Aralin "Polygons. Uri ng polygons" sa loob ng teknolohiya "Development of critical thinking through reading and writing"
Mga Katangian ng Polygon
Ang polygon ay isang geometric na pigura, kadalasang tinukoy bilang isang saradong polyline na walang mga intersection sa sarili (isang simpleng polygon (Fig. 1a)), ngunit kung minsan ay pinapayagan ang mga self-intersection (kung gayon ang polygon ay hindi simple).
Ang vertices ng polyline ay tinatawag na vertices ng polygon, at ang mga segment ay tinatawag na mga gilid ng polygon. Ang mga vertices ng isang polygon ay tinatawag na mga kapitbahay kung ang mga ito ay ang mga dulo ng isa sa mga gilid nito. Tinatawag na mga diagonal ang mga segment ng linya na nagdudugtong sa mga hindi kalapit na vertices ng isang polygon.
Ang isang anggulo (o panloob na anggulo) ng isang matambok na polygon sa isang naibigay na vertex ay ang anggulo na nabuo ng mga gilid nito na nagtatagpo sa tuktok na ito, at ang anggulo ay isinasaalang-alang mula sa gilid ng polygon. Sa partikular, ang anggulo ay maaaring lumampas sa 180° kung ang polygon ay hindi matambok.
Ang panlabas na anggulo ng isang convex polygon sa isang naibigay na vertex ay ang anggulo na katabi ng panloob na anggulo ng polygon sa tuktok na iyon. Sa pangkalahatan, ang anggulo sa labas ay ang pagkakaiba sa pagitan ng 180° at ang anggulo sa loob. Mula sa bawat vertex ng -gon para sa > 3, mayroong - 3 diagonal, kaya ang kabuuang bilang ng mga diagonal ng -gon ay pantay.
Ang isang polygon na may tatlong vertices ay tinatawag na isang tatsulok, na may apat - isang quadrilateral, na may limang - isang pentagon, at iba pa.
Polygon na may n peaks ay tinatawag n- parisukat.
Ang flat polygon ay isang figure na binubuo ng isang polygon at ang may hangganang bahagi ng lugar na napapaligiran nito.
Ang polygon ay tinatawag na convex kung ang isa sa mga sumusunod (katumbas) na kondisyon ay natutugunan:
- 1. ito ay namamalagi sa isang gilid ng anumang tuwid na linya na nag-uugnay sa mga kalapit na vertice nito. (ibig sabihin, ang mga extension ng mga gilid ng isang polygon ay hindi nagsalubong sa iba pang mga gilid nito);
- 2. ito ay ang intersection (i.e. karaniwang bahagi) ng ilang kalahating eroplano;
- 3. anumang segment na may mga dulo sa mga puntong kabilang sa polygon ay ganap na kabilang dito.
Ang convex polygon ay tinatawag na regular kung ang lahat ng panig ay pantay at ang lahat ng mga anggulo ay pantay, halimbawa, isang equilateral triangle, isang parisukat, at isang pentagon.
Ang isang matambok na polygon ay sinasabing nakasulat tungkol sa isang bilog kung ang lahat ng mga gilid nito ay padaplis sa ilang bilog
Ang regular na polygon ay isang polygon kung saan ang lahat ng mga anggulo at lahat ng panig ay pantay.
Mga katangian ng polygon:
1 Ang bawat dayagonal ng isang convex -gon, kung saan >3, ay nabubulok ito sa dalawang convex polygons.
2 Ang kabuuan ng lahat ng anggulo ng isang convex -gon ay katumbas ng.
D-in: Patunayan natin ang theorem sa pamamagitan ng paraan ng mathematical induction. Para sa = 3 ito ay halata. Ipagpalagay na ang teorama ay totoo para sa isang -gon, kung saan <, at patunayan ito para kay -gon.
Hayaan ay isang ibinigay na polygon. Gumuhit ng dayagonal ng polygon na ito. Sa pamamagitan ng Theorem 3, ang polygon ay nabubulok sa isang tatsulok at isang convex -gon (Larawan 5). Sa pamamagitan ng induction hypothesis. Sa kabilang kamay, . Pagdaragdag ng mga pagkakapantay-pantay na ito at isinasaalang-alang iyon (- panloob na anggulo ng sinag ) at (- panloob na anggulo ng sinag ), makuha natin.Kapag nakuha natin: .
3 Tungkol sa anumang regular na polygon posible na ilarawan ang isang bilog, at higit pa rito, isa lamang.
D-in: Hayaan ang isang regular na polygon, at at maging mga bisector ng mga anggulo, at (Fig. 150). Dahil, samakatuwid, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O. Patunayan natin yan O = OA 2 = O =… = OA P . Tatsulok O isosceles, samakatuwid O= O. Ayon sa pangalawang pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok, samakatuwid, O = O. Katulad nito, ito ay pinatunayan na O = O atbp. Kaya ang punto O equidistant mula sa lahat ng vertices ng polygon, kaya ang bilog na may gitna O radius O ay circumscribed tungkol sa isang polygon.
Patunayan natin ngayon na iisa lang ang naka-circumscribed na bilog. Isaalang-alang ang ilang tatlong vertice ng isang polygon, halimbawa, PERO 2 , . Dahil isang bilog lamang ang dumadaan sa mga puntong ito, pagkatapos ay tungkol sa polygon … Hindi mo maaaring ilarawan ang higit sa isang bilog.
- 4 Sa anumang regular na polygon, maaari kang mag-inscribe ng isang bilog at, bukod dito, isa lamang.
- 5 Ang isang bilog na nakasulat sa isang regular na polygon ay dumadampi sa mga gilid ng polygon sa kanilang mga midpoint.
- 6 Ang gitna ng isang bilog na nakapaligid sa isang regular na polygon ay tumutugma sa gitna ng isang bilog na nakasulat sa parehong polygon.
- 7 Simetrya:
Ang isang pigura ay sinasabing simetriko (symmetric) kung mayroong ganoong paggalaw (hindi magkapareho) na nagbabago sa pigurang ito sa sarili nito.
- 7.1. Ang isang pangkalahatang tatsulok ay walang mga palakol o mga sentro ng simetrya, hindi ito simetriko. Ang isosceles (ngunit hindi equilateral) na tatsulok ay may isang axis ng symmetry: ang perpendicular bisector sa base.
- 7.2. Ang isang equilateral triangle ay may tatlong axes ng symmetry (perpendicular bisectors sa mga gilid) at rotational symmetry sa gitna na may rotation angle na 120°.
7.3 Anumang regular na n-gon ay may n axes ng simetriya, na lahat ay dumadaan sa gitna nito. Mayroon din itong rotational symmetry tungkol sa gitna na may anggulo ng pag-ikot.
Kahit na n ang ilang mga palakol ng mahusay na proporsyon ay dumadaan sa magkasalungat na mga vertice, ang iba ay sa pamamagitan ng mga midpoint ng magkabilang panig.
Para sa kakaiba n bawat axis ay dumadaan sa vertex at midpoint ng kabaligtaran na bahagi.
Ang sentro ng isang regular na polygon na may pantay na bilang ng mga gilid ay ang sentro ng simetrya nito. Ang isang regular na polygon na may kakaibang bilang ng mga gilid ay walang sentro ng simetrya.
8 Pagkakatulad:
May pagkakatulad, at -gon ay napupunta sa isang -gon, kalahating eroplano - sa isang kalahating eroplano, samakatuwid ay matambok n-gon nagiging matambok n-gon.
Theorem: Kung ang mga gilid at anggulo ng convex polygons at natutugunan ang mga pagkakapantay-pantay:
nasaan ang podium coefficient
pagkatapos ay magkatulad ang mga polygon na ito.
- 8.1 Ang ratio ng mga perimeter ng dalawang magkatulad na polygon ay katumbas ng koepisyent ng pagkakatulad.
- 8.2. Ang ratio ng mga lugar ng dalawang matambok na magkatulad na polygon ay katumbas ng parisukat ng koepisyent ng pagkakatulad.
polygon triangle perimeter theorem
Mga Seksyon: Math
Paksa, edad ng mga mag-aaral: geometry, grade 9
Ang layunin ng aralin: ang pag-aaral ng mga uri ng polygons.
Gawain sa pag-aaral: i-update, palawakin at gawing pangkalahatan ang kaalaman ng mga mag-aaral sa mga polygon; bumuo ng isang ideya ng "mga bahagi" ng isang polygon; magsagawa ng pag-aaral ng bilang ng mga elemento ng constituent ng mga regular na polygon (mula sa isang tatsulok hanggang sa n-gon);
Pagbuo ng gawain: upang mabuo ang kakayahang pag-aralan, ihambing, gumawa ng mga konklusyon, bumuo ng mga kasanayan sa computational, oral at nakasulat na pagsasalita sa matematika, memorya, pati na rin ang pagsasarili sa mga aktibidad sa pag-iisip at pag-aaral, ang kakayahang magtrabaho sa mga pares at grupo; bumuo ng mga aktibidad sa pananaliksik at pang-edukasyon;
Pang-edukasyon na gawain: upang turuan ang kalayaan, aktibidad, responsibilidad para sa gawaing itinalaga, tiyaga sa pagkamit ng layunin.
Sa panahon ng mga klase: isang quote ang nakasulat sa pisara
"Ang kalikasan ay nagsasalita ng wika ng matematika, ang mga titik ng wikang ito ... mga numero ng matematika." G. Gallilei
Sa simula ng aralin, ang klase ay nahahati sa mga nagtatrabaho na grupo (sa aming kaso, ang paghahati sa mga grupo ng 4 na tao bawat isa - ang bilang ng mga miyembro ng grupo ay katumbas ng bilang ng mga grupo ng tanong).
1. Yugto ng tawag-
Mga layunin:
a) pag-update ng kaalaman ng mga mag-aaral sa paksa;
b) ang paggising ng interes sa paksang pinag-aaralan, ang pagganyak ng bawat mag-aaral para sa mga aktibidad sa pag-aaral.
Pagtanggap: Ang larong "Naniniwala ka ba na ...", organisasyon ng trabaho na may teksto.
Mga anyo ng trabaho: pangharap, pangkat.
"Naniniwala ka ba dun…."
1. ... ang salitang "polygon" ay nagpapahiwatig na ang lahat ng mga pigura ng pamilyang ito ay may "maraming sulok"?
2. … ang isang tatsulok ay kabilang sa isang malaking pamilya ng mga polygon, na nakikilala sa maraming iba't ibang mga geometric na hugis sa eroplano?
3. …ang parisukat ba ay isang regular na octagon (apat na gilid + apat na sulok)?
Ngayon sa aralin ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga polygon. Nalaman namin na ang figure na ito ay bounded sa pamamagitan ng isang saradong putol na linya, na kung saan ay maaaring maging simple, sarado. Pag-usapan natin ang katotohanan na ang mga polygon ay flat, regular, convex. Ang isa sa mga flat polygon ay isang tatsulok na pamilyar sa iyo sa loob ng mahabang panahon (maaari mong ipakita sa mga mag-aaral ang mga poster na naglalarawan ng mga polygon, isang putol na linya, ipakita ang kanilang iba't ibang uri, maaari mo ring gamitin ang TCO).
2. Yugto ng pag-unawa
Layunin: pagkuha ng bagong impormasyon, pag-unawa nito, pagpili.
Pagtanggap: zigzag.
Mga anyo ng trabaho: indibidwal->pares->grupo.
Ang bawat pangkat ay binibigyan ng isang teksto sa paksa ng aralin, at ang teksto ay idinisenyo sa paraang kasama nito ang parehong impormasyon na alam na ng mga mag-aaral at ganap na bagong impormasyon. Kasama ng teksto, ang mga mag-aaral ay tumatanggap ng mga tanong, ang mga sagot na dapat matagpuan sa tekstong ito.
Mga polygon. Mga uri ng polygon.
Sino ang hindi nakarinig ng mahiwagang Bermuda Triangle, kung saan nawawala ang mga barko at eroplano nang walang bakas? Ngunit ang tatsulok na pamilyar sa amin mula pagkabata ay puno ng maraming kawili-wili at mahiwagang mga bagay.
Bilang karagdagan sa mga uri ng mga tatsulok na kilala na sa amin, na hinati sa mga gilid (scalene, isosceles, equilateral) at mga anggulo (acute-angled, obtuse-angled, right-angled), ang tatsulok ay kabilang sa isang malaking pamilya ng mga polygon na nakikilala mula sa marami. iba't ibang mga geometric na hugis sa eroplano.
Ang salitang "polygon" ay nagpapahiwatig na ang lahat ng mga pigura ng pamilyang ito ay may "maraming sulok". Ngunit hindi ito sapat upang makilala ang pigura.
Isang putol na linya A 1 A 2 ... Ang A n ay isang pigura na binubuo ng mga puntos A 1, A 2, ... A n at mga segment A 1 A 2, A 2 A 3, ... na nagdudugtong sa kanila. Ang mga punto ay tinatawag na vertices ng polyline, at ang mga segment ay tinatawag na mga link ng polyline. (fig.1)
Ang putol na linya ay tinatawag na simple kung wala itong mga intersection sa sarili (Larawan 2,3).
Ang putol na linya ay tinatawag na sarado kung ang mga dulo nito ay magkasabay. Ang haba ng isang putol na linya ay ang kabuuan ng mga haba ng mga link nito (Larawan 4).
Ang isang simpleng saradong putol na linya ay tinatawag na polygon kung ang mga katabing link nito ay hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya (Larawan 5).
Palitan sa salitang "polygon" sa halip na "marami" na bahagi ang isang tiyak na numero, halimbawa 3. Makakakuha ka ng isang tatsulok. O 5. Pagkatapos - isang pentagon. Tandaan na may mga anggulo kasing dami ng mga gilid, kaya ang mga figure na ito ay matatawag na multilateral.
Ang vertices ng polyline ay tinatawag na vertices ng polygon, at ang mga link ng polyline ay tinatawag na mga gilid ng polygon.
Hinahati ng polygon ang eroplano sa dalawang rehiyon: panloob at panlabas (Larawan 6).
Ang isang plane polygon o polygonal na rehiyon ay isang may hangganang bahagi ng isang eroplanong napapaligiran ng isang polygon.
Dalawang vertices ng isang polygon na mga dulo ng parehong gilid ay tinatawag na kapitbahay. Ang mga vertices na hindi mga dulo ng isang gilid ay hindi magkatabi.
Ang isang polygon na may n vertices at samakatuwid ay n panig ay tinatawag na n-gon.
Kahit na ang pinakamaliit na bilang ng mga gilid ng isang polygon ay 3. Ngunit ang mga tatsulok, na nag-uugnay sa isa't isa, ay maaaring bumuo ng iba pang mga hugis, na siya namang mga polygons.
Tinatawag na mga diagonal ang mga segment na nagkokonekta sa mga hindi kalapit na vertices ng isang polygon.
Ang isang polygon ay tinatawag na matambok kung ito ay nasa isang kalahating eroplano na may paggalang sa anumang linya na naglalaman ng gilid nito. Sa kasong ito, ang tuwid na linya mismo ay itinuturing na kabilang sa kalahating eroplano.
Ang anggulo ng isang convex polygon sa isang naibigay na vertex ay ang anggulo na nabuo ng mga gilid nito na nagtatagpo sa tuktok na iyon.
Patunayan natin ang theorem (sa kabuuan ng mga anggulo ng isang convex n-gon): Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex n-gon ay katumbas ng 180 0 *(n - 2).
Patunay. Sa kaso n=3 ang teorama ay wasto. Hayaang ang А 1 А 2 …А n ay isang binigay na convex polygon at n>3. Gumuhit tayo ng mga diagonal dito (mula sa isang vertex). Dahil ang polygon ay matambok, hinahati ito ng mga diagonal sa n - 2 tatsulok. Ang kabuuan ng mga anggulo ng polygon ay kapareho ng kabuuan ng mga anggulo ng lahat ng mga tatsulok na ito. Ang kabuuan ng mga anggulo ng bawat tatsulok ay 180 0, at ang bilang ng mga tatsulok na ito ay n - 2. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok n - anggulo A 1 A 2 ... A n ay 180 0 * ( n - 2). Ang teorama ay napatunayan.
Ang panlabas na anggulo ng isang convex polygon sa isang naibigay na vertex ay ang anggulo na katabi ng panloob na anggulo ng polygon sa tuktok na iyon.
Ang convex polygon ay tinatawag na regular kung ang lahat ng panig ay pantay at ang lahat ng mga anggulo ay pantay.
Kaya ang parisukat ay maaaring tawaging naiiba - isang regular na may apat na gilid. Ang mga equilateral triangle ay regular din. Ang ganitong mga figure ay matagal nang interesado sa mga masters na pinalamutian ang mga gusali. Gumawa sila ng magagandang pattern, halimbawa, sa parquet. Ngunit hindi lahat ng regular na polygon ay maaaring gamitin upang bumuo ng parquet. Ang parquet ay hindi mabuo mula sa mga regular na octagon. Ang katotohanan ay mayroon silang bawat anggulo na katumbas ng 135 0. At kung ang anumang punto ay ang vertex ng dalawang naturang mga octagon, magkakaroon sila ng 270 0, at walang lugar para sa ikatlong octagon na magkasya: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Ngunit sapat na para sa isang parisukat. Samakatuwid, posible na tiklop ang parquet mula sa mga regular na octagon at mga parisukat.
Tama ang mga bituin. Ang aming five-pointed star ay isang regular na pentagonal star. At kung paikutin mo ang parisukat sa paligid ng gitna ng 45 0, makakakuha ka ng regular na octagonal na bituin.
1 pangkat
Ano ang putol na linya? Ipaliwanag kung ano ang mga vertex at link ng isang polyline.
Aling putol na linya ang tinatawag na simple?
Aling putol na linya ang tinatawag na sarado?
Ano ang polygon? Ano ang tawag sa vertex ng polygon? Ano ang mga gilid ng polygon?
2 pangkat
Ano ang isang flat polygon? Magbigay ng mga halimbawa ng polygons.
Ano ang n-gon?
Ipaliwanag kung aling mga vertex ng polygon ang katabi at alin ang hindi.
Ano ang dayagonal ng isang polygon?
3 pangkat
Ano ang convex polygon?
Ipaliwanag kung aling mga sulok ng polygon ang panlabas at alin ang panloob?
Ano ang isang regular na polygon? Magbigay ng mga halimbawa ng mga regular na polygon.
4 na pangkat
Ano ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex n-gon? Patunayan mo.
Ang mga mag-aaral ay nagtatrabaho sa teksto, naghahanap ng mga sagot sa mga tanong na ibinibigay, pagkatapos ay nabuo ang mga ekspertong grupo, kung saan ang gawain ay isinasagawa sa parehong mga isyu: ang mga mag-aaral ay i-highlight ang pangunahing bagay, gumuhit ng isang sumusuportang abstract, nagpapakita ng impormasyon sa isa sa mga mga graphic na anyo. Sa pagtatapos ng gawain, ang mga mag-aaral ay bumalik sa kanilang mga grupo sa pagtatrabaho.
3. Yugto ng pagninilay -
a) pagtatasa ng kanilang kaalaman, hamon sa susunod na hakbang ng kaalaman;
b) pag-unawa at paglalaan ng natanggap na impormasyon.
Pagtanggap: gawaing pananaliksik.
Mga anyo ng trabaho: indibidwal->pares->grupo.
Ang mga nagtatrabahong grupo ay mga eksperto sa mga sagot sa bawat seksyon ng mga iminungkahing tanong.
Pagbabalik sa nagtatrabaho na grupo, ipinakilala ng eksperto ang iba pang miyembro ng grupo na may mga sagot sa kanilang mga tanong. Sa grupo mayroong pagpapalitan ng impormasyon ng lahat ng miyembro ng working group. Kaya, sa bawat pangkat ng pagtatrabaho, salamat sa gawain ng mga eksperto, isang pangkalahatang ideya ang nabuo sa paksang pinag-aaralan.
Pananaliksik ng mga mag-aaral - pagpuno sa talahanayan.
Mga regular na polygon | Pagguhit | Bilang ng mga panig | Bilang ng mga taluktok | Kabuuan ng lahat ng panloob na anggulo | Degree measure int. anggulo | Degree na sukat ng panlabas na anggulo | Bilang ng mga dayagonal |
A) isang tatsulok | |||||||
B) may apat na gilid | |||||||
B) limang-pader | |||||||
D) heksagono | |||||||
E) n-gon |
Paglutas ng mga kawili-wiling suliranin sa paksa ng aralin.
- Sa quadrilateral, gumuhit ng isang linya upang ito ay hatiin sa tatlong tatsulok.
- Ilang panig mayroon ang isang regular na polygon, na ang bawat isa ay ang mga panloob na anggulo ay katumbas ng 135 0 ?
- Sa isang tiyak na polygon, ang lahat ng mga panloob na anggulo ay pantay sa bawat isa. Ang kabuuan ba ng mga panloob na anggulo ng polygon na ito ay: 360 0 , 380 0 ?
Pagbubuod ng aralin. Pagre-record ng takdang-aralin.
Triangle, square, hexagon - ang mga figure na ito ay kilala sa halos lahat. Ngunit hindi alam ng lahat kung ano ang isang regular na polygon. Ngunit ito ay ang lahat ng parehong Regular polygon ay tinatawag na ang isa na may pantay na mga anggulo at gilid. Mayroong maraming mga naturang figure, ngunit lahat sila ay may parehong mga katangian, at ang parehong mga formula ay nalalapat sa kanila.
Mga katangian ng mga regular na polygon
Anumang regular na polygon, ito man ay isang parisukat o isang octagon, ay maaaring isulat sa isang bilog. Ang pangunahing pag-aari na ito ay kadalasang ginagamit kapag gumagawa ng isang pigura. Bilang karagdagan, ang isang bilog ay maaari ding nakasulat sa isang polygon. Sa kasong ito, ang bilang ng mga punto ng contact ay magiging katumbas ng bilang ng mga panig nito. Mahalaga na ang isang bilog na nakasulat sa isang regular na polygon ay magkakaroon ng isang karaniwang sentro kasama nito. Ang mga geometric na figure na ito ay napapailalim sa parehong theorems. Anumang panig ng isang regular na n-gon ay nauugnay sa radius R ng circumscribed na bilog sa paligid nito. Samakatuwid, maaari itong kalkulahin gamit ang sumusunod na formula: a = 2R ∙ sin180°. Sa pamamagitan ng maaari mong mahanap hindi lamang ang mga gilid, ngunit din ang perimeter ng polygon.
Paano mahahanap ang bilang ng mga gilid ng isang regular na polygon
Ang sinuman ay binubuo ng isang tiyak na bilang ng mga segment na katumbas ng bawat isa, na, kapag konektado, ay bumubuo ng isang saradong linya. Sa kasong ito, ang lahat ng mga sulok ng nabuo na figure ay may parehong halaga. Ang mga polygon ay nahahati sa simple at kumplikado. Kasama sa unang pangkat ang isang tatsulok at isang parisukat. Ang mga kumplikadong polygon ay may mas maraming panig. Kasama rin sa mga ito ang mga figure na hugis bituin. Para sa mga kumplikadong regular na polygon, ang mga gilid ay matatagpuan sa pamamagitan ng pag-inscribe sa kanila sa isang bilog. Bigyan natin ng patunay. Gumuhit ng isang regular na polygon na may arbitrary na bilang ng mga gilid n. Ilarawan ang isang bilog sa paligid nito. Tukuyin ang radius R. Ngayon isipin na ang ilang n-gon ay ibinigay. Kung ang mga punto ng mga anggulo nito ay nasa isang bilog at pantay-pantay sa isa't isa, kung gayon ang mga panig ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: a = 2R ∙ sinα: 2.
Paghahanap ng bilang ng mga gilid ng isang nakasulat na right triangle
Ang isang equilateral triangle ay isang regular na polygon. Ang parehong mga formula ay nalalapat dito bilang sa parisukat at ang n-gon. Ang isang tatsulok ay ituturing na tama kung ito ay may parehong haba na mga gilid. Sa kasong ito, ang mga anggulo ay 60⁰. Bumuo ng tatsulok na may ibinigay na haba ng gilid a. Alam ang median at taas nito, mahahanap mo ang halaga ng mga gilid nito. Upang gawin ito, gagamitin namin ang paraan ng paghahanap sa pamamagitan ng formula a \u003d x: cosα, kung saan ang x ay ang median o taas. Dahil ang lahat ng panig ng tatsulok ay pantay, nakukuha natin ang a = b = c. Kung gayon ang sumusunod na pahayag ay totoo: a = b = c = x: cosα. Katulad nito, mahahanap mo ang halaga ng mga gilid sa isang isosceles triangle, ngunit ang x ang magiging ibinigay na taas. Kasabay nito, dapat itong mai-project nang mahigpit sa base ng figure. Kaya, alam ang taas x, nakita namin ang gilid a ng isang isosceles triangle gamit ang formula a \u003d b \u003d x: cosα. Matapos mahanap ang halaga ng a, maaari mong kalkulahin ang haba ng base c. Ilapat natin ang Pythagorean theorem. Hahanapin natin ang halaga ng kalahati ng base c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α): cos^2α = x ∙ tgα. Pagkatapos c = 2xtanα. Sa simpleng paraan, mahahanap mo ang bilang ng mga gilid ng anumang naka-inscribe na polygon.
Kinakalkula ang mga gilid ng isang parisukat na nakasulat sa isang bilog
Tulad ng anumang iba pang nakasulat na regular na polygon, ang isang parisukat ay may pantay na panig at anggulo. Ang parehong mga formula ay nalalapat dito bilang sa tatsulok. Maaari mong kalkulahin ang mga gilid ng isang parisukat gamit ang halaga ng dayagonal. Isaalang-alang natin ang pamamaraang ito nang mas detalyado. Ito ay kilala na ang dayagonal ay hinahati ang anggulo. Sa una, ang halaga nito ay 90 degrees. Kaya, pagkatapos ng paghahati, dalawa ang nabuo.Ang kanilang mga anggulo sa base ay magiging katumbas ng 45 degrees. Alinsunod dito, ang bawat panig ng parisukat ay magiging pantay, iyon ay: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kung saan ang e ay ang dayagonal ng parisukat, o ang base ng ang tamang tatsulok na nabuo pagkatapos ng paghahati. Hindi ito ang tanging paraan upang mahanap ang mga gilid ng isang parisukat. Isulat natin ang pigurang ito sa isang bilog. Alam ang radius ng bilog na ito R, nakita namin ang gilid ng parisukat. Kakalkulahin namin ito bilang mga sumusunod a4 = R√2. Ang radii ng mga regular na polygon ay kinakalkula ng formula R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), kung saan ang a ay ang haba ng gilid.
Paano makalkula ang perimeter ng isang n-gon
Ang perimeter ng isang n-gon ay ang kabuuan ng lahat ng panig nito. Madali itong kalkulahin. Upang gawin ito, kailangan mong malaman ang mga halaga ng lahat ng panig. Para sa ilang uri ng polygons, may mga espesyal na formula. Pinapayagan ka nilang mahanap ang perimeter nang mas mabilis. Ito ay kilala na ang anumang regular na polygon ay may pantay na panig. Samakatuwid, upang makalkula ang perimeter nito, sapat na malaman ang hindi bababa sa isa sa kanila. Ang formula ay depende sa bilang ng mga gilid ng figure. Sa pangkalahatan, ganito ang hitsura nito: P \u003d an, kung saan ang a ay ang halaga ng gilid, at n ang bilang ng mga anggulo. Halimbawa, upang mahanap ang perimeter ng isang regular na octagon na may gilid na 3 cm, kailangan mong i-multiply ito ng 8, iyon ay, P = 3 ∙ 8 = 24 cm Para sa isang hexagon na may gilid na 5 cm, kinakalkula namin tulad ng sumusunod: P = 5 ∙ 6 = 30 cm At kaya para sa bawat polygon.
Paghahanap ng perimeter ng isang paralelogram, parisukat at rhombus
Depende sa kung gaano karaming mga gilid ang isang regular na polygon, ang perimeter nito ay kinakalkula. Ginagawa nitong mas madali ang gawain. Sa katunayan, hindi tulad ng iba pang mga figure, sa kasong ito ay hindi kinakailangan na hanapin ang lahat ng panig nito, isa lamang ay sapat na. Sa pamamagitan ng parehong prinsipyo, nakita namin ang perimeter ng quadrangles, iyon ay, isang parisukat at isang rhombus. Sa kabila ng katotohanan na ang mga ito ay magkaibang mga figure, ang formula para sa kanila ay pareho P = 4a, kung saan ang a ay ang gilid. Kumuha tayo ng isang halimbawa. Kung ang gilid ng isang rhombus o parisukat ay 6 cm, pagkatapos ay makikita natin ang perimeter tulad ng sumusunod: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Ang parallelogram ay may magkabilang panig lamang. Samakatuwid, ang perimeter nito ay matatagpuan gamit ang ibang paraan. Kaya, kailangan nating malaman ang haba a at ang lapad b ng pigura. Pagkatapos ay inilalapat namin ang formula P \u003d (a + c) ∙ 2. Ang isang paralelogram, kung saan ang lahat ng panig at anggulo sa pagitan nila ay pantay, ay tinatawag na rhombus.
Paghahanap ng perimeter ng isang equilateral at right triangle
Ang perimeter ng tama ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula P \u003d 3a, kung saan ang a ay ang haba ng gilid. Kung ito ay hindi kilala, ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng median. Sa isang tamang tatsulok, dalawang panig lamang ang pantay. Ang batayan ay matatagpuan sa pamamagitan ng Pythagorean theorem. Matapos malaman ang mga halaga ng lahat ng tatlong panig, kinakalkula namin ang perimeter. Maaari itong matagpuan sa pamamagitan ng paglalapat ng formula P \u003d a + b + c, kung saan ang a at b ay pantay na panig, at c ang base. Alalahanin na sa isang isosceles triangle a \u003d b \u003d a, samakatuwid, a + b \u003d 2a, pagkatapos ay P \u003d 2a + c. Halimbawa, ang gilid ng isosceles triangle ay 4 cm, hanapin ang base at perimeter nito. Kinakalkula namin ang halaga ng hypotenuse ayon sa Pythagorean theorem c \u003d √a 2 + sa 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5.65 cm. Ngayon kinakalkula namin ang perimeter P \u003d 2 ∙ 5 \ + 5. u003d 13.65 cm.
Paano mahanap ang mga anggulo ng isang regular na polygon
Ang isang regular na polygon ay nangyayari sa ating buhay araw-araw, halimbawa, isang ordinaryong parisukat, tatsulok, octagon. Mukhang wala nang mas madali kaysa sa pagbuo ng figure na ito sa iyong sarili. Ngunit ito ay sa unang tingin lamang. Upang makabuo ng anumang n-gon, kailangan mong malaman ang halaga ng mga anggulo nito. Ngunit paano mo sila mahahanap? Kahit na ang mga siyentipiko noong unang panahon ay sinubukang bumuo ng mga regular na polygon. Nahulaan nilang magkasya sila sa mga bilog. At pagkatapos ay ang mga kinakailangang punto ay minarkahan dito, na konektado sa pamamagitan ng mga tuwid na linya. Para sa mga simpleng figure, ang problema sa konstruksiyon ay nalutas na. Ang mga formula at theorems ay nakuha. Halimbawa, si Euclid sa kanyang sikat na akda na "The Beginning" ay nakikibahagi sa paglutas ng mga problema para sa 3-, 4-, 5-, 6- at 15-gons. Nakahanap siya ng mga paraan upang mabuo ang mga ito at maghanap ng mga anggulo. Tingnan natin kung paano ito gagawin para sa isang 15-gon. Una kailangan mong kalkulahin ang kabuuan ng mga panloob na anggulo nito. Kinakailangang gamitin ang formula S = 180⁰(n-2). Kaya, binibigyan tayo ng 15-gon, na nangangahulugan na ang numero n ay 15. Pinapalitan natin ang data na alam natin sa formula at makuha ang S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Natagpuan namin ang kabuuan ng lahat ng panloob na anggulo ng isang 15-gon. Ngayon kailangan nating makuha ang halaga ng bawat isa sa kanila. Mayroong 15 anggulo sa kabuuan. Ginagawa namin ang pagkalkula ng 2340⁰: 15 = 156⁰. Nangangahulugan ito na ang bawat panloob na anggulo ay 156⁰, ngayon gamit ang isang ruler at isang compass, maaari kang bumuo ng isang regular na 15-gon. Ngunit ano ang tungkol sa mas kumplikadong n-gons? Sa loob ng maraming siglo, ang mga siyentipiko ay nagpupumilit na lutasin ang problemang ito. Natagpuan lamang ito noong ika-18 siglo ni Carl Friedrich Gauss. Nakagawa siya ng isang 65537-gon. Simula noon, ang problema ay opisyal na itinuturing na ganap na nalutas.
Pagkalkula ng mga anggulo ng n-gons sa radians
Siyempre, may ilang mga paraan upang mahanap ang mga sulok ng mga polygon. Kadalasan sila ay kinakalkula sa mga degree. Ngunit maaari mo ring ipahayag ang mga ito sa radians. Paano ito gagawin? Ito ay kinakailangan upang magpatuloy bilang mga sumusunod. Una, nalaman namin ang bilang ng mga gilid ng isang regular na polygon, pagkatapos ay ibawas ang 2 mula dito, kaya, nakukuha namin ang halaga: n - 2. I-multiply ang pagkakaiba na natagpuan sa numero n ("pi" \u003d 3.14). Ngayon ay nananatili lamang na hatiin ang nagresultang produkto sa bilang ng mga anggulo sa n-gon. Isaalang-alang ang mga kalkulasyong ito gamit ang halimbawa ng parehong labinlimang panig. Kaya, ang bilang n ay 15. Ilapat natin ang formula S = p(n - 2) : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72. Siyempre, hindi ito ang tanging paraan upang makalkula ang isang anggulo sa mga radian. Maaari mo lamang hatiin ang laki ng anggulo sa mga degree sa bilang na 57.3. Pagkatapos ng lahat, ang maraming degree na iyon ay katumbas ng isang radian.
Pagkalkula ng halaga ng mga anggulo sa mga degree
Bilang karagdagan sa mga degree at radian, maaari mong subukang hanapin ang halaga ng mga anggulo ng isang regular na polygon sa mga grad. Ginagawa ito sa sumusunod na paraan. Ibawas ang 2 mula sa kabuuang bilang ng mga anggulo, hatiin ang nagresultang pagkakaiba sa bilang ng mga gilid ng isang regular na polygon. I-multiply namin ang resulta na natagpuan sa pamamagitan ng 200. Sa pamamagitan ng paraan, ang naturang yunit ng pagsukat ng mga anggulo bilang mga degree ay halos hindi ginagamit.
Pagkalkula ng mga panlabas na sulok ng n-gons
Para sa anumang regular na polygon, bilang karagdagan sa panloob, maaari mo ring kalkulahin ang panlabas na anggulo. Ang halaga nito ay matatagpuan sa parehong paraan tulad ng para sa iba pang mga figure. Kaya, upang mahanap ang panlabas na sulok ng isang regular na polygon, kailangan mong malaman ang halaga ng panloob. Dagdag pa, alam natin na ang kabuuan ng dalawang anggulong ito ay palaging 180 degrees. Samakatuwid, ginagawa namin ang mga kalkulasyon tulad ng sumusunod: 180⁰ minus ang halaga ng panloob na anggulo. Natagpuan namin ang pagkakaiba. Ito ay magiging katumbas ng halaga ng anggulo na katabi nito. Halimbawa, ang panloob na sulok ng isang parisukat ay 90 degrees, kaya ang panlabas na anggulo ay magiging 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Tulad ng nakikita natin, hindi mahirap hanapin ito. Ang panlabas na anggulo ay maaaring tumagal ng halaga mula +180⁰ hanggang, ayon sa pagkakabanggit, -180⁰.
Ang polygon ay isang geometric na pigura na nakatali sa lahat ng panig ng isang saradong putol na linya. Sa kasong ito, ang bilang ng mga link ng polyline ay hindi dapat mas mababa sa tatlo. Ang bawat pares ng mga polyline segment ay may isang karaniwang punto at bumubuo ng mga anggulo. Ang bilang ng mga sulok, kasama ang bilang ng mga polyline segment, ay ang mga pangunahing katangian ng isang polygon. Sa bawat polygon, ang bilang ng mga link ng boundary closed polyline ay pareho sa bilang ng mga sulok.
Ang mga gilid sa geometry ay karaniwang tinatawag na mga link ng isang polyline na naglilimita sa isang geometric na bagay. Ang mga vertices ay ang mga punto ng pakikipag-ugnay sa pagitan ng dalawang magkatabing panig., sa bilang kung aling mga polygon ang nakakuha ng kanilang mga pangalan.
Kung ang isang saradong putol na linya ay binubuo ng tatlong mga segment, ito ay tinatawag na isang tatsulok; ayon sa pagkakabanggit, mula sa apat na mga segment - isang quadrangle, mula sa lima - isang pentagon, atbp.
Upang magtalaga ng isang tatsulok o may apat na gilid, gumamit ng malalaking titik na Latin na nagsasaad ng mga vertice nito. Ang mga titik ay tinatawag sa pagkakasunud-sunod - clockwise o counterclockwise.
Pangunahing konsepto
Kapag inilalarawan ang kahulugan ng isang polygon, dapat isaalang-alang ang ilang kaugnay na geometric na konsepto:
- Kung ang mga vertices ay mga dulo ng parehong gilid, sila ay tinatawag na mga kapitbahay.
- Kung ang isang segment ay nag-uugnay sa mga hindi kalapit na vertice, kung gayon ito ay tinatawag na dayagonal. Ang isang tatsulok ay hindi maaaring magkaroon ng mga dayagonal.
- Ang panloob na anggulo ay isang anggulo sa isa sa mga vertices, na nabuo sa pamamagitan ng dalawang panig nito na nagtatagpo sa puntong ito. Ito ay palaging matatagpuan sa panloob na rehiyon ng geometric figure. Kung ang polygon ay hindi matambok, ang laki nito ay maaaring lumampas sa 180 degrees.
- Ang panlabas na anggulo sa isang partikular na vertex ay ang anggulo na katabi ng panloob na anggulo dito. Sa madaling salita, ang panlabas na anggulo ay maaaring ituring na pagkakaiba sa pagitan ng 180° at ang halaga ng panloob na anggulo.
- Ang kabuuan ng mga halaga ng lahat ng mga segment ay tinatawag na perimeter.
- Kung ang lahat ng panig at lahat ng mga anggulo ay pantay, ito ay tinatawag na tama. Ang mga matambok lamang ang maaaring tama.
Tulad ng nabanggit sa itaas, ang mga pangalan ng polygonal geometries ay batay sa bilang ng mga vertices. Kung ang isang pigura ay may n sa kanila, ito ay tinatawag n-gon:
- Ang polygon ay tinatawag na flat kung nililimitahan nito ang may hangganang bahagi ng eroplano. Ang geometric na figure na ito ay maaaring isulat sa isang bilog o circumscribe sa paligid ng isang bilog.
- Ang n-gon ay tinatawag na convex kung ito ay nakakatugon sa isa sa mga kundisyon sa ibaba.
- Ang figure ay matatagpuan sa isang gilid ng isang tuwid na linya na nag-uugnay sa dalawang katabing vertices.
- Ang figure na ito ay nagsisilbing isang karaniwang bahagi o intersection ng ilang kalahating eroplano.
- Ang mga diagonal ay matatagpuan sa loob ng polygon.
- Kung ang mga dulo ng segment ay matatagpuan sa mga puntong kabilang sa polygon, ang buong segment ay kabilang dito.
- Ang isang pigura ay matatawag na regular kung ang lahat ng mga segment nito at lahat ng mga anggulo ay pantay. Ang mga halimbawa ay isang parisukat, isang equilateral triangle, o isang regular na pentagon.
- Kung ang isang n-gon ay hindi matambok, ang lahat ng mga gilid at anggulo nito ay pantay, at ang mga vertices ay nag-tutugma sa mga nasa isang regular na n-gon, ito ay tinatawag na stellated. Ang mga nasabing figure ay maaaring may mga intersection sa sarili. Ang isang halimbawa ay isang pentagram o isang hexagram.
- Ang isang tatsulok o may apat na gilid ay sinasabing nakasulat sa isang bilog kapag ang lahat ng mga vertices nito ay matatagpuan sa loob ng parehong bilog. Kung ang mga gilid ng figure na ito ay may mga punto ng contact sa bilog, ito ay isang polygon na nakapaligid sa ilang bilog.
Anuman ang isang convex n-gon ay maaaring hatiin sa mga tatsulok. Sa kasong ito, ang bilang ng mga tatsulok ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga gilid sa pamamagitan ng 2.
Mga uri ng figure
Ito ay isang polygon na may tatlong vertices at tatlong line segment na nag-uugnay sa kanila. Sa kasong ito, ang mga punto ng koneksyon ng mga segment ay hindi namamalagi sa isang tuwid na linya.
Ang mga punto ng koneksyon ng mga segment ay tatsulok na vertex. Ang mga segment mismo ay tinatawag na mga gilid ng tatsulok. Ang kabuuang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng bawat tatsulok ay 180°.
Ayon sa mga ratios sa pagitan ng mga gilid, ang lahat ng mga tatsulok ay maaaring nahahati sa maraming uri:
- equilateral- kung saan ang haba ng lahat ng mga segment ay pareho.
- isosceles Mga tatsulok na may dalawa sa tatlong pantay na segment.
- Maraming nalalaman- kung ang haba ng lahat ng mga segment ay iba.
Bilang karagdagan, kaugalian na makilala ang mga sumusunod na tatsulok:
- Acute-angled.
- Parihaba.
- mahina ang isip.
may apat na gilid
Ang quadrilateral ay isang flat figure na may 4 na vertices at 4 na segment na nag-uugnay sa kanila sa serye.
- Kung ang lahat ng sulok ng quadrilateral ay mga tamang anggulo, ang pigura ay tinatawag na parihaba.
- Ang isang parihaba kung saan ang lahat ng panig ay magkapareho ang laki ay tinatawag na parisukat.
- Ang isang may apat na gilid na pantay ang lahat ng panig ay tinatawag na rhombus.
Ang tatlong vertices ng isang quadrilateral ay hindi maaaring magsinungaling sa parehong tuwid na linya.
Video
Makakahanap ka ng higit pang impormasyon tungkol sa mga polygon sa video na ito.
Sa araling ito, magsisimula tayo ng bagong paksa at magpapakilala ng bagong konsepto para sa atin - isang "polygon". Titingnan natin ang mga pangunahing konsepto na nauugnay sa mga polygon: mga gilid, vertices, sulok, convexity at non-convexity. Pagkatapos ay patunayan natin ang pinakamahalagang katotohanan, tulad ng theorem sa kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang polygon, ang theorem sa kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang polygon. Bilang resulta, malapit na tayong mag-aral ng mga espesyal na kaso ng polygons, na isasaalang-alang sa mga susunod na aralin.
Tema: Quadrangles
Aralin: Polygons
Sa kurso ng geometry, pinag-aaralan namin ang mga katangian ng mga geometric na hugis at isinasaalang-alang na ang pinakasimpleng sa kanila: mga tatsulok at bilog. Kasabay nito, tinalakay din namin ang mga partikular na espesyal na kaso ng mga figure na ito, tulad ng right-angled, isosceles at regular na triangles. Ngayon ay oras na upang pag-usapan ang tungkol sa mas pangkalahatan at kumplikadong mga hugis - polygons.
Sa isang espesyal na kaso polygons pamilyar na tayo - ito ay isang tatsulok (tingnan ang Fig. 1).
kanin. 1. Tatsulok
Ang pangalan mismo ay binibigyang diin na ito ay isang pigura na may tatlong sulok. Samakatuwid, sa polygon maaaring marami sa kanila, i.e. higit sa tatlo. Halimbawa, gumuhit tayo ng pentagon (tingnan ang Fig. 2), i.e. figure na may limang sulok.
kanin. 2. Pentagon. Matambok na polygon
Kahulugan.Polygon- isang figure na binubuo ng ilang mga puntos (higit sa dalawa) at ang kaukulang bilang ng mga segment na kumokonekta sa kanila sa serye. Ang mga puntong ito ay tinatawag mga taluktok polygon, at mga segment - mga partido. Sa kasong ito, walang dalawang magkatabing gilid ang nakahiga sa parehong tuwid na linya at walang dalawang hindi magkatabing panig na nagsalubong.
Kahulugan.regular na polygon ay isang matambok na polygon kung saan ang lahat ng panig at anggulo ay pantay.
Anuman polygon hinahati ang eroplano sa dalawang rehiyon: panloob at panlabas. Ang panloob ay tinutukoy din bilang polygon.
Sa madaling salita, halimbawa, kapag pinag-uusapan nila ang tungkol sa isang pentagon, ang ibig nilang sabihin ay ang buong panloob na rehiyon at ang hangganan nito. At ang panloob na lugar ay kasama rin ang lahat ng mga punto na nasa loob ng polygon, i.e. ang punto ay kabilang din sa pentagon (tingnan ang Fig. 2).
Ang mga polygon ay minsan ay tinatawag ding n-gons upang bigyang-diin na ang pangkalahatang kaso ng pagkakaroon ng ilang hindi kilalang bilang ng mga sulok (n piraso) ay isinasaalang-alang.
Kahulugan. Polygon Perimeter ay ang kabuuan ng mga haba ng mga gilid ng polygon.
Ngayon kailangan nating makilala ang mga uri ng polygons. Sila ay nahahati sa matambok at hindi matambok. Halimbawa, ang polygon na ipinapakita sa Fig. 2 ay matambok, at sa Fig. 3 hindi matambok.
kanin. 3. Non-convex polygon
Kahulugan 1. Polygon tinawag matambok, kung kapag gumuhit ng isang tuwid na linya sa alinman sa mga gilid nito, ang kabuuan polygon namamalagi lamang sa isang gilid ng linyang ito. hindi matambok ay ang lahat ng natitira polygons.
Madaling isipin na kapag pinalawak ang anumang panig ng pentagon sa Fig. 2 lahat ito ay nasa isang gilid ng tuwid na linyang ito, i.e. matambok siya. Ngunit kapag gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng quadrilateral sa Fig. 3 nakita na natin na hinahati ito sa dalawang bahagi, i.e. siya ay hindi matambok.
Ngunit may isa pang kahulugan ng convexity ng isang polygon.
Kahulugan 2. Polygon tinawag matambok kung, kapag pumipili ng alinman sa dalawa sa mga panloob na punto nito at ikinonekta ang mga ito sa isang segment, ang lahat ng mga punto ng segment ay mga panloob na punto din ng polygon.
Ang isang pagpapakita ng paggamit ng kahulugan na ito ay makikita sa halimbawa ng pagbuo ng mga segment sa Fig. 2 at 3.
Kahulugan. dayagonal Ang polygon ay anumang segment na nag-uugnay sa dalawang di-katabing vertices.
Upang ilarawan ang mga katangian ng mga polygon, mayroong dalawang pinakamahalagang teorema tungkol sa kanilang mga anggulo: convex polygon interior angle sum theorem at convex polygon exterior angle sum theorem. Isaalang-alang natin sila.
Teorama. Sa kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang convex polygon (n-gon).
Nasaan ang bilang ng mga anggulo nito (mga gilid).
Patunay 1. Ilarawan natin sa Fig. 4 matambok n-gon.
kanin. 4. Matambok n-gon
Iguhit ang lahat ng posibleng diagonal mula sa vertex. Hinahati nila ang n-gon sa mga tatsulok, dahil bawat isa sa mga gilid ng polygon ay bumubuo ng isang tatsulok, maliban sa mga gilid na katabi ng vertex. Madaling makita mula sa pigura na ang kabuuan ng mga anggulo ng lahat ng mga tatsulok na ito ay magiging katumbas lamang ng kabuuan ng mga panloob na anggulo ng n-gon. Dahil ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay , kung gayon ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang n-gon ay:
Q.E.D.
Patunay 2. Posible rin ang isa pang patunay ng theorem na ito. Gumuhit tayo ng katulad na n-gon sa Fig. 5 at ikonekta ang alinman sa mga panloob na punto nito sa lahat ng vertice.
kanin. 5.
Nakakuha kami ng partition ng isang n-gon sa n triangles (ilang panig, napakaraming triangles). Ang kabuuan ng lahat ng kanilang mga anggulo ay katumbas ng kabuuan ng mga panloob na anggulo ng polygon at ang kabuuan ng mga anggulo sa panloob na punto, at ito ang anggulo. Meron kami:
Q.E.D.
Napatunayan.
Ayon sa napatunayang teorama, makikita na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang n-gon ay nakasalalay sa bilang ng mga panig nito (sa n). Halimbawa, sa isang tatsulok, at ang kabuuan ng mga anggulo ay . Sa isang quadrilateral, at ang kabuuan ng mga anggulo - atbp.
Teorama. Sa kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang convex polygon (n-gon).
Nasaan ang bilang ng mga sulok nito (mga gilid), at , ..., ay mga panlabas na sulok.
Patunay. Gumuhit tayo ng convex n-gon sa Fig. 6 at tukuyin ang panloob at panlabas na mga anggulo nito.
kanin. 6. Convex n-gon na may markang panlabas na sulok
kasi ang panlabas na sulok ay konektado sa panloob bilang katabi, pagkatapos at katulad din para sa iba pang mga panlabas na sulok. Pagkatapos:
Sa panahon ng mga pagbabagong-anyo, ginamit namin ang napatunayang teorama sa kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang n-gon.
Napatunayan.
Mula sa napatunayang teorama ay sumusunod sa isang kawili-wiling katotohanan na ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang matambok n-gon ay katumbas ng sa bilang ng mga anggulo nito (mga gilid). Sa pamamagitan ng paraan, hindi katulad ng kabuuan ng mga panloob na anggulo.
Bibliograpiya
- Aleksandrov A.D. atbp. Geometry, grade 8. - M.: Edukasyon, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometry, ika-8 baitang. - M.: Edukasyon, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometry, ika-8 baitang. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com().
Takdang aralin