Nodarbība "Daudzstūri. Daudzstūru veidi" tehnoloģijas "Kritiskās domāšanas attīstība caur lasīšanu un rakstīšanu" ietvaros
Daudzstūra īpašības
Daudzstūris ir ģeometriska figūra, ko parasti definē kā slēgtu polilīniju bez paškrustojumiem (vienkāršs daudzstūris (1.a att.)), bet dažreiz ir pieļaujami paškrustojumi (tad daudzstūris nav vienkāršs).
Polilīnijas virsotnes sauc par daudzstūra virsotnēm, un nogriežņus sauc par daudzstūra malām. Daudzstūra virsotnes sauc par kaimiņiem, ja tās ir vienas no tā malas gali. Līniju segmentus, kas savieno daudzstūra virsotnes, kas nav blakus esošajām virsotnēm, sauc par diagonālēm.
Izliekta daudzstūra leņķis (vai iekšējais leņķis) noteiktā virsotnē ir leņķis, ko veido tā malas, kas saplūst šajā virsotnē, un leņķis tiek uzskatīts no daudzstūra malas. Jo īpaši leņķis var pārsniegt 180°, ja daudzstūris nav izliekts.
Izliekta daudzstūra ārējais leņķis noteiktā virsotnē ir leņķis, kas atrodas blakus daudzstūra iekšējam leņķim šajā virsotnē. Kopumā ārējais leņķis ir starpība starp 180° un iekšējo leņķi. No katras -gon virsotnes, ja > 3, ir - 3 diagonāles, tāpēc kopējais -gon diagonāļu skaits ir vienāds.
Daudzstūri ar trim virsotnēm sauc par trīsstūri, ar četrām - par četrstūri, ar piecām - par piecstūri utt.
Daudzstūris ar n virsotnes sauc n- kvadrāts.
Plakans daudzstūris ir figūra, kas sastāv no daudzstūra un tā ierobežotās apgabala galīgās daļas.
Daudzstūri sauc par izliektu, ja ir izpildīts viens no šiem (ekvivalents) nosacījumiem:
- 1. tas atrodas vienā pusē jebkurai taisnei, kas savieno tās blakus esošās virsotnes. (t.i., daudzstūra malu paplašinājumi nekrustojas tā pārējās malas);
- 2. tā ir vairāku pusplakņu krustpunkts (t.i., kopējā daļa);
- 3. jebkurš segments ar galiem punktos, kas pieder daudzstūrim, pilnībā pieder tam.
Izliektu daudzstūri sauc par regulāru, ja visas malas ir vienādas un visi leņķi ir vienādi, piemēram, vienādmalu trīsstūris, kvadrāts un piecstūris.
Tiek uzskatīts, ka izliekts daudzstūris ir ierakstīts ap apli, ja visas tā malas ir pieskares kādam aplim
Parasts daudzstūris ir daudzstūris, kurā visi leņķi un malas ir vienādas.
Daudzstūru īpašības:
1 Katra izliekta -stūra diagonāle, kur >3, sadala to divos izliektos daudzstūros.
2 Izliekta stūra visu leņķu summa ir vienāda ar.
D-in: Pierādīsim teorēmu ar matemātiskās indukcijas metodi. Ja = 3, tas ir acīmredzams. Pieņemsim, ka teorēma ir patiesa -gon, kur <, un pierādīt to par -gon.
Ļaut ir dots daudzstūris. Uzzīmējiet šī daudzstūra diagonāli. Ar 3. teorēmu daudzstūris ir sadalīts trīsstūrī un izliektā -stūrī (5. att.). Pēc indukcijas hipotēzes. No otras puses, . Pievienojot šīs vienādības un ņemot vērā to (- iekšējais staru leņķis ) un (- iekšējais staru leņķis ), mēs saņemam. Kad mēs saņemam: .
3 Par jebkuru regulāru daudzstūri ir iespējams aprakstīt apli, turklāt tikai vienu.
D-in: Ļaujiet regulāru daudzstūri, un un ir leņķu bisektrise, un (150. att.). Tā kā tāpēc * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O. Pierādīsim to O = OA 2 = O =… = OA P . Trīsstūris O vienādsānu, tāpēc O= O. Atbilstoši otrajam trīsstūru vienādības kritērijam, tāpēc O = O. Līdzīgi tiek pierādīts, ka O = O utt. Tātad punkts O vienādā attālumā no visām daudzstūra virsotnēm, tātad aplis ar centru O rādiuss O ir norobežots ap daudzstūri.
Tagad pierādīsim, ka ir tikai viens ierobežots aplis. Apsveriet dažas trīs daudzstūra virsotnes, piemēram, BET 2 , . Tā kā caur šiem punktiem iet tikai viens aplis, tad par daudzstūri … Jūs nevarat aprakstīt vairāk kā vienu loku.
- 4 Jebkurā regulārā daudzstūrī var ierakstīt apli un turklāt tikai vienu.
- 5 Aplis, kas ierakstīts regulārā daudzstūrī, pieskaras daudzstūra malām to viduspunktos.
- 6 Apļa centrs, kas aptver regulāru daudzstūri, sakrīt ar tajā pašā daudzstūrī ierakstīta riņķa centru.
- 7 Simetrija:
Figūru sauc par simetrisku (simetrisku), ja ir tāda kustība (nav identiska), kas šo figūru pārveido par sevi.
- 7.1. Vispārējam trīsstūrim nav asu vai simetrijas centru, tas nav simetrisks. Vienādsānu (bet ne vienādmalu) trīsstūrim ir viena simetrijas ass: perpendikulāra bisektrise pamatnei.
- 7.2. Vienādmalu trijstūrim ir trīs simetrijas asis (perpendikulāras bisektrise malām) un rotācijas simetrija ap centru ar griešanās leņķi 120°.
7.3. Jebkuram regulāram n-stūrim ir n simetrijas asis, kuras visas iet caur tā centru. Tam ir arī rotācijas simetrija pret centru ar rotācijas leņķi.
Pat n dažas simetrijas asis iet caur pretējām virsotnēm, citas - caur pretējo malu viduspunktiem.
Par nepāra n katra ass iet caur pretējās puses virsotni un viduspunktu.
Regulāra daudzstūra ar pāra malu skaitu centrs ir tā simetrijas centrs. Regulāram daudzstūrim ar nepāra malu skaitu nav simetrijas centra.
8 līdzība:
Ar līdzību un -gon nonāk -gonā, pusplaknē - pusplaknē, tāpēc izliekta n-gon kļūst izliekta n-gon.
Teorēma: Ja izliektu daudzstūru malas un leņķi apmierina vienādības:
kur ir pjedestāla koeficients
tad šie daudzstūri ir līdzīgi.
- 8.1. Divu līdzīgu daudzstūru perimetru attiecība ir vienāda ar līdzības koeficientu.
- 8.2. Divu izliektu līdzīgu daudzstūru laukumu attiecība ir vienāda ar līdzības koeficienta kvadrātu.
daudzstūra trīsstūra perimetra teorēma
Sadaļas: Matemātika
Priekšmets, skolēnu vecums: ģeometrija, 9. klase
Nodarbības mērķis: daudzstūru veidu izpēte.
Mācību uzdevums: aktualizēt, paplašināt un vispārināt skolēnu zināšanas par daudzstūriem; veidot priekšstatu par daudzstūra “sastāvdaļām”; veikt regulāru daudzstūru (no trīsstūra līdz n-stūrim) veidojošo elementu skaita izpēti;
Attīstības uzdevums: attīstīt spēju analizēt, salīdzināt, izdarīt secinājumus, attīstīt skaitļošanas prasmes, mutvārdu un rakstveida matemātisko runu, atmiņu, kā arī patstāvību domāšanā un mācīšanās aktivitātēs, spēju strādāt pāros un grupās; attīstīt pētniecisko un izglītojošo darbību;
Izglītības uzdevums: audzināt patstāvību, aktivitāti, atbildību par uzdoto uzdevumu, neatlaidību mērķa sasniegšanā.
Nodarbību laikā: uz tāfeles ir uzrakstīts citāts
"Daba runā matemātikas valodā, šīs valodas burti ... matemātiskās figūras." G. Gallilejs
Nodarbības sākumā klase tiek sadalīta darba grupās (mūsu gadījumā sadalīšana grupās pa 4 cilvēkiem katrā - grupas dalībnieku skaits ir vienāds ar jautājumu grupu skaitu).
1. Zvana posms-
Mērķi:
a) papildināt studentu zināšanas par tēmu;
b) intereses rašanos par pētāmo tēmu, katra skolēna motivāciju mācību aktivitātēm.
Uzņemšana: spēle "Vai jūs ticat, ka ...", darba organizēšana ar tekstu.
Darba formas: frontālais, grupu.
"Vai jūs tam ticat..."
1. ... vārds "daudzstūris" norāda, ka visām šīs dzimtas figūrām ir "daudz stūru"?
2. …trijstūris pieder lielai daudzstūru saimei, kas atšķiras no daudzām dažādām ģeometriskām formām plaknē?
3. … vai kvadrāts ir regulārs astoņstūris (četras malas + četri stūri)?
Šodien nodarbībā runāsim par daudzstūriem. Uzzinām, ka šo figūru ierobežo slēgta lauzta līnija, kas savukārt var būt vienkārša, slēgta. Parunāsim par to, ka daudzstūri ir plakani, regulāri, izliekti. Viens no plakanajiem daudzstūriem ir jums jau sen pazīstams trīsstūris (jūs varat parādīt skolēniem plakātus, kuros attēloti daudzstūri, lauzta līnija, parādīt dažādus to veidus, varat arī izmantot TCO).
2. Sapratnes stadija
Mērķis: jaunas informācijas iegūšana, tās izpratne, atlase.
Uzņemšana: zigzags.
Darba formas: individuāli->pāris->grupa.
Katrai grupai tiek dots teksts par nodarbības tēmu, un teksts ir veidots tā, lai tajā iekļautu gan skolēniem jau zināmu, gan pilnīgi jaunu informāciju. Kopā ar tekstu skolēni saņem jautājumus, uz kuriem atbildes jāmeklē šajā tekstā.
Daudzstūri. Daudzstūru veidi.
Kurš gan nav dzirdējis par noslēpumaino Bermudu trijstūri, kur kuģi un lidmašīnas pazūd bez vēsts? Bet trīsstūris, kas mums pazīstams no bērnības, ir pilns ar daudzām interesantām un noslēpumainām lietām.
Papildus mums jau zināmajiem trijstūra veidiem, kas sadalīti ar malām (mērogs, vienādsānu, vienādmalu) un leņķiem (akūts leņķis, strupleņķis, taisnleņķis), trijstūris pieder lielai daudzstūru saimei, kas atšķiras no daudziem. dažādas ģeometriskas formas plaknē.
Vārds "daudzstūris" norāda, ka visām šīs dzimtas figūrām ir "daudz stūru". Bet ar to nepietiek, lai raksturotu figūru.
Pārrauta līnija A 1 A 2 ... A n ir figūra, kas sastāv no punktiem A 1, A 2, ... A n un segmentiem A 1 A 2, A 2 A 3, ..., kas tos savieno. Punktus sauc par polilīnijas virsotnēm, bet segmentus par polilīnijas saitēm. (1. att.)
Lauztu līniju sauc par vienkāršu, ja tai nav paškrustojumpunktu (2.,3. att.).
Lauztu līniju sauc par slēgtu, ja tās gali sakrīt. Pārrautas līnijas garums ir tās saišu garumu summa (4. att.).
Vienkāršu slēgtu lauztu līniju sauc par daudzstūri, ja tās blakus saites neatrodas uz vienas taisnes (5. att.).
Vārdā “daudzstūris” daļas “daudz” vietā aizstājiet konkrētu skaitli, piemēram, 3. Iegūsiet trīsstūri. Vai 5. Tad - piecstūris. Ņemiet vērā, ka ir tik daudz leņķu, cik malu, tāpēc šīs figūras var saukt par daudzpusējām.
Polilīnijas virsotnes sauc par daudzstūra virsotnēm, un polilīnijas saites sauc par daudzstūra malām.
Daudzstūris sadala plakni divos apgabalos: iekšējā un ārējā (6. att.).
Plaknes daudzstūris vai daudzstūra apgabals ir ierobežota plaknes daļa, ko ierobežo daudzstūris.
Divas daudzstūra virsotnes, kas ir vienas malas gali, sauc par kaimiņiem. Virsotnes, kas nav vienas malas gali, nav blakus.
Daudzstūri ar n virsotnēm un līdz ar to n malām sauc par n-stūri.
Lai gan mazākais daudzstūra malu skaits ir 3. Bet trijstūri, savienojoties viens ar otru, var veidot citas formas, kas savukārt ir arī daudzstūri.
Segmentus, kas savieno daudzstūra virsotnes, kas nav blakus esošajām virsotnēm, sauc par diagonālēm.
Daudzstūri sauc par izliektu, ja tas atrodas vienā pusplaknē attiecībā pret jebkuru taisni, kurā ir tā mala. Šajā gadījumā tiek uzskatīts, ka pati taisne pieder pusplaknei.
Izliekta daudzstūra leņķis noteiktā virsotnē ir leņķis, ko veido tā malas, kas saplūst šajā virsotnē.
Pierādīsim teorēmu (par izliekta n-stūra leņķu summu): Izliekta n-stūra leņķu summa ir vienāda ar 180 0 *(n - 2).
Pierādījums. Gadījumā, ja n=3 teorēma ir patiesa. Pieņemsim, ka А 1 А 2 …А n ir dots izliekts daudzstūris un n>3. Iezīmēsim tajā diagonāles (no vienas virsotnes). Tā kā daudzstūris ir izliekts, šīs diagonāles sadala to n - 2 trīsstūros. Daudzstūra leņķu summa ir tāda pati kā visu šo trīsstūru leņķu summa. Katra trijstūra leņķu summa ir 180 0, un šo trīsstūru skaits ir n - 2. Tāpēc izliekta n - leņķa A 1 A 2 ... A n leņķu summa ir 180 0 * ( n - 2). Teorēma ir pierādīta.
Izliekta daudzstūra ārējais leņķis noteiktā virsotnē ir leņķis, kas atrodas blakus daudzstūra iekšējam leņķim šajā virsotnē.
Izliektu daudzstūri sauc par regulāru, ja visas malas ir vienādas un visi leņķi ir vienādi.
Tātad kvadrātu var saukt dažādi - regulārs četrstūris. Arī vienādmalu trīsstūri ir regulāri. Šādas figūras jau sen interesēja meistari, kas dekorēja ēkas. Viņi veidoja skaistus rakstus, piemēram, uz parketa. Bet ne visus regulāros daudzstūrus varēja izmantot parketa veidošanai. Parketu nevar veidot no regulāriem astoņstūriem. Fakts ir tāds, ka tiem katrs leņķis ir vienāds ar 135 0. Un, ja kāds punkts ir divu šādu astoņstūru virsotne, tad tiem būs 270 0, un trešajam astoņstūrim nav kur ietilpties: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Bet kvadrātam pietiek. Tāpēc parketu iespējams salocīt no parastajiem astoņstūriem un kvadrātiem.
Zvaigznēm ir taisnība. Mūsu piecstaru zvaigzne ir parasta piecstūra zvaigzne. Un, ja jūs pagriežat kvadrātu ap centru par 45 0, jūs iegūstat parastu astoņstūra zvaigzni.
1 grupa
Kas ir pārtraukta līnija? Paskaidrojiet, kas ir polilīnijas virsotnes un saites.
Kuru pārtraukto līniju sauc par vienkāršu?
Kuru pārtraukto līniju sauc par slēgtu?
Kas ir daudzstūris? Kā sauc daudzstūra virsotnes? Kādas ir daudzstūra malas?
2 grupa
Kas ir plakans daudzstūris? Sniedziet daudzstūru piemērus.
Kas ir n-gon?
Paskaidrojiet, kuras daudzstūra virsotnes atrodas blakus un kuras nav.
Kāda ir daudzstūra diagonāle?
3 grupa
Kas ir izliekts daudzstūris?
Paskaidrojiet, kuri daudzstūra stūri ir ārējie un kuri iekšējie?
Kas ir regulārs daudzstūris? Sniedziet regulāru daudzstūru piemērus.
4 grupa
Kāda ir izliekta n-stūra leņķu summa? Pierādi.
Studenti strādā ar tekstu, meklē atbildes uz uzdotajiem jautājumiem, pēc tam tiek izveidotas ekspertu grupas, kurās tiek strādāts pie tiem pašiem jautājumiem: studenti izceļ galveno, sastāda atbalsta kopsavilkumu, sniedz informāciju kādā no grafiskās formas. Darba beigās skolēni atgriežas savās darba grupās.
3. Pārdomu stadija -
a) savu zināšanu novērtējums, izaicinājums nākamajam zināšanu solim;
b) saņemtās informācijas izpratne un apropriācija.
Uzņemšana: pētnieciskais darbs.
Darba formas: individuāli->pāris->grupa.
Darba grupas ir eksperti atbildēs uz katru piedāvāto jautājumu sadaļu.
Atgriežoties pie darba grupas, eksperts iepazīstina pārējos grupas dalībniekus ar atbildēm uz viņu jautājumiem. Grupā notiek visu darba grupas dalībnieku informācijas apmaiņa. Tādējādi katrā darba grupā, pateicoties ekspertu darbam, veidojas vispārējs priekšstats par pētāmo tēmu.
Studentu pētnieciskais darbs - tabulas aizpildīšana.
Regulāri daudzstūri | Zīmējums | Sānu skaits | Pīķu skaits | Visu iekšējo leņķu summa | Pakāpes mērs int. stūrī | Ārējā leņķa pakāpes mērs | Diagonāļu skaits |
A) trīsstūris | |||||||
B) četrstūris | |||||||
B) piecu sienu | |||||||
D) sešstūris | |||||||
E) n-gon |
Interesantu uzdevumu risināšana par nodarbības tēmu.
- Četrstūrī novelciet līniju tā, lai tā to sadalītu trīs trīsstūros.
- Cik malu ir regulāram daudzstūrim, kura katrs iekšējais leņķis ir vienāds ar 135 0 ?
- Noteiktā daudzstūrī visi iekšējie leņķi ir vienādi viens ar otru. Vai šī daudzstūra iekšējo leņķu summa var būt: 360 0 , 380 0 ?
Apkopojot stundu. Mājas darbu ierakstīšana.
Trīsstūris, kvadrāts, sešstūris - šīs figūras ir zināmas gandrīz ikvienam. Bet ne visi zina, kas ir regulārs daudzstūris. Bet tas viss ir viens un tas pats Regulāro daudzstūri sauc par tādu, kuram ir vienādi leņķi un malas. Šādu skaitļu ir ļoti daudz, taču tiem visiem ir vienādas īpašības, un uz tiem attiecas vienas un tās pašas formulas.
Regulāru daudzstūru īpašības
Jebkuru regulāru daudzstūri, neatkarīgi no tā, vai tas ir kvadrāts vai astoņstūris, var ierakstīt aplī. Šo pamata īpašību bieži izmanto, veidojot figūru. Turklāt apli var ierakstīt arī daudzstūrī. Šajā gadījumā saskares punktu skaits būs vienāds ar tā malu skaitu. Ir svarīgi, lai riņķī, kas ierakstīts regulārā daudzstūrī, būtu ar to kopīgs centrs. Šīs ģeometriskās figūras ir pakļautas tām pašām teorēmām. Jebkura regulāra n-stūra mala ir saistīta ar ap to esošā apļa rādiusu R. Tāpēc to var aprēķināt, izmantojot šādu formulu: a = 2R ∙ sin180°. Caur jūs varat atrast ne tikai daudzstūra malas, bet arī perimetru.
Kā atrast regulāra daudzstūra malu skaitu
Jebkurš sastāv no noteikta skaita segmentu, kas ir vienādi viens ar otru, kas, savienojoties, veido slēgtu līniju. Šajā gadījumā visiem izveidotās figūras stūriem ir vienāda vērtība. Daudzstūri ir sadalīti vienkāršos un sarežģītos. Pirmajā grupā ietilpst trīsstūris un kvadrāts. Sarežģītiem daudzstūriem ir vairāk malu. Tie ietver arī zvaigznes formas figūras. Sarežģītiem regulāriem daudzstūriem malas tiek atrastas, ierakstot tās aplī. Sniegsim pierādījumu. Uzzīmējiet regulāru daudzstūri ar patvaļīgu skaitu malu n. Aprakstiet apli ap to. Norādiet rādiusu R. Tagad iedomājieties, ka ir dots kāds n-stūris. Ja tā leņķu punkti atrodas uz apļa un ir vienādi viens ar otru, tad malas var atrast pēc formulas: a = 2R ∙ sinα: 2.
Ierakstīta taisnleņķa trijstūra malu skaita atrašana
Vienādmalu trīsstūris ir regulārs daudzstūris. Uz to attiecas tās pašas formulas, kas uz kvadrātu un n-stūri. Trijstūris tiks uzskatīts par pareizu, ja tam ir vienāda garuma malas. Šajā gadījumā leņķi ir 60⁰. Izveidojiet trīsstūri ar norādīto malas garumu a. Zinot tā vidējo un augstumu, jūs varat atrast tā sānu vērtību. Lai to izdarītu, mēs izmantosim metodi, lai atrastu, izmantojot formulu a \u003d x: cosα, kur x ir mediāna vai augstums. Tā kā visas trijstūra malas ir vienādas, mēs iegūstam a = b = c. Tad ir patiess šāds apgalvojums: a = b = c = x: cosα. Līdzīgi var atrast malu vērtību vienādsānu trijstūrī, bet x būs dotais augstums. Tajā pašā laikā tam jābūt stingri projicētam uz figūras pamatnes. Tātad, zinot augstumu x, mēs atrodam vienādsānu trīsstūra malu a, izmantojot formulu a \u003d b \u003d x: cosα. Pēc a vērtības atrašanas var aprēķināt bāzes c garumu. Pielietosim Pitagora teorēmu. Mēs meklēsim pusi bāzes c vērtību: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Tad c = 2xtanα. Tādā vienkāršā veidā jūs varat atrast jebkura ierakstīta daudzstūra malu skaitu.
Riņķī ierakstīta kvadrāta malu aprēķināšana
Tāpat kā jebkuram citam ierakstītam regulāram daudzstūrim, kvadrātam ir vienādas malas un leņķi. Uz to attiecas tās pašas formulas, kas uz trīsstūri. Jūs varat aprēķināt kvadrāta malas, izmantojot diagonāles vērtību. Apsvērsim šo metodi sīkāk. Ir zināms, ka diagonāle sadala leņķi uz pusēm. Sākotnēji tā vērtība bija 90 grādi. Tādējādi pēc sadalīšanas veidojas divi.To leņķi pie pamatnes būs vienādi ar 45 grādiem. Attiecīgi katra kvadrāta mala būs vienāda, tas ir: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kur e ir kvadrāta diagonāle vai pamatne. taisnleņķa trīsstūris, kas veidojas pēc dalīšanas. Tas nav vienīgais veids, kā atrast kvadrāta malas. Iezīmēsim šo figūru aplī. Zinot šī apļa R rādiusu, mēs atrodam kvadrāta malu. Mēs to aprēķināsim šādi a4 = R√2. Regulāro daudzstūru rādiusus aprēķina pēc formulas R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), kur a ir malas garums.
Kā aprēķināt n-stūra perimetru
N-stūra perimetrs ir visu tā malu summa. To ir viegli aprēķināt. Lai to izdarītu, jums jāzina visu pušu vērtības. Dažiem daudzstūru veidiem ir īpašas formulas. Tie ļauj daudz ātrāk atrast perimetru. Ir zināms, ka jebkuram regulāram daudzstūrim ir vienādas malas. Tāpēc, lai aprēķinātu tā perimetru, pietiek zināt vismaz vienu no tiem. Formula būs atkarīga no figūras malu skaita. Kopumā tas izskatās šādi: P \u003d an, kur a ir malas vērtība un n ir leņķu skaits. Piemēram, lai atrastu parastā astoņstūra perimetru ar malu 3 cm, tas jāreizina ar 8, tas ir, P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Sešstūrim, kura mala ir 5 cm, mēs aprēķinām šādi: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Un tā katram daudzstūrim.
Paralelograma, kvadrāta un romba perimetra atrašana
Atkarībā no tā, cik malu ir parastajam daudzstūrim, tiek aprēķināts tā perimetrs. Tas ievērojami atvieglo uzdevumu. Patiešām, atšķirībā no citām figūrām, šajā gadījumā nav nepieciešams meklēt visas tās puses, pietiek ar vienu. Ar to pašu principu mēs atrodam četrstūru perimetru, tas ir, kvadrātu un rombu. Neskatoties uz to, ka tie ir dažādi skaitļi, to formula ir vienāda P = 4a, kur a ir mala. Ņemsim piemēru. Ja romba vai kvadrāta mala ir 6 cm, tad perimetru atrodam šādi: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Paralelogramam ir tikai pretējās malas. Tāpēc tā perimetru nosaka, izmantojot citu metodi. Tātad mums ir jāzina figūras garums a un platums b. Tad pielietojam formulu P \u003d (a + c) ∙ 2. Paralelogramu, kurā visas malas un leņķi starp tiem ir vienādi, sauc par rombu.
Vienādmalu un taisnstūra trīsstūra perimetra atrašana
Pareizā perimetru var atrast pēc formulas P \u003d 3a, kur a ir malas garums. Ja tas nav zināms, to var atrast, izmantojot mediānu. Taisnleņķa trīsstūrī tikai divas malas ir vienādas. Pamatu var atrast caur Pitagora teorēmu. Kad ir zināmas visu trīs malu vērtības, mēs aprēķinām perimetru. To var atrast, izmantojot formulu P \u003d a + b + c, kur a un b ir vienādas malas, un c ir bāze. Atgādiniet, ka vienādsānu trijstūrī a \u003d b \u003d a, tātad a + b \u003d 2a, tad P \u003d 2a + c. Piemēram, vienādsānu trijstūra mala ir 4 cm, atrodiet tā pamatu un perimetru. Mēs aprēķinām hipotenūzas vērtību saskaņā ar Pitagora teorēmu c \u003d √a 2 + in 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Tagad mēs aprēķinām perimetru P \u003d \u003d \u0030. u003d 13,65 cm.
Kā atrast regulāra daudzstūra leņķus
Regulārs daudzstūris mūsu dzīvē notiek katru dienu, piemēram, parasts kvadrāts, trīsstūris, astoņstūris. Šķiet, ka nav nekā vienkāršāka kā veidot šo figūru pats. Bet tas ir tikai no pirmā acu uzmetiena. Lai izveidotu jebkuru n-stūri, jums jāzina tā leņķu vērtība. Bet kā tos atrast? Pat senatnes zinātnieki mēģināja veidot regulārus daudzstūrus. Viņi uzminēja tos ievietot aprindās. Un tad uz tā tika atzīmēti nepieciešamie punkti, kas savienoti ar taisnām līnijām. Vienkāršām figūrām būvniecības problēma ir atrisināta. Ir iegūtas formulas un teorēmas. Piemēram, Eiklīds savā slavenajā darbā "Sākums" nodarbojās ar uzdevumu risināšanu 3, 4, 5, 6 un 15 goniem. Viņš atrada veidus, kā tos konstruēt un atrast leņķus. Apskatīsim, kā to izdarīt 15 gonu gadījumā. Vispirms jums jāaprēķina tā iekšējo leņķu summa. Nepieciešams izmantot formulu S = 180⁰(n-2). Tātad, mums ir dots 15 gonu, kas nozīmē, ka skaitlis n ir 15. Mēs aizstājam formulā zināmos datus un iegūstam S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Mēs esam atraduši visu 15 gonu iekšējo leņķu summu. Tagad mums ir jāiegūst katra no tām vērtība. Leņķi kopā ir 15. Veicam 2340⁰ aprēķinu: 15 = 156⁰. Tas nozīmē, ka katrs iekšējais leņķis ir 156⁰, tagad, izmantojot lineālu un kompasu, varat izveidot parastu 15 gonu. Bet kā ir ar sarežģītākiem n-goniem? Gadsimtiem ilgi zinātnieki ir cīnījušies, lai atrisinātu šo problēmu. To tikai 18. gadsimtā atrada Karls Frīdrihs Gauss. Viņš spēja uzbūvēt 65537-gon. Kopš tā laika problēma oficiāli tiek uzskatīta par pilnībā atrisinātu.
N-stūru leņķu aprēķins radiānos
Protams, ir vairāki veidi, kā atrast daudzstūru stūrus. Visbiežāk tos aprēķina grādos. Bet jūs varat tos izteikt arī radiānos. Kā to izdarīt? Ir nepieciešams rīkoties šādi. Vispirms noskaidrojam regulāra daudzstūra malu skaitu, pēc tam no tā atņemam 2. Tātad iegūstam vērtību: n - 2. Reiziniet atrasto starpību ar skaitli n ("pi" \u003d 3.14). Tagad atliek tikai iegūto reizinājumu dalīt ar leņķu skaitu n-gonā. Apsveriet šos aprēķinus, izmantojot tās pašas piecpadsmitpusējas piemēru. Tātad, skaitlis n ir 15. Pielietosim formulu S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Tas, protams, nav vienīgais veids, kā aprēķināt leņķi radiānos. Jūs varat vienkārši sadalīt leņķa lielumu grādos ar skaitli 57,3. Galu galā šie daudzi grādi ir līdzvērtīgi vienam radiānam.
Leņķu vērtības aprēķins grādos
Papildus grādiem un radiāniem varat mēģināt atrast regulāra daudzstūra leņķu vērtību gradās. Tas tiek darīts šādā veidā. No kopējā leņķu skaita atņemiet 2, iegūto starpību sadaliet ar regulāra daudzstūra malu skaitu. Atrasto rezultātu reizinām ar 200. Starp citu, tādu leņķu mērvienību kā grādi praktiski neizmanto.
N-stūru ārējo stūru aprēķins
Jebkuram regulāram daudzstūrim papildus iekšējam var aprēķināt arī ārējo leņķi. Tā vērtība tiek noteikta tāpat kā citiem skaitļiem. Tātad, lai atrastu parastā daudzstūra ārējo stūri, jums jāzina iekšējā daudzstūra vērtība. Turklāt mēs zinām, ka šo divu leņķu summa vienmēr ir 180 grādi. Tāpēc mēs veicam aprēķinus šādi: 180⁰ mīnus iekšējā leņķa vērtība. Mēs atrodam atšķirību. Tas būs vienāds ar tai blakus esošā leņķa vērtību. Piemēram, kvadrāta iekšējais stūris ir 90 grādi, tātad ārējais leņķis būs 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Kā redzam, to nav grūti atrast. Ārējais leņķis var būt no +180⁰ līdz -180⁰.
Daudzstūris ir ģeometriska figūra, kuru no visām pusēm ierobežo slēgta lauzta līnija. Šajā gadījumā polilīnijas saišu skaits nedrīkst būt mazāks par trim. Katram polilīnijas segmentu pārim ir kopīgs punkts un tie veido leņķus. Stūru skaits kopā ar polilīnijas segmentu skaitu ir daudzstūra galvenie raksturlielumi. Katrā daudzstūrī norobežojošās slēgtās polilīnijas saišu skaits ir tāds pats kā stūru skaits.
Ģeometrijas malas parasti sauc par polilīnijas saitēm, kas ierobežo ģeometrisku objektu. Virsotnes ir saskares punkti starp divām blakus esošajām malām., pēc kuru skaita daudzstūri iegūst nosaukumus.
Ja slēgta lauzta līnija sastāv no trim segmentiem, to sauc par trīsstūri; attiecīgi no četriem segmentiem - četrstūris, no pieciem - piecstūris utt.
Lai apzīmētu trīsstūri vai četrstūri, izmantojiet lielos latīņu burtus, kas apzīmē tā virsotnes. Burti tiek izsaukti secībā - pulksteņrādītāja virzienā vai pretēji pulksteņrādītāja virzienam.
Pamatjēdzieni
Aprakstot daudzstūra definīciju, jāņem vērā daži saistīti ģeometriskie jēdzieni:
- Ja virsotnes ir vienas un tās pašas puses gali, tās sauc par kaimiņiem.
- Ja segments savieno virsotnes, kas nav blakus, tad to sauc par diagonāli. Trijstūrim nevar būt diagonāles.
- Iekšējais leņķis ir leņķis vienā no virsotnēm, ko veido tā divas malas, kas saplūst šajā punktā. Tas vienmēr atrodas ģeometriskās figūras iekšējā reģionā. Ja daudzstūris nav izliekts, tā izmērs var pārsniegt 180 grādus.
- Ārējais leņķis noteiktā virsotnē ir leņķis, kas atrodas blakus iekšējai virsotnei. Citiem vārdiem sakot, ārējo leņķi var uzskatīt par atšķirību starp 180° un iekšējā leņķa vērtību.
- Visu segmentu vērtību summu sauc par perimetru.
- Ja visas malas un visi leņķi ir vienādi, to sauc par pareizu. Pareizi var būt tikai izliekti.
Kā minēts iepriekš, daudzstūru ģeometriju nosaukumi ir balstīti uz virsotņu skaitu. Ja figūrai ir n no tiem, to sauc n-gon:
- Daudzstūri sauc par plakanu, ja tas ierobežo plaknes galīgo daļu. Šo ģeometrisko figūru var ierakstīt aplī vai apzīmēt ap apli.
- N-stūri sauc par izliektu, ja tas atbilst vienam no tālāk minētajiem nosacījumiem.
- Figūra atrodas vienā pusē taisnai līnijai, kas savieno divas blakus esošās virsotnes.
- Šis skaitlis kalpo kā vairāku pusplakņu kopīga daļa vai krustojums.
- Diagonāles atrodas daudzstūra iekšpusē.
- Ja segmenta gali atrodas punktos, kas pieder daudzstūrim, viss segments pieder tam.
- Figūru var saukt par regulāru, ja visi tās segmenti un visi leņķi ir vienādi. Piemēri ir kvadrāts, vienādmalu trīsstūris vai regulārs piecstūris.
- Ja n-stūris nav izliekts, visas tā malas un leņķi ir vienādi un virsotnes sakrīt ar regulāra n-stūra virsotnēm, to sauc par zvaigžņotu. Šādām figūrām var būt savstarpējas krustošanās vietas. Piemērs varētu būt pentagramma vai heksagramma.
- Tiek uzskatīts, ka trīsstūris vai četrstūris ir ierakstīts aplī, ja visas tā virsotnes atrodas viena apļa iekšpusē. Ja šīs figūras malām ir saskares punkti ar apli, tas ir daudzstūris, kas norobežots ap kādu apli.
Jebkurš izliektu n-stūri var sadalīt trīsstūros. Šajā gadījumā trīsstūru skaits ir par 2 mazāks par malu skaitu.
Figūru veidi
Tas ir daudzstūris ar trim virsotnēm un trīs līniju segmentiem, kas tos savieno. Šajā gadījumā segmentu savienojuma punkti neatrodas uz vienas taisnas līnijas.
Segmentu savienojuma punkti ir trīsstūra virsotnes. Pašus segmentus sauc par trijstūra malām. Katra trīsstūra iekšējo leņķu kopējā summa ir 180°.
Saskaņā ar attiecību starp malām visus trīsstūrus var iedalīt vairākos veidos:
- vienādmalu- kurā visu segmentu garums ir vienāds.
- vienādsānu Trijstūri, kuriem ir divi no trim vienādiem segmentiem.
- Daudzpusīgs- ja visu segmentu garums ir atšķirīgs.
Turklāt ir ierasts atšķirt šādus trīsstūrus:
- Akūts leņķis.
- Taisnstūrveida.
- stulbs.
četrstūris
Četrstūris ir plakana figūra, kurai ir 4 virsotnes un 4 segmenti, kas tos savieno virknē.
- Ja visi četrstūra stūri ir taisnstūri, figūru sauc par taisnstūri.
- Taisnstūri, kura visas malas ir vienāda izmēra, sauc par kvadrātu.
- Četrstūri ar vienādām malām sauc par rombu.
Trīs četrstūra virsotnes nevar atrasties uz vienas taisnes.
Video
Plašāku informāciju par daudzstūriem varat atrast šajā videoklipā.
Šajā nodarbībā mēs sāksim jaunu tēmu un iepazīstināsim ar mums jaunu jēdzienu - "daudzstūris". Apskatīsim ar daudzstūriem saistītos pamatjēdzienus: malas, virsotnes, stūri, izliekums un neizliekums. Tad mēs pierādīsim svarīgākos faktus, piemēram, teorēmu par daudzstūra iekšējo leņķu summu, teorēmu par daudzstūra ārējo leņķu summu. Rezultātā mēs pietuvosimies īpašu daudzstūru gadījumu izpētei, kas tiks aplūkoti turpmākajās nodarbībās.
Tēma: Četrstūri
Nodarbība: Daudzstūri
Ģeometrijas gaitā mēs pētām ģeometrisko formu īpašības un jau esam apsvēruši vienkāršākos no tiem: trijstūri un apļi. Tajā pašā laikā mēs apspriedām arī īpašus šo figūru īpašos gadījumus, piemēram, taisnleņķa, vienādsānu un regulāru trīsstūri. Tagad ir pienācis laiks runāt par vispārīgākām un sarežģītākām formām - daudzstūri.
Ar īpašu lietu daudzstūri mēs jau esam pazīstami - tas ir trīsstūris (skat. 1. att.).
Rīsi. 1. Trīsstūris
Pats nosaukums jau uzsver, ka šī ir figūra, kurai ir trīs stūri. Tāpēc iekšā daudzstūris to var būt daudz, t.i. vairāk nekā trīs. Piemēram, uzzīmēsim piecstūri (skat. 2. att.), t.i. figūra ar pieciem stūriem.
Rīsi. 2. Pentagons. Izliekts daudzstūris
Definīcija.Daudzstūris- figūra, kas sastāv no vairākiem punktiem (vairāk nekā diviem) un atbilstošā skaita segmentiem, kas tos savieno virknē. Šos punktus sauc virsotnes daudzstūris un segmenti - ballītēm. Šajā gadījumā nevienas divas blakus esošās malas neatrodas uz vienas taisnas līnijas un nekrustojas divas blakus esošas malas.
Definīcija.regulārs daudzstūris ir izliekts daudzstūris, kura visas malas un leņķi ir vienādi.
Jebkurš daudzstūris sadala plakni divos reģionos: iekšējā un ārējā. Interjers tiek saukts arī par daudzstūris.
Citiem vārdiem sakot, piemēram, runājot par piecstūri, tiek domāts gan viss tā iekšējais reģions, gan tā robeža. Un iekšējā zonā ietilpst arī visi punkti, kas atrodas daudzstūra iekšpusē, t.i. punkts pieder arī piecstūrim (skat. 2. att.).
Daudzstūri dažreiz tiek saukti arī par n-stūriem, lai uzsvērtu, ka tiek apsvērts vispārējs gadījums, kad tiem ir zināms stūru skaits (n gabali).
Definīcija. Daudzstūra perimetrs ir daudzstūra malu garumu summa.
Tagad mums jāiepazīstas ar daudzstūru veidiem. Tie ir sadalīti izliekts un nav izliekta. Piemēram, daudzstūris, kas parādīts attēlā. 2 ir izliekta, un attēlā. 3 neizliekta.
Rīsi. 3. Neizliekts daudzstūris
1. definīcija. Daudzstūris sauca izliekts, ja velkot taisnu līniju caur kādu no tās malām, visa daudzstūris atrodas tikai šīs līnijas vienā pusē. nav izliekta ir visi pārējie daudzstūri.
Ir viegli iedomāties, ka, pagarinot jebkuru piecstūra malu attēlā. 2 tas viss būs šīs taisnes vienā pusē, t.i. viņš ir izliekts. Bet, velkot taisnu līniju caur četrstūri attēlā. 3 jau redzam, ka tas to sadala divās daļās, t.i. viņš nav izliekts.
Bet ir arī cita daudzstūra izliekuma definīcija.
2. definīcija. Daudzstūris sauca izliekts ja, izvēloties jebkurus divus tā iekšējos punktus un savienojot tos ar segmentu, visi segmenta punkti ir arī daudzstūra iekšējie punkti.
Šīs definīcijas izmantošanas demonstrāciju var redzēt segmentu konstruēšanas piemērā attēlā. 2. un 3.
Definīcija. Diagonāli Daudzstūris ir jebkurš segments, kas savieno divas virsotnes, kas nav blakus.
Lai aprakstītu daudzstūru īpašības, ir divas vissvarīgākās teorēmas par to leņķiem: izliekta daudzstūra iekšējā leņķa summas teorēma un izliekta daudzstūra ārējā leņķa summas teorēma. Apsvērsim tos.
Teorēma. Par izliekta daudzstūra iekšējo leņķu summu (n-gon).
Kur ir tā leņķu (malu) skaits.
Pierādījums 1. Attēlosim zīm. 4 izliekts n-stūris.
Rīsi. 4. Izliekts n-stūris
Uzzīmējiet visas iespējamās diagonāles no virsotnes. Viņi sadala n-stūri trīsstūros, jo katra no daudzstūra malām veido trīsstūri, izņemot virsotnei blakus esošās malas. No attēla var viegli redzēt, ka visu šo trīsstūru leņķu summa būs vienāda ar n-stūra iekšējo leņķu summu. Tā kā jebkura trijstūra leņķu summa ir , tad n-stūra iekšējo leņķu summa ir:
Q.E.D.
Pierādījums 2. Ir iespējams arī cits šīs teorēmas pierādījums. Zīmēsim līdzīgu n-stūri attēlā. 5 un savienojiet jebkuru tā iekšējo punktu ar visām virsotnēm.
Rīsi. 5.
Mēs saņēmām n-stūra nodalījumu n trīsstūros (cik malu, tik daudz trīsstūru). Visu to leņķu summa ir vienāda ar daudzstūra iekšējo leņķu summu un leņķu summu iekšējā punktā, un tas ir leņķis. Mums ir:
Q.E.D.
Pierādīts.
Saskaņā ar pierādīto teorēmu var redzēt, ka n-stūra leņķu summa ir atkarīga no tā malu skaita (uz n). Piemēram, trīsstūrī, un leņķu summa ir . Četrstūrī, un leņķu summa - utt.
Teorēma. Par izliekta daudzstūra ārējo leņķu summu (n-gon).
Kur ir tā stūru (malu) skaits, un , ... ir ārējie stūri.
Pierādījums. Zīmēsim izliektu n-stūri att. 6 un apzīmē tā iekšējos un ārējos leņķus.
Rīsi. 6. Izliekts n-gons ar iezīmētiem ārējiem stūriem
Jo ārējais stūris ir savienots ar iekšējo kā blakus, tad un līdzīgi citiem ārējiem stūriem. Pēc tam:
Pārveidojumos izmantojām jau pārbaudīto teorēmu par n-stūra iekšējo leņķu summu.
Pierādīts.
No pierādītās teorēmas izriet interesants fakts, ka izliekta n-stūra ārējo leņķu summa ir vienāda ar par tā leņķu (malu) skaitu. Starp citu, atšķirībā no iekšējo leņķu summas.
Bibliogrāfija
- Aleksandrovs A.D. utt Ģeometrija, 8. klase. - M.: Izglītība, 2006.
- Butuzovs V.F., Kadomcevs S.B., Prasolovs V.V. Ģeometrija, 8. klase. - M.: Izglītība, 2011.
- Merzļaks A.G., Polonskis V.B., Jakirs S.M. Ģeometrija, 8. klase. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Mājasdarbs