendrasis trikampis neturi ašių ar simetrijos centrų, jis nėra simetriškas. Lygiašonis (bet ne lygiakraštis) trikampis turi vieną simetrijos ašį: statmeną bazei.
- 7.2. Lygiakraštis trikampis turi tris simetrijos ašis (statmenas į šonus) ir sukimosi simetriją apie centrą, kai sukimosi kampas yra 120°.
7.3 Bet kuris taisyklingas n-kampis turi n simetrijos ašių, kurios visos eina per jo centrą. Jis taip pat turi sukimosi simetriją apie centrą su sukimosi kampu.
Netgi n vienos simetrijos ašys eina per priešingas viršūnes, kitos – per priešingų kraštinių vidurio taškus.
Dėl keistų n kiekviena ašis eina per priešingos pusės viršūnę ir vidurio tašką.
Taisyklingo daugiakampio su lyginiu kraštinių skaičiumi centras yra jo simetrijos centras. Taisyklingas daugiakampis su nelyginiu kraštinių skaičiumi neturi simetrijos centro.
8 Panašumas:
Su panašumu -gon pereina į -gon, pusiau plokštuma - į pusiau plokštumą, todėl išgaubta n-gon tampa išgaubta n-gon.
Teorema: Jei išgaubtų daugiakampių kraštinės ir kampai tenkina lygybes:
kur yra podiumo koeficientas
tada šie daugiakampiai yra panašūs.
- 8.1 Dviejų panašių daugiakampių perimetrų santykis lygus panašumo koeficientui.
- 8.2. Dviejų išgaubtų panašių daugiakampių plotų santykis lygus panašumo koeficiento kvadratui.
daugiakampio trikampio perimetro teorema
Skyriai: Matematika
Dalykas, mokinių amžius: geometrija, 9 klasė
Pamokos tikslas: daugiakampių tipų tyrimas.
Mokymosi užduotis: atnaujinti, išplėsti ir apibendrinti mokinių žinias apie daugiakampius; suformuoti daugiakampio „komponentų“ idėją; atlikti taisyklingųjų daugiakampių (nuo trikampio iki n kampo) sudedamųjų elementų skaičiaus tyrimą;
Ugdomoji užduotis: ugdyti gebėjimus analizuoti, lyginti, daryti išvadas, ugdyti skaičiavimo įgūdžius, matematinę kalbą žodžiu ir raštu, atmintį, taip pat mąstymo ir mokymosi veiklos savarankiškumą, gebėjimą dirbti poromis ir grupėmis; plėtoti mokslinę ir edukacinę veiklą;
Ugdymo užduotis: ugdyti savarankiškumą, aktyvumą, atsakingumą atlikti pavestą užduotį, atkaklumą siekiant tikslo.
Užsiėmimų metu: lentoje parašyta citata
„Gamta kalba matematikos kalba, šios kalbos raidėmis... matematinėmis figūromis. G. Gallilei
Pamokos pradžioje klasė suskirstoma į darbo grupes (mūsų atveju suskirstymas į grupes po 4 žmones – grupės narių skaičius lygus klausimų grupių skaičiui).
1. Skambučio etapas-
Tikslai:
a) atnaujinti studentų žinias šia tema;
b) susidomėjimo nagrinėjama tema žadinimas, kiekvieno mokinio motyvacija mokymosi veiklai.
Priėmimas: Žaidimas „Ar tu tiki, kad ...“, darbo su tekstu organizavimas.
Darbo formos: frontalinė, grupinė.
"Ar tu tuo tiki..."
1. ... žodis „daugiakampis“ rodo, kad visos šios šeimos figūros turi „daug kampų“?
2. … trikampis priklauso didelei daugiakampių šeimai, išsiskiriančiai daugybe skirtingų geometrinių figūrų plokštumoje?
3. …ar kvadratas yra taisyklingas aštuonkampis (keturios kraštinės + keturi kampai)?
Šiandien pamokoje kalbėsime apie daugiakampius. Sužinome, kad šią figūrą riboja uždara laužyta linija, kuri savo ruožtu gali būti paprasta, uždara. Pakalbėkime apie tai, kad daugiakampiai yra plokšti, taisyklingi, išgaubti. Vienas iš plokščiųjų daugiakampių yra jums seniai pažįstamas trikampis (galite parodyti studentams plakatus, vaizduojančius daugiakampius, laužtą liniją, parodyti įvairius jų tipus, taip pat galite naudoti TCO).
2. Supratimo stadija
Tikslas: naujos informacijos gavimas, jos suvokimas, atranka.
Priėmimas: zigzagas.
Darbo formos: individualus->porinis->grupinis.
Kiekvienai grupei duodamas tekstas pamokos tema, tekstas kuriamas taip, kad jame būtų ir mokiniams jau žinoma, ir visiškai nauja informacija. Kartu su tekstu mokiniai gauna klausimus, į kuriuos atsakymus reikia rasti šiame tekste.
Daugiakampiai. Daugiakampių tipai.
Kas negirdėjo apie paslaptingą Bermudų trikampį, kuriame be žinios dingsta laivai ir lėktuvai? Tačiau nuo vaikystės mums pažįstamas trikampis yra kupinas daug įdomių ir paslaptingų dalykų.
Be mums jau žinomų trikampių tipų, suskirstytų iš kraštinių (skalnė, lygiašonis, lygiakraštis) ir kampais (smailiakampis, bukaskampis, stačiakampis), trikampis priklauso gausiai daugiakampių šeimai, išsiskiriančiai iš daugelio. skirtingos geometrinės figūros plokštumoje.
Žodis „daugiakampis“ rodo, kad visos šios šeimos figūros turi „daug kampų“. Tačiau to nepakanka figūrai apibūdinti.
Nutrūksta linija A 1 A 2 ... A n yra figūra, susidedanti iš taškų A 1, A 2, ... A n ir juos jungiančių atkarpų A 1 A 2, A 2 A 3, .... Taškai vadinami polilinijos viršūnėmis, o atkarpos – polilinijos grandimis. (1 pav.)
Nutrūksta linija vadinama paprasta, jei ji neturi savaiminių susikirtimų (2,3 pav.).
Nutrūkusi linija vadinama uždara, jei jos galai sutampa. Nutrūkusios linijos ilgis yra jos grandžių ilgių suma (4 pav.).
Paprasta uždara laužyta linija vadinama daugiakampiu, jeigu jos gretimos grandys guli ne toje pačioje tiesėje (5 pav.).
Žodyje „daugiakampis“ vietoj „daug“ dalies pakeiskite konkretų skaičių, pavyzdžiui, 3. Gausite trikampį. Arba 5. Tada – penkiakampis. Atkreipkite dėmesį, kad kampų yra tiek, kiek yra šonų, todėl šias figūras galima vadinti daugiašalėmis.
Polilinijos viršūnės vadinamos daugiakampio viršūnėmis, o polilinijos grandys – daugiakampio kraštinėmis.
Daugiakampis padalija plokštumą į dvi sritis: vidinę ir išorinę (6 pav.).
Plokštumos daugiakampis arba daugiakampio sritis yra baigtinė plokštumos dalis, kurią riboja daugiakampis.
Dvi daugiakampio viršūnės, kurios yra tos pačios pusės galai, vadinamos kaimynėmis. Viršūnės, kurios nėra vienos pusės galai, nėra gretimos.
Daugiakampis su n viršūnių ir todėl n kraštinių vadinamas n kampu.
Nors mažiausias daugiakampio kraštinių skaičius yra 3. Tačiau trikampiai, jungdamiesi vienas su kitu, gali sudaryti kitas figūras, kurios savo ruožtu taip pat yra daugiakampiai.
Atkarpos, jungiančios negretimas daugiakampio viršūnes, vadinamos įstrižainėmis.
Daugiakampis vadinamas išgaubtu, jei jis yra vienoje pusplokštumoje bet kurios tiesės, kurioje yra jo kraštinė, atžvilgiu. Šiuo atveju laikoma, kad pati tiesė priklauso pusiau plokštumai.
Išgaubto daugiakampio kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, kurį sudaro jo kraštinės, susiliejančios toje viršūnėje.
Įrodykime teoremą (apie išgaubto n-kampio kampų sumą): Išgaubto n-kampio kampų suma lygi 180 0 *(n - 2).
Įrodymas. Tuo atveju, kai n=3, teorema yra teisinga. Tegu А 1 А 2 …А n yra duotasis išgaubtas daugiakampis ir n>3. Jame nubrėžkime įstrižaines (iš vienos viršūnės). Kadangi daugiakampis yra išgaubtas, šios įstrižainės padalija jį į n - 2 trikampius. Daugiakampio kampų suma yra tokia pati kaip visų šių trikampių kampų suma. Kiekvieno trikampio kampų suma lygi 180 0, o šių trikampių skaičius yra n - 2. Todėl išgaubto n - kampo A 1 A 2 ... A n kampų suma lygi 180 0 * ( n - 2). Teorema įrodyta.
Išorinis išgaubto daugiakampio kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, esantis greta daugiakampio vidinio kampo toje viršūnėje.
Išgaubtasis daugiakampis vadinamas taisyklingu, jei visos kraštinės yra lygios ir visi kampai lygūs.
Taigi kvadratą galima vadinti kitaip – taisyklingu keturkampiu. Lygiakraščiai trikampiai taip pat yra taisyklingi. Tokios figūros jau seniai domino pastatus puošiančius meistrus. Jie padarė gražius raštus, pavyzdžiui, ant parketo. Tačiau ne visi taisyklingi daugiakampiai gali būti naudojami parketui formuoti. Parketas negali būti formuojamas iš įprastų aštuonkampių. Faktas yra tas, kad kiekvienas jų kampas yra lygus 135 0. Ir jei kuris nors taškas yra dviejų tokių aštuonkampių viršūnė, tada jie turės 270 0, o trečiam aštuonkampiui nėra kur tilpti: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Bet užtenka kvadratui. Todėl parketą galima išlankstyti iš įprastų aštuonkampių ir kvadratų.
Žvaigždės teisingos. Mūsų penkiakampė žvaigždė yra įprasta penkiakampė žvaigždė. O jei kvadratą aplink centrą pasuksite 45 0, gausite taisyklingą aštuonkampę žvaigždę.
1 grupė
Kas yra nutrūkusi linija? Paaiškinkite, kas yra polilinijos viršūnės ir saitai.
Kuri nutrūkusi linija vadinama paprasta?
Kuri nutrūkusi linija vadinama uždara?
Kas yra daugiakampis? Kaip vadinamos daugiakampio viršūnės? Kokios yra daugiakampio kraštinės?
2 grupė
Kas yra plokščias daugiakampis? Pateikite daugiakampių pavyzdžių.
Kas yra n-gon?
Paaiškinkite, kurios daugiakampio viršūnės yra gretimos, o kurios ne.
Kas yra daugiakampio įstrižainė?
3 grupė
Kas yra išgaubtas daugiakampis?
Paaiškinkite, kurie daugiakampio kampai yra išoriniai, o kurie vidiniai?
Kas yra taisyklingas daugiakampis? Pateikite taisyklingų daugiakampių pavyzdžių.
4 grupė
Kokia yra išgaubto n kampo kampų suma? Įrodyk.
Studentai dirba su tekstu, ieško atsakymų į užduodamus klausimus, po to sudaromos ekspertų grupės, kuriose dirbama tais pačiais klausimais: studentai išryškina pagrindinį dalyką, parengia pagrindinę santrauką, pateikia informaciją viename iš grafines formas. Pasibaigus darbui, mokiniai grįžta į savo darbo grupes.
3. Refleksijos etapas –
a) savo žinių įvertinimas, iššūkis kitam žinių žingsniui;
b) gautos informacijos supratimas ir pasisavinimas.
Priėmimas: tiriamasis darbas.
Darbo formos: individualus->porinis->grupinis.
Darbo grupės yra ekspertai, atsakantys į kiekvieną siūlomų klausimų skyrių.
Grįžęs prie darbo grupės, ekspertas supažindina kitus grupės narius su atsakymais į jiems rūpimus klausimus. Grupėje vyksta visų darbo grupės narių keitimasis informacija. Taigi kiekvienoje darbo grupėje ekspertų darbo dėka susidaro bendra idėja nagrinėjama tema.
Mokinių tiriamasis darbas – lentelės pildymas.
Taisyklingi daugiakampiai | Piešimas | Šonų skaičius | Smailių skaičius | Visų vidinių kampų suma | Laipsnio matas tarpt. kampas | Išorinio kampo laipsnio matas | Įstrižainių skaičius |
A) trikampis | |||||||
B) keturkampis | |||||||
B) penkių sienų | |||||||
D) šešiakampis | |||||||
E) n-gon |
Įdomių uždavinių sprendimas pamokos tema.
- Keturkampyje nubrėžkite liniją, kad ji padalintų ją į tris trikampius.
- Kiek kraštinių turi taisyklingasis daugiakampis, kurio kiekvienas vidinis kampas lygus 135 0 ?
- Tam tikrame daugiakampyje visi vidiniai kampai yra lygūs vienas kitam. Ar šio daugiakampio vidinių kampų suma gali būti: 360 0 , 380 0 ?
Apibendrinant pamoką. Namų darbų įrašymas.
Trikampis, kvadratas, šešiakampis – šias figūras žino beveik visi. Tačiau ne visi žino, kas yra taisyklingas daugiakampis. Bet tai yra tas pats Taisyklingasis daugiakampis vadinamas tas, kurio kampai ir kraštinės yra vienodi. Tokių figūrų yra labai daug, tačiau jos visos turi tas pačias savybes, joms taikomos tos pačios formulės.
Taisyklingų daugiakampių savybės
Bet koks taisyklingas daugiakampis, nesvarbu, ar tai būtų kvadratas, ar aštuonkampis, gali būti įrašytas į apskritimą. Ši pagrindinė savybė dažnai naudojama kuriant figūrą. Be to, apskritimas taip pat gali būti įrašytas į daugiakampį. Tokiu atveju sąlyčio taškų skaičius bus lygus jo pusių skaičiui. Svarbu, kad apskritimas, įrašytas į taisyklingą daugiakampį, turėtų su juo bendrą centrą. Šioms geometrinėms figūroms taikomos tos pačios teoremos. Bet kuri taisyklingo n kampo kraštinė susieta su ją apibrėžiančio apskritimo spinduliu R. Todėl ją galima apskaičiuoti naudojant tokią formulę: a = 2R ∙ sin180°. Per jį galite rasti ne tik daugiakampio šonus, bet ir perimetrą.
Kaip rasti taisyklingo daugiakampio kraštinių skaičių
Bet kuris susideda iš tam tikro skaičiaus segmentų, lygių vienas kitam, kurie, susijungę, sudaro uždarą liniją. Šiuo atveju visi suformuotos figūros kampai turi tą pačią vertę. Daugiakampiai skirstomi į paprastus ir sudėtingus. Pirmąją grupę sudaro trikampis ir kvadratas. Sudėtingi daugiakampiai turi daugiau kraštinių. Juose taip pat yra žvaigždės formos figūros. Sudėtingų taisyklingų daugiakampių kraštinės randamos jas nubrėžus apskritimu. Pateikime įrodymą. Nubrėžkite taisyklingą daugiakampį su savavališku kraštinių skaičiumi n. Apibūdinkite apskritimą aplink jį. Nurodykite spindulį R. Dabar įsivaizduokite, kad pateiktas koks nors n-kampis. Jei jo kampų taškai yra ant apskritimo ir yra lygūs vienas kitam, tada kraštines galima rasti pagal formulę: a = 2R ∙ sinα: 2.
Įbrėžto stačiojo trikampio kraštinių skaičiaus nustatymas
Lygiakraštis trikampis yra taisyklingas daugiakampis. Jam taikomos tos pačios formulės kaip ir kvadratui bei n kampui. Trikampis bus laikomas teisingu, jei jo kraštinės yra vienodos. Šiuo atveju kampai yra 60⁰. Sukurkite trikampį, kurio kraštinės ilgis yra a. Žinodami jo medianą ir aukštį, galite sužinoti jo kraštų vertę. Norėdami tai padaryti, naudosime metodą, kaip rasti pagal formulę a \u003d x: cosα, kur x yra mediana arba aukštis. Kadangi visos trikampio kraštinės yra lygios, gauname a = b = c. Tada teisingas toks teiginys: a = b = c = x: cosα. Panašiai galite rasti lygiašonio trikampio kraštinių vertę, tačiau x bus nurodytas aukštis. Tuo pačiu metu jis turėtų būti projektuojamas griežtai ant figūros pagrindo. Taigi, žinodami aukštį x, lygiašonio trikampio kraštinę a randame naudodami formulę a \u003d b \u003d x: cosα. Suradę a reikšmę, galite apskaičiuoti pagrindo c ilgį. Taikykime Pitagoro teoremą. Ieškosime pusės bazės c reikšmės: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Tada c = 2xtanα. Tokiu paprastu būdu galite rasti bet kurio įrašyto daugiakampio kraštinių skaičių.
Į apskritimą įbrėžto kvadrato kraštinių skaičiavimas
Kaip ir bet kuris kitas įbrėžtas taisyklingas daugiakampis, kvadratas turi vienodas kraštines ir kampus. Jam taikomos tos pačios formulės kaip ir trikampiui. Kvadrato kraštines galite apskaičiuoti naudodami įstrižainės reikšmę. Panagrinėkime šį metodą išsamiau. Yra žinoma, kad įstrižainė dalija kampą pusiau. Iš pradžių jo vertė buvo 90 laipsnių. Taigi po padalijimo susidaro du.Jų kampai prie pagrindo bus lygūs 45 laipsnių. Atitinkamai, kiekviena kvadrato kraštinė bus lygi, tai yra: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kur e yra kvadrato įstrižainė arba pagrindas po padalijimo susidaręs stačiakampis trikampis. Tai ne vienintelis būdas rasti kvadrato kraštines. Įbrėžkime šią figūrą į apskritimą. Žinodami šio apskritimo spindulį R, randame kvadrato kraštinę. Apskaičiuosime taip a4 = R√2. Taisyklingų daugiakampių spinduliai apskaičiuojami pagal formulę R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), kur a yra kraštinės ilgis.
Kaip apskaičiuoti n kampo perimetrą
N kampo perimetras yra visų jo kraštinių suma. Tai lengva apskaičiuoti. Norėdami tai padaryti, turite žinoti visų pusių vertybes. Kai kuriems daugiakampių tipams yra specialios formulės. Jie leidžia daug greičiau rasti perimetrą. Yra žinoma, kad bet kuris taisyklingas daugiakampis turi lygias kraštines. Todėl, norint apskaičiuoti jo perimetrą, pakanka žinoti bent vieną iš jų. Formulė priklausys nuo figūros kraštinių skaičiaus. Apskritai tai atrodo taip: P \u003d an, kur a yra kraštinės vertė, o n yra kampų skaičius. Pavyzdžiui, norėdami rasti įprasto aštuonkampio, kurio kraštinė yra 3 cm, perimetrą, turite jį padauginti iš 8, tai yra, P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Šešiakampiui, kurio kraštinė yra 5 cm, apskaičiuojame taip: P = 5 ∙ 6 = 30 cm. Ir taip kiekvienam daugiakampiui.
Lygiagretainio, kvadrato ir rombo perimetro radimas
Atsižvelgiant į tai, kiek kraštinių turi taisyklingas daugiakampis, apskaičiuojamas jo perimetras. Tai labai palengvina užduotį. Išties, skirtingai nuo kitų figūrų, šiuo atveju nebūtina ieškoti visų jos pusių, užtenka vienos. Tuo pačiu principu randame keturkampių perimetrą, tai yra kvadratą ir rombą. Nepaisant to, kad tai yra skirtingi skaičiai, jų formulė yra ta pati P = 4a, kur a yra pusė. Paimkime pavyzdį. Jei rombo ar kvadrato kraštinė yra 6 cm, tada perimetrą randame taip: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Lygiagretainis turi tik priešingas kraštines. Todėl jo perimetras randamas naudojant kitą metodą. Taigi, turime žinoti figūros ilgį a ir plotį b. Tada taikome formulę P \u003d (a + c) ∙ 2. Lygiagretainis, kurio visos kraštinės ir kampai tarp jų yra lygūs, vadinamas rombu.
Lygiakraščio ir stačiakampio trikampio perimetro radimas
Teisingo perimetrą galima rasti pagal formulę P \u003d 3a, kur a yra kraštinės ilgis. Jei jis nežinomas, jį galima rasti per medianą. Stačiakampiame trikampyje tik dvi kraštinės yra lygios. Pagrindą galima rasti per Pitagoro teoremą. Kai žinomos visų trijų pusių reikšmės, apskaičiuojame perimetrą. Jį galima rasti taikant formulę P \u003d a + b + c, kur a ir b yra lygios kraštinės, o c yra pagrindas. Prisiminkite, kad lygiašoniame trikampyje a \u003d b \u003d a, taigi, a + b \u003d 2a, tada P \u003d 2a + c. Pavyzdžiui, lygiašonio trikampio kraštinė yra 4 cm, raskite jo pagrindą ir perimetrą. Apskaičiuojame hipotenuzės vertę pagal Pitagoro teoremą c \u003d √a 2 + in 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Dabar apskaičiuojame perimetrą P \u003d \u003d \u0030. u003d 13,65 cm.
Kaip rasti taisyklingo daugiakampio kampus
Taisyklingas daugiakampis mūsų gyvenime pasitaiko kiekvieną dieną, pavyzdžiui, paprastas kvadratas, trikampis, aštuonkampis. Atrodytų, kad nėra nieko lengviau, kaip susikurti šią figūrą patiems. Bet tai tik iš pirmo žvilgsnio. Norint sukurti bet kurį n kampą, reikia žinoti jo kampų reikšmę. Bet kaip juos rasti? Net senovės mokslininkai bandė statyti taisyklingus daugiakampius. Jie spėjo juos sutalpinti į ratus. Ir tada ant jo buvo pažymėti reikalingi taškai, sujungti tiesiomis linijomis. Dėl paprastų figūrų statybos problema buvo išspręsta. Gautos formulės ir teoremos. Pavyzdžiui, Euklidas savo garsiajame darbe „Pradžia“ užsiėmė 3, 4, 5, 6 ir 15 gonų uždavinių sprendimu. Jis rado būdų, kaip juos sukonstruoti ir rasti kampus. Pažiūrėkime, kaip tai padaryti 15 gon. Pirmiausia reikia apskaičiuoti jo vidinių kampų sumą. Būtina naudoti formulę S = 180⁰(n-2). Taigi, mums suteikiamas 15 kampų, o tai reiškia, kad skaičius n yra 15. Mes pakeičiame mums žinomus duomenis į formulę ir gauname S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Mes radome visų 15 kampų vidinių kampų sumą. Dabar turime sužinoti kiekvieno iš jų vertę. Iš viso kampų yra 15. Skaičiuojame 2340⁰: 15 = 156⁰. Tai reiškia, kad kiekvienas vidinis kampas yra 156⁰, dabar naudodami liniuotę ir kompasą galite sukurti įprastą 15 kampų. Bet kaip su sudėtingesniais n-gonais? Šimtmečius mokslininkai stengėsi išspręsti šią problemą. Jį tik XVIII amžiuje rado Carlas Friedrichas Gaussas. Jis sugebėjo sukurti 65537-gon. Nuo tada problema oficialiai laikoma visiškai išspręsta.
n kampų radianais apskaičiavimas
Žinoma, yra keletas būdų, kaip rasti daugiakampių kampus. Dažniausiai jie skaičiuojami laipsniais. Bet jūs taip pat galite juos išreikšti radianais. Kaip tai padaryti? Būtina elgtis taip. Pirmiausia išsiaiškiname taisyklingo daugiakampio kraštinių skaičių, tada iš jo atimame 2. Taigi gauname reikšmę: n - 2. Rastą skirtumą padauginkite iš skaičiaus n ("pi" \u003d 3,14). Dabar lieka tik padalyti gautą sandaugą iš kampų skaičiaus n-kampyje. Apsvarstykite šiuos skaičiavimus naudodami tos pačios penkiolikos pusių pavyzdį. Taigi, skaičius n yra 15. Taikykime formulę S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Žinoma, tai nėra vienintelis būdas apskaičiuoti kampą radianais. Galite tiesiog padalyti kampo dydį laipsniais iš skaičiaus 57,3. Juk tiek laipsnių tolygu vienam radianui.
Kampų vertės laipsniais apskaičiavimas
Be laipsnių ir radianų, galite pabandyti rasti taisyklingo daugiakampio kampų vertę gradais. Tai daroma tokiu būdu. Iš viso kampų skaičiaus atimkite 2, gautą skirtumą padalinkite iš taisyklingo daugiakampio kraštinių skaičiaus. Rastą rezultatą padauginame iš 200. Beje, toks kampų matavimo vienetas kaip laipsniai praktiškai nenaudojamas.
Išorinių n kampų kampų skaičiavimas
Bet kuriam įprastam daugiakampiui, be vidinio, galite apskaičiuoti ir išorinį kampą. Jo vertė nustatoma taip pat, kaip ir kitų figūrų. Taigi, norėdami rasti taisyklingo daugiakampio išorinį kampą, turite žinoti vidinio kampo vertę. Be to, mes žinome, kad šių dviejų kampų suma visada yra 180 laipsnių. Todėl skaičiavimus atliekame taip: 180⁰ atėmus vidinio kampo vertę. Mes randame skirtumą. Jis bus lygus kampo, esančio šalia jo, vertei. Pavyzdžiui, vidinis kvadrato kampas yra 90 laipsnių, taigi išorinis kampas bus 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Kaip matome, jį rasti nėra sunku. Išorinis kampas gali būti atitinkamai nuo +180⁰ iki -180⁰.
Daugiakampis yra geometrinė figūra, kurią iš visų pusių riboja uždara laužyta linija. Šiuo atveju polilinijos nuorodų skaičius neturėtų būti mažesnis nei trys. Kiekviena polilinijos segmentų pora turi bendrą tašką ir sudaro kampus. Kampų skaičius kartu su polilinijos atkarpų skaičiumi yra pagrindinės daugiakampio charakteristikos. Kiekviename daugiakampyje ribojančios uždaros polilinijos nuorodų skaičius yra toks pat kaip kampų skaičius.
Geometrijos kraštinės paprastai vadinamos polilinijos saitais, ribojančiais geometrinį objektą. Viršūnės yra dviejų gretimų kraštų sąlyčio taškai., pagal kurių skaičių daugiakampiai gauna pavadinimus.
Jei uždara laužyta linija susideda iš trijų atkarpų, ji vadinama trikampiu; atitinkamai iš keturių segmentų – keturkampis, iš penkių – penkiakampis ir t.t.
Norėdami pažymėti trikampį arba keturkampį, naudokite didžiąsias lotyniškas raides, žyminčias jo viršūnes. Raidės vadinamos eilės tvarka – pagal laikrodžio rodyklę arba prieš laikrodžio rodyklę.
Pagrindinės sąvokos
Apibūdinant daugiakampio apibrėžimą, reikia atsižvelgti į kai kurias susijusias geometrines sąvokas:
- Jei viršūnės yra tos pačios pusės galai, jos vadinamos kaimynėmis.
- Jei atkarpa jungia negretimas viršūnes, tada ji vadinama įstrižaine. Trikampis negali turėti įstrižainių.
- Vidinis kampas yra kampas vienoje iš viršūnių, kurį sudaro dvi jo kraštinės, susiliejančios šiame taške. Jis visada yra vidinėje geometrinės figūros srityje. Jei daugiakampis yra neišgaubtas, jo dydis gali viršyti 180 laipsnių.
- Išorinis kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, esantis šalia vidinio kampo. Kitaip tariant, išorinis kampas gali būti laikomas skirtumu tarp 180° ir vidinio kampo vertės.
- Visų segmentų verčių suma vadinama perimetru.
- Jei visos kraštinės ir visi kampai yra lygūs, tai vadinama teisinga. Tik išgaubtos gali būti teisingos.
Kaip minėta aukščiau, daugiakampių geometrijų pavadinimai yra pagrįsti viršūnių skaičiumi. Jei figūra jų turi n, ji vadinama n-gon:
- Daugiakampis vadinamas plokščiu, jei jis riboja baigtinę plokštumos dalį. Ši geometrinė figūra gali būti įbrėžta į apskritimą arba apibrėžiama aplink apskritimą.
- N-kampis vadinamas išgaubtu, jei jis atitinka vieną iš toliau nurodytų sąlygų.
- Figūra yra vienoje tiesios linijos, jungiančios dvi gretimas viršūnes, pusėje.
- Ši figūra yra bendra kelių pusiau plokštumų dalis arba sankirta.
- Įstrižainės yra daugiakampio viduje.
- Jei atkarpos galai yra taškuose, kurie priklauso daugiakampiui, jam priklauso visa atkarpa.
- Figūra gali būti vadinama taisyklinga, jei visos jos atkarpos ir visi kampai yra lygūs. Pavyzdžiai yra kvadratas, lygiakraštis trikampis arba taisyklingas penkiakampis.
- Jei n-kampis yra neišgaubtas, visos jo kraštinės ir kampai yra lygūs, o viršūnės sutampa su taisyklingo n-kampio viršūnėmis, jis vadinamas žvaigždiniu. Tokios figūros gali susikirsti. Pavyzdys būtų pentagrama arba heksagrama.
- Sakoma, kad trikampis arba keturkampis yra įrašytas į apskritimą, kai visos jo viršūnės yra tame pačiame apskritime. Jei šios figūros kraštinės turi sąlyčio su apskritimu taškus, tai yra apie kurį nors apskritimą apibrėžtas daugiakampis.
Bet koks išgaubtą n-kampį galima padalyti į trikampius. Šiuo atveju trikampių skaičius yra 2 mažesnis už kraštinių skaičių.
Figūrų tipai
Tai daugiakampis su trimis viršūnėmis ir trimis jas jungiančiais linijos atkarpomis. Šiuo atveju segmentų sujungimo taškai nėra vienoje tiesioje linijoje.
Segmentų sujungimo taškai yra trikampio viršūnės. Pačios atkarpos vadinamos trikampio kraštinėmis. Bendra kiekvieno trikampio vidinių kampų suma yra 180°.
Pagal kraštinių santykį visi trikampiai gali būti suskirstyti į keletą tipų:
- lygiakraštis- kurioje visų segmentų ilgis yra vienodas.
- lygiašoniai Trikampiai, turintys du iš trijų vienodų atkarpų.
- Universalus- jei visų segmentų ilgis skiriasi.
Be to, įprasta atskirti šiuos trikampius:
- Smailaus kampo.
- Stačiakampis.
- bukas.
keturkampis
Keturkampis yra plokščia figūra, turinti 4 viršūnes ir 4 atkarpas, jungiančias jas nuosekliai.
- Jei visi keturkampio kampai yra stačiakampiai, figūra vadinama stačiakampiu.
- Stačiakampis, kurio visos kraštinės yra vienodo dydžio, vadinamas kvadratu.
- Keturkampis, kurio visos kraštinės lygios, vadinamas rombu.
Trys keturkampio viršūnės negali būti toje pačioje tiesėje.
Vaizdo įrašas
Daugiau informacijos apie daugiakampius rasite šiame vaizdo įraše.
Šioje pamokoje pradėsime naują temą ir pristatysime mums naują sąvoką – „daugiakampį“. Apžvelgsime pagrindines sąvokas, susijusias su daugiakampiais: kraštinės, viršūnės, kampai, išgaubtumas ir neišgaubtumas. Tada įrodysime svarbiausius faktus, tokius kaip daugiakampio vidinių kampų sumos teorema, daugiakampio išorinių kampų sumos teorema. Dėl to mes priartėsime prie specialių daugiakampių atvejų, kurie bus svarstomi būsimose pamokose.
Tema: Keturkampiai
Pamoka: Daugiakampiai
Geometrijos eigoje mes tiriame geometrinių formų savybes ir jau apsvarstėme paprasčiausias iš jų: trikampius ir apskritimus. Tuo pačiu metu aptarėme ir konkrečius specialius šių figūrų atvejus, pvz., stačiakampius, lygiašonius ir taisyklingus trikampius. Dabar atėjo laikas kalbėti apie bendresnes ir sudėtingesnes formas - daugiakampiai.
Su specialiu dėklu daugiakampiai mes jau pažįstami – tai trikampis (žr. 1 pav.).
Ryžiai. 1. Trikampis
Jau pats pavadinimas pabrėžia, kad tai figūrėlė, turinti tris kampus. Todėl į poligonas jų gali būti daug, t.y. daugiau nei trys. Pavyzdžiui, nubrėžkime penkiakampį (žr. 2 pav.), t.y. figūra su penkiais kampais.
Ryžiai. 2. Pentagonas. Išgaubtas daugiakampis
Apibrėžimas.Poligonas- figūra, susidedanti iš kelių taškų (daugiau nei dviejų) ir atitinkamo skaičiaus juos nuosekliai jungiančių atkarpų. Šie taškai vadinami viršūnės daugiakampis ir atkarpos - vakarėliams. Šiuo atveju nėra dviejų gretimų kraštų toje pačioje tiesėje ir nėra dviejų negretimų kraštinių susikerta.
Apibrėžimas.taisyklingas daugiakampis yra išgaubtas daugiakampis, kurio visos kraštinės ir kampai yra lygūs.
Bet koks poligonas padalija plokštumą į dvi sritis: vidinę ir išorinę. Interjeras taip pat vadinamas poligonas.
Kitaip tariant, pavyzdžiui, kalbėdami apie penkiakampį, jie turi omenyje ir visą jo vidinį regioną, ir ribą. O vidinė sritis apima ir visus taškus, kurie yra daugiakampio viduje, t.y. taškas taip pat priklauso penkiakampiui (žr. 2 pav.).
Daugiakampiai kartais dar vadinami n-kampiais, siekiant pabrėžti, kad svarstomas bendras atvejis, kai turi nežinomą kampų skaičių (n gabalų).
Apibrėžimas. Daugiakampio perimetras yra daugiakampio kraštinių ilgių suma.
Dabar turime susipažinti su daugiakampių tipais. Jie skirstomi į išgaubtas ir neišgaubtas. Pavyzdžiui, daugiakampis, parodytas Fig. 2 yra išgaubtas, o fig. 3 neišgaubtas.
Ryžiai. 3. Neišgaubtas daugiakampis
1 apibrėžimas. Poligonas paskambino išgaubtas, jei brėžiant tiesią liniją per bet kurią jos pusę, visa poligonas yra tik vienoje šios linijos pusėje. neišgaubtas yra visi likusieji daugiakampiai.
Nesunku įsivaizduoti, kad išplečiant bet kurią penkiakampio pusę Fig. 2 visa tai bus vienoje šios tiesės pusėje, t.y. jis yra išgaubtas. Bet brėžiant tiesią liniją per keturkampį Fig. 3 jau matome, kad ji dalija į dvi dalis, t.y. jis yra neišgaubtas.
Tačiau yra ir kitas daugiakampio išgaubimo apibrėžimas.
2 apibrėžimas. Poligonas paskambino išgaubtas jei, parenkant bet kuriuos du vidinius jos taškus ir sujungiant juos su atkarpa, visi atkarpos taškai kartu yra ir daugiakampio vidiniai taškai.
Šio apibrėžimo naudojimo pavyzdį galima pamatyti segmentų konstravimo pavyzdyje Fig. 2 ir 3.
Apibrėžimas. Įstrižainė Daugiakampis yra bet koks segmentas, jungiantis dvi negretimas viršūnes.
Norint apibūdinti daugiakampių savybes, yra dvi svarbiausios teoremos apie jų kampus: išgaubto daugiakampio vidinio kampo sumos teorema ir išgaubto daugiakampio išorinio kampo sumos teorema. Apsvarstykime juos.
Teorema. Dėl išgaubto daugiakampio vidinių kampų sumos (n-gon).
Kur yra jo kampų (kraštinių) skaičius.
Įrodymas 1. Pavaizduokime pav. 4 išgaubtas n-kampis.
Ryžiai. 4. Išgaubtas n-kampis
Iš viršūnės nubrėžkite visas įmanomas įstrižaines. Jie padalija n kampą į trikampius, nes kiekviena daugiakampio kraštinė sudaro trikampį, išskyrus kraštines, esančias greta viršūnės. Iš paveikslo nesunku pastebėti, kad visų šių trikampių kampų suma bus lygi n kampo vidinių kampų sumai. Kadangi bet kurio trikampio kampų suma yra , n-kampio vidinių kampų suma yra:
Q.E.D.
Įrodymas 2. Galimas ir kitas šios teoremos įrodymas. Panašų n-kampį nubrėžkime pav. 5 ir prijunkite bet kurį iš jo vidinių taškų prie visų viršūnių.
Ryžiai. 5.
Mes gavome n kampo skaidinį į n trikampių (kiek kraštinių, tiek trikampių). Visų jų kampų suma lygi daugiakampio vidinių kampų ir vidinio taško kampų sumai, ir tai yra kampas. Mes turime:
Q.E.D.
Įrodyta.
Pagal įrodytą teoremą matyti, kad n kampo kampų suma priklauso nuo jo kraštinių skaičiaus (ant n). Pavyzdžiui, trikampyje, o kampų suma yra . Keturkampyje, o kampų suma - ir kt.
Teorema. Išgaubto daugiakampio išorinių kampų suma (n-gon).
Kur yra jo kampų (kraštų) skaičius, o , ... yra išoriniai kampai.
Įrodymas. Nubraižykime išgaubtą n-kampį pav. 6 ir pažymėkite jo vidinius ir išorinius kampus.
Ryžiai. 6. Išgaubtas n-kampis su pažymėtais išoriniais kampais
Nes išorinis kampas sujungiamas su vidiniu kaip gretimas, tada ir panašiai kitiems išoriniams kampams. Tada:
Transformacijų metu naudojome jau įrodytą teoremą apie n kampo vidinių kampų sumą.
Įrodyta.
Iš įrodytos teoremos išplaukia įdomus faktas, kad išgaubto n kampo išorinių kampų suma yra lygi ant jo kampų (kraštinių) skaičiaus. Beje, skirtingai nuo vidinių kampų sumos.
Bibliografija
- Aleksandrovas A.D. ir tt Geometrija, 8 klasė. - M.: Švietimas, 2006 m.
- Butuzovas V.F., Kadomcevas S.B., Prasolovas V.V. Geometrija, 8 klasė. - M.: Švietimas, 2011 m.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija, 8 klasė. - M.: VENTANA-GRAF, 2009 m.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Namų darbai